Вычислить поверхностный интеграл первого рода:
![$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dS$ $\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dS$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/2/8a2b7ee8454f2d57d9b206492de704be82.png)
, где
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
- боковая поверхность конуса
![$(0\leqslant z \leqslant b)$ $(0\leqslant z \leqslant b)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/e/19ec25394915526e9ee629bf876f714f82.png)
.
Решение:
При проецировании фигуры на плоскость
![$Oxy$ $Oxy$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/e/4bef5b14e98ff435f2b2c77d9c15867682.png)
получим:
![$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}}$ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f2774e56e45645bdfad8d96c1c9551e382.png)
.
Для решения интеграла имеем:
![$\int\limits \int\limits_{S} f(x,y,z) dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(z_{x})^{2}+(z_{y})^{2}} dxdy$ $\int\limits \int\limits_{S} f(x,y,z) dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(z_{x})^{2}+(z_{y})^{2}} dxdy$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/0/ff07dabf52346dd99cf036651fae46cc82.png)
.
Выразим
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
:
![$z=c\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}$ $z=c\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/8/cf818d15cd00cc245f130393ca18be8082.png)
Тогда:
![$z_{x}=\frac{cx}{a^{2}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}}$ $z_{x}=\frac{cx}{a^{2}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/4/2d436270d63479604be6f50de813b38782.png)
;
![$z_{y}=\frac{cy}{b^{2}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}}$ $z_{y}=\frac{cy}{b^{2}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/e/92e9d6721c4b09e1841e23346eca519c82.png)
.
Следовательно, получим:
![$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{1+ \frac{c^{2}x^{2}}{a^{4}(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}})} +\frac{c^{2}y^{2}}{b^{4}(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}})}}dxdy$ $\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{1+ \frac{c^{2}x^{2}}{a^{4}(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}})} +\frac{c^{2}y^{2}}{b^{4}(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}})}}dxdy$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/f/0af3d6b7251d6649a988cf0a75d59c0b82.png)
После преобразований:
![$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{1+\frac{c^2}{a^{2}b^{2}}(\frac{x^{2}b^{4}+y^{2}a^{4}}{x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}})}$ $\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{1+\frac{c^2}{a^{2}b^{2}}(\frac{x^{2}b^{4}+y^{2}a^{4}}{x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}})}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/a/97a1c6253e8419bc9bf67d6dc1f220ac82.png)
Перейдем к обобщенной полярной системе координат:
![$x=a r \cos\varphi $ $x=a r \cos\varphi $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/f/d0f55269670ef98510ca36b82dd942f982.png)
![$y= b r \sin \varphi $ $y= b r \sin \varphi $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/9/3993e60ec27114a0e45f63120be2426582.png)
Якобиан перехода:
![$abr$ $abr$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/a/3ea1fbdb14c5162b79683f2c1c07ae8082.png)
![$0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$ $0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60cdecae12462972e67b76d1bea3fc3482.png)
![$0 \leqslant r \leqslant \frac{b}{c}$ $0 \leqslant r \leqslant \frac{b}{c}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/e/5ee32bd048759d6e772a6f233b4cb9ca82.png)
, так как
![$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}} $ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/9/0e9981376ece5a9ce167e0a417fd344f82.png)
, откуда
![$r=\frac{b}{c}$ $r=\frac{b}{c}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/f/93faa8d76da8f81d1c8d6335e37aef2482.png)
![$\sqrt{a^{2} r^{2} (\cos\varphi)^2 + b^{2} r^{2} (\sin \varphi)^{2}}=r \sqrt{a^{2}(\cos\varphi)^2 + b^{2}(\sin \varphi)^{2}}$ $\sqrt{a^{2} r^{2} (\cos\varphi)^2 + b^{2} r^{2} (\sin \varphi)^{2}}=r \sqrt{a^{2}(\cos\varphi)^2 + b^{2}(\sin \varphi)^{2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/f/3df0f87fd9b384a61c48e4dec9182ee782.png)
Таким образом, имеем:
![$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = ab \int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{b}{c}} r^{2}\sqrt{a^{2}(\cos\varphi)^2 + b^{2}(\sin \varphi)^{2}}\sqrt{1+ \frac{c^2}{a^{2}b^{2}} (b^{2}(\cos\varphi)^2 + a^{2}(\sin \varphi)^{2})} dr$ $\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = ab \int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{b}{c}} r^{2}\sqrt{a^{2}(\cos\varphi)^2 + b^{2}(\sin \varphi)^{2}}\sqrt{1+ \frac{c^2}{a^{2}b^{2}} (b^{2}(\cos\varphi)^2 + a^{2}(\sin \varphi)^{2})} dr$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/1/d110ddad91c82f351b5c758866c5d26782.png)
Как решать дальше совершенно не понимаю. Полученный интеграл решить не могу.
Вроде бы в вычислениях не запутался, хотя не уверен.
Возможно это задание вообще должно решаться иначе.