Вычисление поверхностного интеграла первого рода

[Men007]

Вычислить поверхностный интеграл первого рода:
$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dS$, где $S$ - боковая поверхность конуса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0$ $(0\leqslant z \leqslant b)$.

Решение:
При проецировании фигуры на плоскость $Oxy$ получим: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}}$.

Для решения интеграла имеем: $\int\limits \int\limits_{S} f(x,y,z) dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(z_{x})^{2}+(z_{y})^{2}} dxdy$.

Выразим $z$:

$z=c\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}$

Тогда:

$z_{x}=\frac{cx}{a^{2}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}}$;

$z_{y}=\frac{cy}{b^{2}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}}$.

Следовательно, получим:

$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{1+ \frac{c^{2}x^{2}}{a^{4}(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}})} +\frac{c^{2}y^{2}}{b^{4}(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}})}}dxdy$

После преобразований:

$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = \int\limits \int\limits_{D_{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{1+\frac{c^2}{a^{2}b^{2}}(\frac{x^{2}b^{4}+y^{2}a^{4}}{x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}})}$

Перейдем к обобщенной полярной системе координат:

$x=a r \cos\varphi $
$y= b r \sin \varphi $
Якобиан перехода: $abr$

$0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$
$0 \leqslant r \leqslant \frac{b}{c}$, так как $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}} $, откуда $r=\frac{b}{c}$

$\sqrt{a^{2} r^{2} (\cos\varphi)^2 + b^{2} r^{2} (\sin \varphi)^{2}}=r \sqrt{a^{2}(\cos\varphi)^2 + b^{2}(\sin \varphi)^{2}}$

Таким образом, имеем:

$\int\limits \int\limits_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dS = ab \int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{b}{c}} r^{2}\sqrt{a^{2}(\cos\varphi)^2 + b^{2}(\sin \varphi)^{2}}\sqrt{1+ \frac{c^2}{a^{2}b^{2}} (b^{2}(\cos\varphi)^2 + a^{2}(\sin \varphi)^{2})} dr$

Как решать дальше совершенно не понимаю. Полученный интеграл решить не могу.
Вроде бы в вычислениях не запутался, хотя не уверен.
Возможно это задание вообще должно решаться иначе.

[Otta]

Откуда задача?

(Оффтоп)

Двойной интеграл лучше писать \iint

Men007 в сообщении #1316304 писал(а):

При проецировании фигуры на плоскость $Oxy$ получим: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b}{c}$.

Тут не то ошибка, не то опечатка в правой части, которая потом протащена через весь текст, но почему-то не повлияла на решение :)

[Men007]

Otta
Задача взята из учебника, который составил преподаватель нашего вуза. Сам он ее составил или взял откуда то, мне неизвестно.

Otta в сообщении #1316314 писал(а):

При проецировании фигуры на плоскость $Oxy$ получим: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{b}{c}$.
Тут не то ошибка, не то опечатка в правой части, которая потом протащена через весь текст, но почему-то не повлияла на решение :)

Да, поторопился. Опечатку исправил.

[thething]

(Оффтоп)

Такое впечатление, что преподаватель просто взял какую-то задачу из Демидовича, где только один параметр (или под интегралом единица) и решил её "усовершенствовать", не прикинув, к чему это может привести. Не знаю, кому как, а мне будет интересно узнать, как сам составитель предлагает считать полученный интеграл