Ряды с отрицательными и положительными элементами

[MestnyBomzh]

Попалась задача на условную/абсолютную сходимость. В ней я доказал, что ряд не сходится абсолютно, стал доказывать, что ряд сходится условно. И тут я задумался про признак сравнения - а как можно его применить для рядов с отрицательными элементами? В гугле нашёл только признак для знакоположительных рядов.
У меня есть догадка, но я в ней не уверен. Она такая:
Пусть есть два ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$
Тогда если $|a_n| < |b_n|$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ сходится, то сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$
Если это неверно, то могли бы подсказать как применять признак сравнения для рядов с отрицательными элементами?

[Brukvalub]

Если оба ряда - знакопостоянные, то ваше утверждение:

MestnyBomzh в сообщении #1314264 писал(а):

Пусть есть два ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$
Тогда если $|a_n| < |b_n|$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ сходится, то сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$

- верное.

[MestnyBomzh]

Brukvalub
Как раз нет, в этом случае у меня оба ряда имеют как положительные, так и отрицательные элементы. Как в таком случае можно сравнивать ряды? И можно ли вообще?

[thething]

MestnyBomzh
Неплохо было бы, если бы Вы просто привели свой конкретный пример.

А в общем, для учебных задач вполне годятся признаки Абеля-Дирихле или Лейбница.

[Brukvalub]

1. Утверждение:

MestnyBomzh в сообщении #1314269 писал(а):

у меня оба ряда имеют как положительные, так и отрицательные элементы.

- это ни о чем. Вот если членов обоих знаков у каждого из рядов бесконечно много, тогда ряды называются знакопеременными, и к ним напрямую признак сравнения применить никак не получится. Возможно только такое: если модули членов одного ряда мажорируются модулями членов другого ряда, и мажорирующий ряд абсолютно сходится, то и мажорируемый ряд абсолютно сходится.

[MestnyBomzh]

thething
Задача: исследуйте на абсолютную/условную сходимость ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$, где $a_k = \int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}} \frac{\sin x}{x} dx$ (задача со вступительного в ШАД с прошлого года)
Я сначала рассмотрел абсолютную сходимость данного ряда $a_k = \int\limits_{0}^{|\frac{\sin k}{k}|} \frac{\sin x}{x} dx$ , для этого я оценил снизу в окрестности нуля: $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$. Дальше интеграл берется в лоб, после чего подставляем пределы интегрирования. После этого получается расходящийся ряд

Теперь вопрос по сходимости ряда без модулей. Я сначала решил оценить сверху $\sin x < 1$ в окрестности нуля и даже получил сходящийся ряд, но вот потом задумался про то, насколько вообще корректно так делать

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1314275 писал(а):

Я сначала рассмотрел абсолютную сходимость данного ряда $a_k = \int\limits_{0}^{|\frac{\sin k}{k}|} \frac{\sin x}{x} dx$

Неправильно, надо рассматривать ряд из модулей $\left\lvert a_k\right\rvert$

[MestnyBomzh]

thething
Если не ошибаюсь, то в данном случае для достаточно больших $k$ выполнено: $|a_k| = |\int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}} \frac{\sin x}{x} dx| = \int\limits_{0}^{|\frac{\sin k}{k}|} \frac{\sin x}{x} dx$

[thething]

А откуда у Вас это равенство? И как это вообще понимать, т.е. при $k=10$, например, это верно, а при $k=9$ уже нет? Может, тут всё-таки должна быть оценка, которая, опять же, мне пока что неочевидна.

[MestnyBomzh]

thething
Я имел в виду, что начиная с некоторого фиксированного $\hat k$ это равенство верно. Сейчас посмотрел на графиках, это верно для всех $k$.

По поводу того, откуда я это взял:
Функция $\frac{\sin x}{x}$ в окрестности нуля положительна, а интегрируем мы её на отрезке $[0; \varepsilon]$, где $\varepsilon \to 0$. Значит $ \int\limits_{0}^{\varepsilon} \frac{\sin x}{x} dx > 0$ при $\varepsilon >0$ и $ \int\limits_{0}^{\varepsilon} \frac{\sin x}{x} dx < 0$ при $\varepsilon < 0$. Значит знак всего интеграла совпадает со знаком $\varepsilon$

Вообще это легко увидеть графически, посмотрев на функцию $\frac{\sin x}{x}$ в окрестности нуля и поняв, что верхний предел стремится к нулю

-- 23.05.2018, 12:38 --

Вот, нарисовал
https://www.desmos.com/calculator/2ywqrttox4

[Munin]

Судя по картинкам, при любых $k\in\mathbb{N}$ интеграл $\int\limits_{0}^{(\sin k)/k}\dfrac{\sin x}{x}dx$ лежит между $\dfrac{\sin k}{k}$ и $0{,}5\dfrac{\sin k}{k}$ (и можно дать оценку получше).

[MestnyBomzh]

Munin
Да, но при этом все они: $\int\limits_{0}^{(\sin k)/k}\dfrac{\sin x}{x}dx , \dfrac{\sin k}{k}$ и $0{,}5\dfrac{\sin k}{k}$ принимают как отрицательные, так и положительные значения. Собственно мой вопрос: как используя оценки сверху/снизу для знакопеременных рядов можно сделать вывод о сходимости/расходимости оценённых рядов?

[Munin]

Да, моё наблюдение ничего не даёт.

Синусы целых чисел - штука неприятная. Может, заменить их на экспоненты?.. (сырая мысль, недодуманная)

-- 23.05.2018 12:24:28 --

То есть, ряд $\sum\dfrac{e^{(ai+b)k}}{k}$ расходится при $b>0$ и сходится при $b<0.$ Мнимый случай $b=0$ - на границе. Если бы удалось доказать, что расходится он только в точке $a=0$ (уф, точнее $a\in\mathbb{Q}\pi$)...

[worm2]

Возможно (я сам не уверен), к успеху может привести какое-то обобщение теоремы Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов. "Чистая" теорема Лейбница здесь неприменима, но в том и прелесть задачи, чтобы её "вскрыть" и приспособить к данному случаю.

-- Ср май 23, 2018 14:38:27 --

Идея тут (может быть) в том, что сумма нескольких последовательных $\sin k/k$ с одинаковыми знаками должна с неплохой погрешностью приближать площадь соответствующего положительного или отрицательного "горба" функции $\sin x/x$.

[MestnyBomzh]

Munin
Вы же заменяли $\sin k = \frac{e^{ik}-e^{-ik}}{2i}$? Если да, то от интеграла как избавились?
worm2
Я тоже думал об этом! Но он тут не чередует $+$ и $-$, а делает это примерно раз через три слагаемых. И проблема тут, как раз, в слове "примерно"