Странная экспонента

[igorlavrov]

Хотелось бы пофантазировать на следующую тему.

Задаем аналитически функцию: $\exp(\sin(\omega t))$, смотрим не нее и думаем, какой физический процесс она могла бы отражать.

Это периодическая функция, похожая на синус, но с острыми максимумами и тупыми минимумами. Видел такой график в какой-то статье, а в какой - давно забыл. А сейчас построил компьютерную модель одного хитрого процесса и опять получил то же самое; только не пойму, откуда там может взяться экспонента. Вот и думаю, как подобраться к анализу процесса.

Кто-нибудь сталкивался с чем-то подобным?

[Walker_XXI]

igorlavrov в сообщении #1312870 писал(а):

смотрим не нее и думаем, какой физический процесс она могла бы отражать
...
А сейчас построил компьютерную модель одного хитрого процесса и опять получил то же самое

Может откроете карты, какой процесс моделировали?

[arseniiv]

igorlavrov в сообщении #1312870 писал(а):

только не пойму, откуда там может взяться экспонента

А зачем сразу экспонента? Многие периодические функции могут иметь острые максимумы и тупые минимумы, не обязательно должна быть связь с экспонентой синуса.

[lel0lel]

Эта функция является решением уравнения $f'(t)=\omega \cos{\omega t}f(t)$. Существует много вариантов придать этому уравнению смысл. Например такой: пусть численность колонии бактерий от времени есть функция $f(t)$, а скорость их размножения-отмирания пропорциональна численности колонии с модулирующим периодическим фактором равным $A\cos{\omega t}$, где $\omega$ циклическая частота, определяемая периодом процесса размножение-отмирание (например, он может быть равен одному году). Тогда решение $f(t)=f(0)\exp(A/\omega\sin{\omega t})$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Свободный полёт»
Причина переноса: дискуссионности не видно, физики (по крайней мере пока) - тоже.

[igorlavrov]

Walker_XXI в сообщении #1312878 писал(а):

Может откроете карты, какой процесс моделировали?

Полностью не открою, чтобы не ограничивать Вам полет фантазии.
Скажу только, что это броуновское движение в сосуде особой формы. Форма приводит к возникновению колебаний, то есть консистенция частичек в районе фиксированной точки то растет, то спадает.
Прелесть модели в том, что плавное изменение статистического параметра приводит к плавному изменению частоты колебаний.

-- 17.05.2018, 16:50 --

arseniiv в сообщении #1312883 писал(а):

А зачем сразу экспонента? Многие периодические функции могут иметь острые максимумы и тупые минимумы, не обязательно должна быть связь с экспонентой синуса.

Если приведете еще примеры периодических функций, скажу спасибо!
Экспонента мне нравится тем, что у нее минимумы - тупые, а максимумы - острые, как в моей модели.
Вообще, мне интересны все функции, у которых знак второй производной меняется через полпериода.

-- 17.05.2018, 16:59 --

lel0lel в сообщении #1312891 писал(а):

Эта функция является решением уравнения $f'(t)=\omega \cos{\omega t}f(t)$. Существует много вариантов придать этому уравнению смысл. Например такой: пусть численность колонии бактерий от времени есть функция $f(t)$, а скорость их размножения-отмирания пропорциональна численности колонии с модулирующим периодическим фактором равным $A\cos{\omega t}$, где $\omega$ циклическая частота, определяемая периодом процесса размножение-отмирание (например, он может быть равен одному году). Тогда решение $f(t)=f(0)\exp(A/\omega\sin{\omega t})$.

Спасибо большое за диффур и пример.
Хочу еще пример, и чтобы частота колебаний не была задана явно, а требовалось ее вычисление.

[ATI.HeNRy]

Да, и кстати причем тут экспонента, я бы назвал это функцию странным синусом.

[igorlavrov]

ATI.HeNRy в сообщении #1312945 писал(а):

Да, и кстати причем тут экспонента, я бы назвал это функцию странным синусом.

Ага!

[dsge]

igorlavrov в сообщении #1312900 писал(а):

Экспонента мне нравится тем, что у нее минимумы - тупые, а максимумы - острые, как в моей модели.

igorlavrov в сообщении #1312900 писал(а):

Хочу еще пример, и чтобы частота колебаний не была задана явно, а требовалось ее вычисление

Решение нижеприведенного уравнения будет иметь такое свойство

$$y''-y+y^3 = 0, y(0)=0.0001, y'(0)=0$$

[arseniiv]

igorlavrov в сообщении #1312900 писал(а):

Если приведете еще примеры периодических функций, скажу спасибо!
Экспонента мне нравится тем, что у нее минимумы - тупые, а максимумы - острые, как в моей модели.
Вообще, мне интересны все функции, у которых знак второй производной меняется через полпериода.

Таких функций континуум, если только не брать определения тупости/остроты экстремума слишком узкими; найти достаточно общее семейство можно, поиграв с рядами Фурье или просто периодически продолжив какой-нибудь аккуратно выбранный кусок (а задать его можно каким-нибудь сплайном). Возможно, вы хотите, чтобы я привёл вам не функции, а выражения для них, и притом в некотором смысле короткие — если так, это неправильное желание.

[igorlavrov]

dsge в сообщении #1312955 писал(а):

Решение нижеприведенного уравнения будет иметь такое свойство

$$y''-y+y^3 = 0, y(0)=0.0001, y'(0)=0$$

Большое спасибо, завтра посмотрю!

[Евгений Машеров]

Ритм в отведении C4-O2, роландический или $\mu$-ритм

[igorlavrov]

dsge в сообщении #1312955 писал(а):

Решение нижеприведенного уравнения будет иметь такое свойство

$$y''-y+y^3 = 0, y(0)=0.0001, y'(0)=0$$

А как оно решается (я сдаюсь)?

Или: а почему его решение будет обладать этим свойством?

-- 18.05.2018, 14:45 --

Евгений Машеров в сообщении #1313164 писал(а):

Ритм в отведении C4-O2, роландический или $\mu$-ритм

Спасибо, интересно, забираю себе в копилку.

[Cos(x-pi/2)]

Периодическая функция с острыми максимумами и тупыми минимумами:

$F(x)=\dfrac{1}{a+\cos(x-\pi/2)} $

[dsge]

igorlavrov в сообщении #1313175 писал(а):

А как оно решается (я сдаюсь)?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-y%2By%5E3+%3D+0,+y(0)%3D0.0001,+y'(0)%3D0
wolfram "косячит", решение будет немного другим.

igorlavrov в сообщении #1313175 писал(а):

почему его решение будет обладать этим свойством?

Система является консервативной и имеет гомоклиническую сепаратрису в фазовом пространстве, поэтому если взять начальные условия в малой окрестности седловой точки и внутри сепаратрисы, то решение будет торчать большую часть времени в этой окрестности, потом быстро-быстро делать "круг" и потом возвращаться опять в окрестность. Все решения не на сепаратрисе будут периодическими (включая неподвижные точки).