Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[iifat]

Если знаете как (да чтоб множители таки были полиномами!) — с удовольствием бы увидел.

[vpb]

iifat в сообщении #1311013 писал(а):

Во-вторых, уверен, что и с $y^5+2$ вы можете что-нибудь сделать (вы помните, по каких ор можно разложить многочлен от одной переменной?)

Я таких тонкостей не подразумевал (хотя в принципе оно и можно). Это вообще из учебника для 7 класса.

По 10): да, верно, только это не из вузовского курса линейной алгебры, а из школьного учебника.
По 11), 18) --- сами пока подумайте (ангем там в пределах 9 классов, матан совсем ни к чему).

[iifat]

vpb в сообщении #1311032 писал(а):

в принципе оно и можно

И притом, если память не изменяет, вполне себе методами, доступными в седьмом классе — один корень угадали, потом делим на $x+\frac1x$, небольшая манипуляция и всё.

[irod]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

11) Найти площадь множества точек на координатной плоскости, удовлетворящих системе неравенств

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

iifat в сообщении #1311013 писал(а):

irod в сообщении #1311000 писал(а):

попробовать нарисовать эту фигуру и посмотреть на нее

И?

(Решение)

Так просто оказалось - это равнобедренный треугольник с вершинами в точках $(-2;0),(2;0),(0;-2)$, его площадь равна $4$.

[irod]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

18) При каких значениях $x$ и $y$ многочлен $x^2+2xy-3y^2-5x-y+1$ принимает наибольшее значение, при дополнительном условии, что $x+y=1$ ?

(Решение)

Придумал. Надо подставить $y=1-x$ в исходное выражение $x^2+2xy-3y^2-5x-y+1$:

$$ x^2+2x(1-x)-3(1-x)^2-5x-(1-x)+1= $$

$$ =x^2+2x-2x^2-3+6x-3x^2-5x-1+x+1= $$

$$ =-4x^2+4x-3. $$

Теперь надо просто найти точки максимума функции $-4x^2+4x-3$. Это одна точка - вершина параболы, опущенной вниз.
Берем производную и приравниваем к нулю:

$$ -8x+4=0, $$

откуда $x=\frac{1}{2}$. Осталось подставить этот икс в исходное выражение, и найти таким образом $y(1/2)$. Верно?

[iifat]

irod в сообщении #1311417 писал(а):

Верно?

Думаю, да. Хотя, как по мне, искать экстремум полинома второй степени через производную — моветон, тем паче что задачи взяты из учебника 7 класса.

[grizzly]

irod в сообщении #1311417 писал(а):

откуда $x=\frac{1}{2}$. Осталось подставить этот икс в исходное выражение, и найти таким образом $y(1/2)$

А Вы лёгких путей не ищете :)
Во-первых, что значит "подставить $x$ в исходное выражение"? И что Вы там найдёте (и как быстро)? А подставлять нужно в выражение $y+x=1$.
А во-вторых, посмотрите ещё раз на исходное выражение. Ведь там сразу напрашивается дополнить первые два слагаемых до полного квадрата, равного 1. И дальше исключить уже линейное $x$ из выражения. Всё можно в уме.

[irod]

iifat
grizzly
Да, вы оба правы. Я зациклился на смысле этой задачи, и совсем забил на технику.

[vpb]

irod
Задачу 10 надо все-таки дорешать. В 21 тоже есть небольшая ошибка. Остальное правильно.

Знаете, тест показывает, что школьной алгеброй Вы владеете недостаточно. Это видно из того, что решали медленно, с затруднениями, ошибками и подсказками. Придется повторять.

Надо сказать вот что. При приеме в ШАД смотрят прежде всего на общие математические способности и сообразительность, а
потом уже на остальное: глубокое понимание основных идей математики, + конкретные знания, + технические навыки.
Причем технику проверяют меньше всего. Задач на школьную алгебру на экзамене не будет, и привести матрицу к жордановой форме тоже вряд ли попросят (хотя все может быть). Со способностями ничего не поделаешь, а остальное можно улучшать.

Понимание, знания и техника между собой по разному связаны, но в целом так: понимание предполагает знания, а знания --- технику. (Но может быть техника и без знаний.) Поэтому, хотя задач на школьную алгебру на экзамене и не будет, но ей надо владеть на уровне, близком к автоматизму. Во всяком случае, гораздо лучше того, что есть сейчас. Да и в любом случае, это нужно для изучения высшей математики.


Таким образом, Вам придется перепроходить школьную алгебру (по крайней мере, многое повторять и доучивать). Я думаю, что разумней всего делать так. Берете Мордковича-Николаева, и всего подряд внимательно изучаете. Внимательно, но без фанатизма. Одновременно прорешиваете задачи, из их же задачника, тоже все подряд. Однако (!), если какая-то задача для Вас тривиальна (сразу видите как решать, и что решение ее будет просто растратой времени), ее можно пропустить.
Сколько пропустите, нельзя заранее сказать: может 1/10, может половину, может 3/4, а может 9/10. Главное, того, что не очевидно, пропускать не надо! Кстати, иногда следует порешать и тривиальные задачи, просто чтобы руку набить.

В некоторый момент, когда сами сочтете разумным, можно провести тест по материалу, пройденному (повторенному) к тому моменту.

-- 10.05.2018, 18:21 --

P.S. Коллега grizzly написал комментарий по поводу 18 задачи. Я посмотрел, там действительно некая двусмысленность написана. Непонятно, то ли Вы просто выразились неправильно, то ли подумали неправильно. Но, имхо, это мелочи. А вот экстремум параболы через производную в самом деле не ищут, хотя это тоже не очень важно.

[irod]

vpb в сообщении #1311494 писал(а):

Задачу 10 надо все-таки дорешать.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

10) Числа $a$ и $b$ таковы, что система двух уравнений

$$\begin{equation} \begin{cases} 3x+ay=8 \\ (2a+1)x+12y=b \end{cases} \notag \end{equation}$$

имеет бесконечное множество решений. Найти $a$ и $b$ (перечислить все возможности).

(Ответ)

$a_1=4,a_2=-\frac{9}{2},b_1=24,b_2=-\frac{64}{3}$

vpb в сообщении #1311494 писал(а):

В 21 тоже есть небольшая ошибка.

irod в сообщении #1310896 писал(а):

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

21) Решить уравнение

$$ \frac{x+2}{2x+1}+\frac{ax+3}{x+1}=5, $$

где $a$ --- параметр.

(Ответ)

$x_1=0$ при любом $a$, и $x_2=\frac{6-a}{2a-9}$ при $a\neq 4.5$

(Исправление)

Вы имели в виду, что $x_2\neq 0$, и соответственно $a\neq 6$?

vpb в сообщении #1311494 писал(а):

P.S. Коллега grizzly написал комментарий по поводу 18 задачи. Я посмотрел, там действительно некая двусмысленность написана. Непонятно, то ли Вы просто выразились неправильно, то ли подумали неправильно.

Подумал неправильно. Но если бы действительно подставил куда хотел, думаю быстро бы сообразил как на самом деле надо.

-- 11.05.2018, 06:51 --

vpb
Большое Вам спасибо за тест и указания по его итогам!
На всякий случай проговорю свой план на ближайшие месяцы:
1) добиваю 4-ю часть Зельдовича (она еще в процессе);
2) параллельно работаю по Мордковичу-Николаеву, как Вы написали выше.
После завершения 1) или 2) делаю следующее:
3) заканчиваю курс по ангему от МГУ, про который я писал выше, почитывая Александрова если что непонятно в курсе;
4) продолжаю "теорему Абеля" (там мне осталось немного из первой части и вся вторая часть);
5) повторяю теорию СЛАУ по Вашим рекомендациям:

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Кроме того, изучение линейной алгебры требует предварительного знакомства с элементарной теорией систем линейных уравнений (метод Гаусса, определители и т.д.). С этим можно познакомиться, например, по 1-му тому известного учебника А.И.Кострикин, Введение в алгебру. А есть книжка Л.А.Скорняков, Системы линейных уравнений, из серии
"Популярные лекции по математике" (не бог весть как увлекательно написана, но понятно).

и подхожу вплотную к серьезному линалу.
Всегда занимаюсь двумя предметами параллельно. Закончив какой-то пункт, тут же приступаю к следующему.

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

Вот еще несколько задач.

7) Решить неравенство $|x-1|+|x+3|\leq6$.

8) Какова вероятность того, что случайным образом выбранное натуральное
число из интервала $(5{,}9; 47{,}1)$ делится на 3 ?

9) Найдите $A\cap B$, где $A=(-\infty; 0)$, $B=[-1; +\infty)$.

10) Числа $a$ и $b$ таковы, что система двух уравнений

$$\begin{equation} \begin{cases} 3x+ay=8 \\ (2a+1)x+12y=b \end{cases} \notag \end{equation}$$

имеет бесконечное множество решений. Найти $a$ и $b$ (перечислить все возможности).


11) Найти площадь множества точек на координатной плоскости, удовлетворящих системе неравенств

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

12) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда относятся как $2:3:5$, а площадь поверхности равна $248$. Найти длины ребер.

13) Разложите не множители $x^6y^5-y^8+2x^6-2y^3$.

14) Решить уравнение $x^3-x^2-4x+4=0$.

15) Известно, что $x+y=5$ и $xy=-3$. Найти $x^4+y^4$.

16) Решить уравнение

$$ \frac{x^3-x^2}{x-1}=-2x+3 .$$

17) Решить систему

$$ \begin{equation} \begin{cases} 9y^2-6xy-5x+x^2+15y=0 \\ 3x-4y=20 \end{cases} \notag \end{equation} $$

18) При каких значениях $x$ и $y$ многочлен $x^2+2xy-3y^2-5x-y+1$ принимает наибольшее значение, при дополнительном условии, что $x+y=1$?

А можно мне тоже такие задачи?

[iifat]

kotenok gav в сообщении #1311615 писал(а):

А можно мне тоже такие задачи?

Ну дык не раскрываете оффтопиков и решайте на здоровье же ж. Или вам необходимо разрешение vpb на это действо?

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

1) Найти $x$, если

$$ \frac{4,22 -28,07:3,5}{(10\frac16+2,5)\cdot1,5}=0,4x+1,2$$

(Оффтоп)

$$ \frac{4,22 -28,07:3,5}{(10\frac16+2,5)\cdot1,5}=0,4x+1,2$$

$$\frac{211-\frac{2807}{7}}{19}=20x+60$$

$$\frac{-190}{19}=20x+60$$

$$2x+6=-1$$

$$x=-3.5$$

-- 11 май 2018, 15:16 --

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

2) Упростить

$$ \frac{\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}} $$

(Оффтоп)

$\frac{\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}}=\frac{(\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3})(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3})}{(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3})^2}=\frac{(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)}{2+\sqrt3-2\sqrt1+2-\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}2=\sqrt3$

-- 11 май 2018, 15:25 --

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

3) При делении натурального числа $n$ на 13 в остатке получилось 11.
Чему равен остаток от деления числа $n^3-n$ на 13 ?

(Оффтоп)

$n^3-n\equiv 11^3-11=11(11^2-1)=11\times 120=1320\equiv 20\equiv 7 \pmod{13}$

-- 11 май 2018, 15:36 --

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

4) Упростить

$$ \frac{a-3}{a^2+3a}-\frac{12}{9-a^2}+\frac3{3a-a^2}$$

(Оффтоп)

$\frac{a-3}{a^2+3a}-\frac{12}{9-a^2}+\frac3{3a-a^2}=\frac{a-3}{a(a+3)}+\frac{12}{(a+3)(a-3)}-\frac3{a(a-3)}=\frac{(a-3)^2+12a-3(a+3)}{a(a+3)(a-3)}=\frac{a^2+3a}{(a^2+3a)(a-3)}=\frac1{a-3}$

-- 11 май 2018, 15:45 --

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

5) Сократить дробь

$$ \frac{x^2-4xy+3y^2}{x^2-5xy+4y^2} $$

(Оффтоп)

$\frac{x^2-4xy+3y^2}{x^2-5xy+4y^2}=\frac{(x-y)(x-3y)}{(x-y)(x-4y)}=\frac{x-3y}{x-4y}$

-- 11 май 2018, 15:53 --

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

6) Решить систему $3x+2y=5$, \ \ $2x-3y=7$ (тут в системе какой-то глюк, не удалось записать нормальным образом, через фигурную скобку).

(Оффтоп)

$$6.5y=3x+2y-1.5(2x-3y)=5-10.5=-5.5$$

$$y=-\frac{11}{13}$$

$$x=\frac{29}{13}$$

[vpb]

kotenok gav
не обязательно писать решения, это же не олимпиада, а тест. Можете ограничиться тем, чтобы составить список ответов и записать их все в один оффтоп. (Но если хотите писать решения, то пожалуйста, конечно.).

[iifat]

(Оффтоп)

kotenok gav в сообщении #1311626 писал(а):

$n^3-n\equiv 11^3-11=11(11^2-1)=11\times 120=1320\equiv 20\equiv 7 \pmod{13}$

$11\equiv -2\pmod{13}$