Уравнение Больцмана и его свойства

[warlock66613]

epros в сообщении #1308269 писал(а):

Поясните пожалуйста на примере с задачей о Пете, Маше и Мухтаре (Вы ведь согласитесь с тем, что это - задача динамики?).

Я не понимаю, что такое "задача динамики".

epros в сообщении #1308269 писал(а):

Вообще непонятно что такое симметричность или несимметричность начальных условий.

Тут неточность. Под (не)симметричностью начальных условий я подразумевал не(симметричность) некоторого класса начальных условий, а не каких-то одних конкретных. Класс начальных условий, который является на самом деле классом (параметризованных временем) траекторий, симметричен, если наряду с любой содержащейся в нём траектории $x(t)$ он содержит обращённую к ней $x(-t)$.

-- 29.04.2018, 13:42 --

epros в сообщении #1308545 писал(а):

Противоречит Вами же введённому понятию "энтропии ансамбля":

Я специально добавил слово ансамбля, чтобы эту энтропию не перепутали с энтропией Гиббса или Больцмана, которые определяются иначе, а именно вот так:

warlock66613 в сообщении #1305774 писал(а):

мы можем определить <...> энтропию как $S_\Gamma[\rho_\text{rel}] = S_\Gamma[\hat P \rho]$

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308547 писал(а):

Я не понимаю, что такое "задача динамики".

Это общее название для всего того, о симметричности или несимметричности которого относительно инверсии времени Вы здесь рассуждаете. То бишь, это такая задача, в которой присутствует зависимость состояния от времени и которую можно попытаться рассмотреть в обратном времени.

warlock66613 в сообщении #1308547 писал(а):

Под (не)симметричностью начальных условий я подразумевал не(симметричность) некоторого класса начальных условий, а не каких-то одних конкретных. Класс начальных условий, который является на самом деле классом (параметризованных временем) траекторий симметричен, если наряду с любой содержащейся в нём траектории $x(t)$ он содержит обращённую к ней $x(-t)$.

Не понимаю. Вот есть начальное положение и скорость Мухтара. Можно выбрать его не около Пети, а около Маши. Можно скорость поменять на противоположную. Даже по величине скорость можно изменить в каких-то разумных пределах. Что значит "симметричность"? Что наряду с Мухтаром мы должны рассмотреть некоего анти-Мухтара, который в начальный момент бежит в обратную сторону? Тогда у нас будеть класс "симметричных начальных условий"? Зачем?

То же самое и с молекулами газа: Какие начальные условия (точки фазового пространства или, может быть, "классы" этих точек) являются "симметричными", а какие нет?

[warlock66613]

epros в сообщении #1308551 писал(а):

Какие начальные условия (точки фазового пространства или, может быть, "классы" этих точек) являются "симметричными", а какие нет?

Симметричными будут те, которые, будучи записаны в виде уравнения $O[x(t)] = 0$ (здесь $O$ — это некоторый функционал), переходят в себя при формальной замене $t \to -t$. Например, вот условие симметричное:

$$\left\lVert\left. \frac {dx} {dt} \right|_{t = t_0}\right\rVert = 0.$$

А вот несимметричное:

$$\left\lVert\left. \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt} \right|_{t = t_0}) - 1 \right\rVert = 0.$$

(Знаки нормы — это евклидова норма многомерного вектора, написал чисто для проформы.)

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308547 писал(а):

Я специально добавил слово ансамбля, чтобы эту энтропию не перепутали с энтропией Гиббса или Больцмана, которые определяются иначе, а именно вот так:

warlock66613 в сообщении #1305774 писал(а):

мы можем определить <...> энтропию как $S_\Gamma[\rho_\text{rel}] = S_\Gamma[\hat P \rho]$

Э, нет. Это та же самая энтропия, рассчитанная по той же самой формуле, только для другого распределения - не для того, которое выражается конечной суммой дельта-функций. И это распределение никаким точкам никакой "траектории" не соответствует.

Поэтому мне и любопытно - каким это Вы таким хитрым образом собираетесь исключать траектории, для которых "энтропия убывает"?

[warlock66613]

epros в сообщении #1308559 писал(а):

Э, нет.

Троллите? Ну-ну.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308557 писал(а):

Симметричными будут те, которые, будучи записаны в виде уравнения $O[x(t)] = 0$ (здесь $O$ — это некоторый функционал), переходят в себя при формальной замене $t \to -t$. Например, вот условие симметричное:

$$\left\lVert\left. \frac {dx} {dt} \right|_{t = t_0}\right\rVert = 0.$$

А вот несимметричное:

$$\left\lVert\left. \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt} \right|_{t = t_0}) - 1 \right\rVert = 0.$$

Это какая-то бессмыслица. Я не понимаю, как это применить. Если не хотите на примере с Мухтаром (который хорош тем, что там описана действительно необратимая задача, в отличие от Ваших примеров), то давайте на каком-нибудь Вашем примере разберём. Только чтобы было понятно причём тут именно "начальные условия".

[warlock66613]

epros в сообщении #1308563 писал(а):

который хорош тем, что там описана действительно необратимая задача

Ну то есть, он не имеет отношения к интересующей нас ситуации, когда исходные уравнения обратимы во всех смыслах. И что тут хорошего?

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308562 писал(а):

epros в сообщении #1308559 писал(а):

Э, нет.

Троллите? Ну-ну.

Не нукайте, я Вам серьёзный вопрос задал и ожидаю серьёзного ответа. Ибо вижу, что Вы какую-то ерунду пишете. Очевидно, не понимаете. Применени оператора Цванцига, который характеризуется (по Вашим же словам):
«уничтожением информации» $S_\Gamma [\hat P \rho] \geqslant S_\Gamma [\rho]$,
приводит к тому, что распределение $\hat P \rho$ перестаёт соответствовать конкретному микросостоянию, то бишь "точке траектории". Так что слова про "траекторию с убывающей энтропией" - бессмыслица.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308563 писал(а):

Только чтобы было понятно причём тут именно "начальные условия".

В примере, приведённом выше, $t_0$ — это начальный момент времени. Если ограничиться одномерным движением одной частицы, то "начальная скорость равна нулю" — это симметричный класс начальных условий, а "начальная скорость положительна" — несимметричный (он включает в себя, в частности, начальные условия $x(t_0) = 0$, $\dot x(t_0) =1$, но не включает $x(t_0) = 0$, $\dot x(t_0) = -1$).

-- 29.04.2018, 14:39 --

epros в сообщении #1308567 писал(а):

перестаёт соответствовать

Я не знаю, что значит "перестаёт соответствовать". Я определяю энтропию $\rho$ как $S_\Gamma[\hat P \rho]$ и пользуюсь этим определением. И определённая таким образом энтропия — при подходяще выбранном $\hat P$ — удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к энтропии.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308565 писал(а):

epros в сообщении #1308563 писал(а):

который хорош тем, что там описана действительно необратимая задача

Ну то есть, он не имеет отношения к интересующей нас ситуации, когда исходные уравнения обратимы во всех смыслах. И что тут хорошего?

Нас интересует возможность сопоставить обратимые и необратимые уравнения. А те примеры, которые Вы приводили (например, в сообщении #1305836) к необратимости вообще никакого отношения не имеют.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308569 писал(а):

Нас интересует возможность сопоставить обратимые и необратимые уравнения.

Нет, изначально нас интересовала возможность сопоставить уравнения, симметричные относительно $t \to -t$ с уравнениями несимметричными, поскольку об этом говорил Пуанкаре. А возможность сопоставить обратимые и необратимые уравнения... а что, с этим есть какие-то проблемы? Тогда было бы неплохо, если бы вы их сформулировали.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308568 писал(а):

Я не знаю, что значит "перестаёт соответствовать". Я определяю энтропию $\rho$ как $S_\Gamma[\hat P \rho]$ и пользуюсь этим определением.

Ещё раз: Вы говорили об энтропии (точек) траектории. Распределение $\hat P \rho$ конкретной точке конкретной траектории не соответствует.

-- Вс апр 29, 2018 14:48:20 --

warlock66613 в сообщении #1308571 писал(а):

Нет, изначально нас интересовала возможность сопоставить уравнения, симметричные относительно $t \to -t$ с уравнениями несимметричными, поскольку об этом говорил Пуанкаре.

Тогда Вы не в тот раздел попали, потому что собираетесь обсуждать такую тривиальную вещь, как чётность функции. А не обратимость задачи динамики по отношению к инверсии времени, о которой говорил Пуанкаре.

[warlock66613]

epros, вы имеете в виду, что отображение $\hat P$ не биективно? Да, конечно это так, но биективность и не нужна. Чтобы говорить об энтропии точек траектории мне надо определить (однозначную) функцию, которая для каждой конкретной точки выдаёт конкретное число (её энтропию), но и только.

-- 29.04.2018, 14:52 --

epros в сообщении #1308572 писал(а):

А не обратимость задачи динамики по отношению к инверсии времени, о которой говорил Пуанкаре.

Хорошо, распишите ваш вариант "парадокса Пуанкаре", обсудим его.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308574 писал(а):

Чтобы говорить об энтропии точек траектории мне надо определить (однозначную) функцию, которая для каждой конкретной точки выдаёт конкретное число (её энтропию), но и только.

Определение должно быть однозначным. А Ваше определение таково, что для любой траектории Вы можете выбрать эту функцию и так что энтропия будет возрастать, и так, что она будет убывать. Это не определение "энтропии в точках траектории".

warlock66613 в сообщении #1308574 писал(а):

Хорошо, распишите ваш вариант "парадокса Пуанкаре", обсудим его.

Так словами всё было правильно сказано - про "инвариантность уравнений (задачи) динамики относительно инверсии времени". Вопрос только в том, что Вы эту инвариантность неправильно формализуете. Например, обратима ли задача движения маятника? Очевидно, да. Но если Вы просто подставите $-t$ вместо $t$ в решение, то Вы этого не увидите. Правильная инверсия времени предполагает замену не одной переменной, а всего, что может быть заменено. Т.е. по функции перехода из начального состояния в конечное $f~:~S_{\text{нач}} \mapsto S_{\text{кон}}$ нужно построить функцию перехода из конечного состояния в начальное $f^{-1}~:~S_{\text{кон}} \mapsto S_{\text{нач}}$.

Все рассмотренные Вами примеры никакой необратимости не содержат. В статфизике необратимость появляется тогда, когда в качестве $S_{\text{нач}}$ и $S_{\text{кон}}$ начинают рассматривать макросостояния (применяют тот самый "оператор Цванцига", который "уничтожает информацию").

Пример с Петей, Машей и Мухтаром хорош именно тем, что он демонстрирует простую ситуацию, в которой нам приходится переходить к макросостояниям, поскольку в терминах микросостояний решения не существует.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308584 писал(а):

Так словами всё было правильно сказано

Нет, надо не словами, а конкретно. Вот есть вывод одного уравнения из другого. Есть некое возражение Пуанкаре о том, что такой вывод не может существовать, потому что есть некий инвариант, который сохраняется при корректном выводе, и который разный для начального и конечного уравнений. Соответственно, надо было разобраться, как же так получается — то ли вывод некорректен, то ли что-то неучли. (И, по-моему, с этим разобрались, но amon может с этим не согласиться.)

Инвариант этот — как я это понял — симметричность относительно замены $t \to -t$. (И на самом деле, в более общем случае симметрия может быть более сложной вроде той же CPT, но она всегда есть, если уравнения обратимы (детерминированы)).

Действительно, уравнение Больцмана отличается от исходных уравнений не только наличием/отсутствием указанной выше симметрии, но и непосредственно обратимостью/необратимостью, как вы сказали. Но вопрос в том, можно ли, основываясь на этом факте, обосновать некорректность вывода? Навскидку кажется, что нет (потому что корректные преобразования это свойство не сохраняют). Но если вы считаете, что это можно сделать, то, пожалуйста, сделайте. В противном случае — да, это интересное свойство уравнения Больцмана, но и только.