Раскрасьте плоскость в четыре цвета

[Ktina]

Раскрасьте плоскость в четыре цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован. Либо докажите, что это невозможно.

[EUgeneUS]

Ktina в сообщении #1308235 писал(а):

чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов,

не больше двух цветов?
Тогда и тремя цветами закрасить нельзя.

[eugensk]

(Решение)

Невозможно.

Предположим, что условия задачи выполнены.
Возьмем по точке каждого цвета: A,B,C,D. Ясно, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Возможны случаи
1) Прямые AB и CD пересекаются.
2) Прямые AB и CD параллельны, пересекаются AC и BD.
3) Прямые AB и CD параллельны, AC и BD параллельны, пересекаются AD и BC (обязательно!)

В любом случае цвет точки пересечения будет третьим для какой-то из прямых.

В три цвета можно покрасить так: в плоскости XOY три области -- это точка O, первый и третий квадрант, второй и четвертый квадрант.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1308250 писал(а):

не больше двух цветов?
Тогда и тремя цветами закрасить нельзя.

Это утверждение верно, если красить областями с "хорошими" границами.
Контрпример для "плохих" границ:

$x>0$ красим в красный
$x<0$ красим в зеленый
$x=0$ красим в желтый

[kotenok gav]

EUgeneUS в сообщении #1308266 писал(а):

Контрпример

Проведите линию $y=x$.

[EUgeneUS]

kotenok gav в сообщении #1308267 писал(а):

Проведите линию $y=x$.

что-то не выспался сегодня

Двумя цветами красятся квадранты в шахматном порядке. В третий цвет - начало координат

[eugensk]

EUgeneUS в сообщении #1308275 писал(а):

Двумя цветами красятся квадранты в шахматном порядке. В третий цвет - начало координат

Чувствую себя человеком-невидимкой

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

eugensk в сообщении #1308279 писал(а):

Чувствую себя человеком-невидимкой

сорри. Ваш пост с решением для 4-х цветов видел, а его изменение пропустил

[grizzly]

eugensk в сообщении #1308279 писал(а):

Чувствую себя человеком-невидимкой

Тогда проведите прямую $y=x+1$

Upd. Глупости -- это про другую задачу (см. ниже).

[eugensk]

Удалил, я чего-то не допонял.

[grizzly]

eugensk, EUgeneUS
Попытаюсь сэкономить ваше время. Есть достаточно известная задача раскраски квадрата на такие три множества. Такая раскраска существует, но решение этой задачи не совсем тривиальное. Когда-то я поднимал на форуме эту тему и нашёл в сети доказательство. Там этот вопрос используется для другой, ещё более известной задачи.

[eugensk]

grizzly
Речь о раскраске плоскости в 3 цвета?

В статье еще один способ (но я не уверен, речь о рациональных точках квадрата, мне надо разобраться).

Но разбиение

1) точка O,
2) первый и третий квадрант (внутренность) + координатные прямые без точки O
3) второй и четвертый квадрант (внутренность)

тоже работает, любая прямая проходит ровно через две области, то есть не содержит точки всех трёх цветов.
Покажите, где я не прав, я вполне мог запутаться к вечеру шестидневной недели.

[grizzly]

eugensk в сообщении #1308300 писал(а):

Речь о раскраске в 3 цвета?

Да, конечно.

eugensk в сообщении #1308300 писал(а):

В статье еще один способ, очень интересный.

Не думаю.

eugensk в сообщении #1308300 писал(а):

Покажите, где я не прав.

grizzly в сообщении #1308283 писал(а):

Тогда проведите прямую $y=x+1$

Upd. Это продолжение глупостей (см. ниже).

[eugensk]

Провел, проходит через области 2 и 3. Не проходит через область 1. Не томите, shoot!

[grizzly]

eugensk
Всё сорри. Это я изрядно торможу. Попал в плен контекста той задачи. А там в каждом множестве должно было быть хотя бы 2 точки. (Кажется, этого достаточно, хотя доказывалось, что все три множества могут быть всюду плотными.)