2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 09:54 
Аватара пользователя
Раскрасьте плоскость в четыре цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован. Либо докажите, что это невозможно.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 10:44 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #1308235 писал(а):
чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов,


не больше двух цветов?
Тогда и тремя цветами закрасить нельзя.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 10:51 
Аватара пользователя

(Решение)

Невозможно.

Предположим, что условия задачи выполнены.
Возьмем по точке каждого цвета: A,B,C,D. Ясно, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Возможны случаи
1) Прямые AB и CD пересекаются.
2) Прямые AB и CD параллельны, пересекаются AC и BD.
3) Прямые AB и CD параллельны, AC и BD параллельны, пересекаются AD и BC (обязательно!)

В любом случае цвет точки пересечения будет третьим для какой-то из прямых.


В три цвета можно покрасить так: в плоскости XOY три области -- это точка O, первый и третий квадрант, второй и четвертый квадрант.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 11:41 
Аватара пользователя
EUgeneUS в сообщении #1308250 писал(а):
не больше двух цветов?
Тогда и тремя цветами закрасить нельзя.


Это утверждение верно, если красить областями с "хорошими" границами.
Контрпример для "плохих" границ:

$x>0$ красим в красный
$x<0$ красим в зеленый
$x=0$ красим в желтый

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 11:47 
EUgeneUS в сообщении #1308266 писал(а):
Контрпример

Проведите линию $y=x$.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:07 
Аватара пользователя
kotenok gav в сообщении #1308267 писал(а):
Проведите линию $y=x$.

:facepalm:
что-то не выспался сегодня

Двумя цветами красятся квадранты в шахматном порядке. В третий цвет - начало координат

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:32 
Аватара пользователя
EUgeneUS в сообщении #1308275 писал(а):
Двумя цветами красятся квадранты в шахматном порядке. В третий цвет - начало координат

Чувствую себя человеком-невидимкой :?

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:36 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

eugensk в сообщении #1308279 писал(а):
Чувствую себя человеком-невидимкой

сорри. Ваш пост с решением для 4-х цветов видел, а его изменение пропустил

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:38 
Аватара пользователя
eugensk в сообщении #1308279 писал(а):
Чувствую себя человеком-невидимкой :?
Тогда проведите прямую $y=x+1$ :D

Upd. Глупости -- это про другую задачу (см. ниже).

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:51 
Аватара пользователя
Удалил, я чего-то не допонял.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:57 
Аватара пользователя
eugensk, EUgeneUS
Попытаюсь сэкономить ваше время. Есть достаточно известная задача раскраски квадрата на такие три множества. Такая раскраска существует, но решение этой задачи не совсем тривиальное. Когда-то я поднимал на форуме эту тему и нашёл в сети доказательство. Там этот вопрос используется для другой, ещё более известной задачи.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:14 
Аватара пользователя
grizzly
Речь о раскраске плоскости в 3 цвета?

В статье еще один способ (но я не уверен, речь о рациональных точках квадрата, мне надо разобраться).

Но разбиение

1) точка O,
2) первый и третий квадрант (внутренность) + координатные прямые без точки O
3) второй и четвертый квадрант (внутренность)

тоже работает, любая прямая проходит ровно через две области, то есть не содержит точки всех трёх цветов.
Покажите, где я не прав, я вполне мог запутаться к вечеру шестидневной недели.

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:29 
Аватара пользователя
eugensk в сообщении #1308300 писал(а):
Речь о раскраске в 3 цвета?
Да, конечно.
eugensk в сообщении #1308300 писал(а):
В статье еще один способ, очень интересный.
Не думаю.
eugensk в сообщении #1308300 писал(а):
Покажите, где я не прав.

Upd. Это продолжение глупостей (см. ниже).

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:31 
Аватара пользователя
Провел, проходит через области 2 и 3. Не проходит через область 1. Не томите, shoot!

 
 
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:37 
Аватара пользователя
eugensk
Всё сорри. Это я изрядно торможу. Попал в плен контекста той задачи. А там в каждом множестве должно было быть хотя бы 2 точки. (Кажется, этого достаточно, хотя доказывалось, что все три множества могут быть всюду плотными.)

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group