2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 09:54 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Раскрасьте плоскость в четыре цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован. Либо докажите, что это невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 10:44 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Ktina в сообщении #1308235 писал(а):
чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов,


не больше двух цветов?
Тогда и тремя цветами закрасить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 10:51 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында

(Решение)

Невозможно.

Предположим, что условия задачи выполнены.
Возьмем по точке каждого цвета: A,B,C,D. Ясно, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Возможны случаи
1) Прямые AB и CD пересекаются.
2) Прямые AB и CD параллельны, пересекаются AC и BD.
3) Прямые AB и CD параллельны, AC и BD параллельны, пересекаются AD и BC (обязательно!)

В любом случае цвет точки пересечения будет третьим для какой-то из прямых.


В три цвета можно покрасить так: в плоскости XOY три области -- это точка O, первый и третий квадрант, второй и четвертый квадрант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 11:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
EUgeneUS в сообщении #1308250 писал(а):
не больше двух цветов?
Тогда и тремя цветами закрасить нельзя.


Это утверждение верно, если красить областями с "хорошими" границами.
Контрпример для "плохих" границ:

$x>0$ красим в красный
$x<0$ красим в зеленый
$x=0$ красим в желтый

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 11:47 


21/05/16
4292
Аделаида
EUgeneUS в сообщении #1308266 писал(а):
Контрпример

Проведите линию $y=x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:07 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
kotenok gav в сообщении #1308267 писал(а):
Проведите линию $y=x$.

:facepalm:
что-то не выспался сегодня

Двумя цветами красятся квадранты в шахматном порядке. В третий цвет - начало координат

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:32 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
EUgeneUS в сообщении #1308275 писал(а):
Двумя цветами красятся квадранты в шахматном порядке. В третий цвет - начало координат

Чувствую себя человеком-невидимкой :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:36 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н

(Оффтоп)

eugensk в сообщении #1308279 писал(а):
Чувствую себя человеком-невидимкой

сорри. Ваш пост с решением для 4-х цветов видел, а его изменение пропустил

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
eugensk в сообщении #1308279 писал(а):
Чувствую себя человеком-невидимкой :?
Тогда проведите прямую $y=x+1$ :D

Upd. Глупости -- это про другую задачу (см. ниже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:51 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Удалил, я чего-то не допонял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
eugensk, EUgeneUS
Попытаюсь сэкономить ваше время. Есть достаточно известная задача раскраски квадрата на такие три множества. Такая раскраска существует, но решение этой задачи не совсем тривиальное. Когда-то я поднимал на форуме эту тему и нашёл в сети доказательство. Там этот вопрос используется для другой, ещё более известной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:14 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
grizzly
Речь о раскраске плоскости в 3 цвета?

В статье еще один способ (но я не уверен, речь о рациональных точках квадрата, мне надо разобраться).

Но разбиение

1) точка O,
2) первый и третий квадрант (внутренность) + координатные прямые без точки O
3) второй и четвертый квадрант (внутренность)

тоже работает, любая прямая проходит ровно через две области, то есть не содержит точки всех трёх цветов.
Покажите, где я не прав, я вполне мог запутаться к вечеру шестидневной недели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
eugensk в сообщении #1308300 писал(а):
Речь о раскраске в 3 цвета?
Да, конечно.
eugensk в сообщении #1308300 писал(а):
В статье еще один способ, очень интересный.
Не думаю.
eugensk в сообщении #1308300 писал(а):
Покажите, где я не прав.

Upd. Это продолжение глупостей (см. ниже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:31 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Провел, проходит через области 2 и 3. Не проходит через область 1. Не томите, shoot!

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрасьте плоскость в четыре цвета
Сообщение28.04.2018, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
eugensk
Всё сорри. Это я изрядно торможу. Попал в плен контекста той задачи. А там в каждом множестве должно было быть хотя бы 2 точки. (Кажется, этого достаточно, хотя доказывалось, что все три множества могут быть всюду плотными.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group