2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение колебаний струны
Сообщение20.04.2018, 02:24 


19/01/17
12
$U_{tt} =U_{xx} + U -xt^2$
$U(0,t)=2$
$U_x(l,t)=3$
$U(x,0)=x^2+1$
$U_t(x,0)=x$
($\tau^2 + h^4$ ) порядок аппроксимации

численный метод , построение схемы

в попытках решить , вычисляя $U_{i+1}$ $U_{i-1}$ $U_{i+2}$ $U_{i-2}$ нашел, что
$U^{``}=\frac{16U_{i+1}+16U_{i-1}-U_{i+2}-U_{i-2}-30U_i}{12h^2}+o(h^4)$

Как решать дальше, я не знаю, посему прошу вашей помощи, примного благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.04.2018, 03:55 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок (например, если Вам нужно именно численное решение, лучше всего это там же и указать)
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Вторая производная u_{xx}, последняя строка относится непонятно к чему.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.04.2018, 16:01 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение колебаний струны
Сообщение20.04.2018, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
runda в сообщении #1305763 писал(а):
в попытках решить , вычисляя $U_{i+1}$ $U_{i-1}$ $U_{i+2}$ $U_{i-2}$ нашел, что
$U^{``}=\frac{16U_{i+1}+16U_{i-1}-U_{i+2}-U_{i-2}-30U_i}{12h^2}+o(h^4)$

Это Вы аппроксимируете производную по $x$. А производную по $t$ чего не аппроксимировали? Также Вам нужно аппроксимировать с четвертым порядком граничное условие
runda в сообщении #1305763 писал(а):
$U_x(l,t)=3$

и со вторым порядком начальное условие
runda в сообщении #1305763 писал(а):
$U_t(x,0)=x$

Судя по тому, что Вы привели, Вы это делать умеете.
Дальше образуется СЛАУ с пятидиагональной матрицей, для которой есть алгоритм прогонки.
Ну или напишите конкретнее, что именно Вам непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение колебаний струны
Сообщение20.04.2018, 17:12 


19/01/17
12
Хорошо, насчет того что и как аппроксимизировать я понял, а вот как составляется СЛАУ я не понимаю, может подскажете немного? Так же спасибо за ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение колебаний струны
Сообщение20.04.2018, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
runda
Ну так когда Вы все аппроксимируете, Вы и получите СЛАУ.
Например, аппроксимация Вашего уравнения колебаний имеет вид $$\frac{u_m^{n-1}-2u_m^n+u_m^{n+1}}{\tau^2}=\frac{-u_{m-2}^{n+1}+16u_{m-1}^{n+1}-30u_{m}^{n+1}+16u_{m+1}^{n+1}-u_{m+2}^{n+1}}{12h^2}+u_m^n-x_mt_n^2$$
Это я использовал Вашу аппроксимацию второй производной по иксу.. Сам ее не проверял. Группируете в левой части все члены с $n+1$ слоя (по возрастанию индекса $m$), а в правой части -- все остальные. Вот готово большинство уравнений СЛАУ. Остальные уравнения получатся, если аппроксимируете граничные условия с нужным порядком. Начальные условия будут нужны для заполнения столбца свободных членов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение колебаний струны
Сообщение20.04.2018, 18:33 


19/01/17
12
thething в сообщении #1305909 писал(а):
runda
Ну так когда Вы все аппроксимируете, Вы и получите СЛАУ.
Например, аппроксимация Вашего уравнения колебаний имеет вид $$\frac{u_m^{n-1}-2u_m^n+u_m^{n+1}}{\tau^2}=\frac{-u_{m-2}^{n+1}+16u_{m-1}^{n+1}-30u_{m}^{n+1}+16u_{m+1}^{n+1}-u_{m+2}^{n+1}}{12h^2}+u_m^n-x_mt_n^2$$
Это я использовал Вашу аппроксимацию второй производной по иксу.. Сам ее не проверял. Группируете в левой части все члены с $n+1$ слоя (по возрастанию индекса $m$), а в правой части -- все остальные. Вот готово большинство уравнений СЛАУ. Остальные уравнения получатся, если аппроксимируете граничные условия с нужным порядком. Начальные условия будут нужны для заполнения столбца свободных членов.

Все, спасибо за помощь , все получилось, тему можно закрывать

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Евгений Машеров


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group