Уравнение колебаний струны

[runda]

$U_{tt} =U_{xx} + U -xt^2$
$U(0,t)=2$
$U_x(l,t)=3$
$U(x,0)=x^2+1$
$U_t(x,0)=x$
($\tau^2 + h^4$ ) порядок аппроксимации

численный метод , построение схемы

в попытках решить , вычисляя $U_{i+1}$ $U_{i-1}$ $U_{i+2}$ $U_{i-2}$ нашел, что
$U^{``}=\frac{16U_{i+1}+16U_{i-1}-U_{i+2}-U_{i-2}-30U_i}{12h^2}+o(h^4)$

Как решать дальше, я не знаю, посему прошу вашей помощи, примного благодарен.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок (например, если Вам нужно именно численное решение, лучше всего это там же и указать)
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Вторая производная u_{xx}, последняя строка относится непонятно к чему.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

runda в сообщении #1305763 писал(а):

в попытках решить , вычисляя $U_{i+1}$ $U_{i-1}$ $U_{i+2}$ $U_{i-2}$ нашел, что
$U^{``}=\frac{16U_{i+1}+16U_{i-1}-U_{i+2}-U_{i-2}-30U_i}{12h^2}+o(h^4)$

Это Вы аппроксимируете производную по $x$. А производную по $t$ чего не аппроксимировали? Также Вам нужно аппроксимировать с четвертым порядком граничное условие

runda в сообщении #1305763 писал(а):

$U_x(l,t)=3$

и со вторым порядком начальное условие

runda в сообщении #1305763 писал(а):

$U_t(x,0)=x$

Судя по тому, что Вы привели, Вы это делать умеете.
Дальше образуется СЛАУ с пятидиагональной матрицей, для которой есть алгоритм прогонки.
Ну или напишите конкретнее, что именно Вам непонятно?

[runda]

Хорошо, насчет того что и как аппроксимизировать я понял, а вот как составляется СЛАУ я не понимаю, может подскажете немного? Так же спасибо за ответ

[thething]

runda
Ну так когда Вы все аппроксимируете, Вы и получите СЛАУ.
Например, аппроксимация Вашего уравнения колебаний имеет вид

$$\frac{u_m^{n-1}-2u_m^n+u_m^{n+1}}{\tau^2}=\frac{-u_{m-2}^{n+1}+16u_{m-1}^{n+1}-30u_{m}^{n+1}+16u_{m+1}^{n+1}-u_{m+2}^{n+1}}{12h^2}+u_m^n-x_mt_n^2$$

Это я использовал Вашу аппроксимацию второй производной по иксу.. Сам ее не проверял. Группируете в левой части все члены с $n+1$ слоя (по возрастанию индекса $m$), а в правой части -- все остальные. Вот готово большинство уравнений СЛАУ. Остальные уравнения получатся, если аппроксимируете граничные условия с нужным порядком. Начальные условия будут нужны для заполнения столбца свободных членов.

[runda]

thething в сообщении #1305909 писал(а):

runda
Ну так когда Вы все аппроксимируете, Вы и получите СЛАУ.
Например, аппроксимация Вашего уравнения колебаний имеет вид

$$\frac{u_m^{n-1}-2u_m^n+u_m^{n+1}}{\tau^2}=\frac{-u_{m-2}^{n+1}+16u_{m-1}^{n+1}-30u_{m}^{n+1}+16u_{m+1}^{n+1}-u_{m+2}^{n+1}}{12h^2}+u_m^n-x_mt_n^2$$

Это я использовал Вашу аппроксимацию второй производной по иксу.. Сам ее не проверял. Группируете в левой части все члены с $n+1$ слоя (по возрастанию индекса $m$), а в правой части -- все остальные. Вот готово большинство уравнений СЛАУ. Остальные уравнения получатся, если аппроксимируете граничные условия с нужным порядком. Начальные условия будут нужны для заполнения столбца свободных членов.

Все, спасибо за помощь , все получилось, тему можно закрывать