2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16342
Москва
megatumoxa в сообщении #1304947 писал(а):
Стараюсь не рисковать урощать выражения с модулями.
А напрасно. Тем более, что всё, что нужно — это равенство $a^2=\lvert a\rvert^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:09 


10/10/17
181
megatumoxa в сообщении #1304933 писал(а):
$(\frac{x+1}{|x+1|})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}$


$\left(\frac{x+1}{|x+1|}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7613
Diкий Запад
megatumoxa в сообщении #1304947 писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #1304943 писал(а):
Тогда сможете ответить сразу без вычислений: чему равна oбычная производная от первой дроби в скобках ?

Функция сигнум.
Вы в этом уверены?

Сравните графики функций $\frac {x+1}{|x+1|}$ и $sgn(x+1)$.

Подумайте, как соотносятся их производные: $\left(\frac {x+1}{|x+1|}\right)'$ и $sgn(x+1)'$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11756
Казань
megatumoxa
А можете немного отойти от стандарта? Экспонента -- функция положительная, так что исходная функция есть модуль от $g(x)=(x+1)e^{\frac1{x+3}}$.
Попробуйте построить график этой функции, а модуль потом можно будет "навесить".

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:39 


10/10/17
181
Dan B-Yallay в сообщении #1304954 писал(а):
Подумайте, как соотносятся их производные: $\left(\frac {x+1}{|x+1|}\right)'$ и $sgn(x+1)'$

У дроби в точке $x=-1$ производная не существует, на счет сигнума ничего сказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7613
Diкий Запад
megatumoxa в сообщении #1304963 писал(а):
У дроби в точке $x=-1$ производная не существует, на счет сигнума ничего сказать не могу.
У сигнума $(x+1)$ там тоже производной нет. В остальном обе производные равны = ...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:46 


10/10/17
181
Dan B-Yallay в сообщении #1304965 писал(а):
В остальном обе производные равны = ...?

Да, они вроде только этой точкой и отличаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7613
Diкий Запад
megatumoxa в сообщении #1304966 писал(а):
Да, они вроде только этой точкой и отличаются?
Угу.

Так Вы дадите наконец ответ, чему равна производная от первой дроби? Во всех точках, кроме $-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:55 


10/10/17
181
provincialka в сообщении #1304958 писал(а):
А можете немного отойти от стандарта? Экспонента -- функция положительная, так что исходная функция есть модуль от $g(x)=(x+1)e^{\frac1{x+3}}$.
Попробуйте построить график этой функции, а модуль потом можно будет "навесить".

Взять производную от функции без модуля? А куда потом модуль "навесить"?

-- 17.04.2018, 00:55 --

Dan B-Yallay в сообщении #1304967 писал(а):
Так Вы дадите наконец ответ, чему равна производная от первой дроби? Во всех точках, кроме $-1$

Нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11756
Казань
megatumoxa в сообщении #1304968 писал(а):
Взять производную от функции без модуля? А куда потом модуль "навесить"?

На график. Но можно и на производную, ведь модуль отличается от функции разве что знаком.

То есть строите график функции $g(x)$, а потом отражаете все отрицательные значения от оси $Ox$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16342
Москва
megatumoxa в сообщении #1304951 писал(а):
$\left(\frac{x+1}{|x+1|}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$
Н-да-а-а… И это после такой подсказки… Мне кажется, Вы сегодня сильно переутомились. Надо отоспаться, а с утра, со свежими силами, ещё раз попытаться упростить выражение
megatumoxa в сообщении #1304933 писал(а):
$(\frac{x+1}{|x+1|})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7613
Diкий Запад
megatumoxa в сообщении #1304968 писал(а):
Нулю?

Именно.

Вертаемся назад:

megatumoxa писал(а):
$f(x)'=e^\frac{1}{x+3}(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2})$
megatumoxa в сообщении #1304925 писал(а):
А вот со второй производной все куда сложнее. Слишком много модулей, которые значительно все усложняют.


$$f''(x) = \dfrac {d}{dx} \  e^\frac{1}{x+3}\left(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\right) = (e^\frac{1}{x+3})'\cdot  \left(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\right)  + e^\frac{1}{x+3}\cdot \left(\textcolor{blue}{\frac{x+1}{|x+1|}}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\right)' $$

Производную синей дроби Вы только что озвучили. Остальное берётся практически не сложнее, чем первая производная.

-- Пн апр 16, 2018 15:27:21 --

А еще можно было бы сделать так:

$f(x)'=e^\frac{1}{x+3}\Big(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\Big) = e^\frac{1}{x+3}\Big(\frac{|x+1|}{x+1}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\Big)$
$= e^\frac{1}{x+3}  \Big(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\Big) |x+1| $

и брать производную такой функции. Тут модулей меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 11:32 


10/10/17
181
Вот что получилось:

$f(x)=|x+1|e^\frac{1}{x+3}$

1. ОДЗ $f(x)$.
$x\ne -3$.

2. Симметрия.
Функция $f(x)$ является четной.

3. Периодичность.
Функция не является периодической.

4. Первая проивоздная.
$f'(x)=\left(|x+1|e^\frac{1}{x+3}\right)'=|x+1|e^\frac{1}{x+3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\right)$;

Производная не существует в точках $x_1=-3$ и $x_2=-1$;

Функция убывает на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1]$ и возрастает на интервале $[-1, +\infty)$.

5. Вторая производная.
$f''(x)=\left(|x+1|e^\frac{1}{x+3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\right)\right)'=|x+1|e^\frac{1}{x+3}\left(\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\right)^2+\left(2\frac{1}{(x+3)^3}-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 11:38 


05/09/16
5051
megatumoxa в сообщении #1305060 писал(а):
2. Симметрия.
Функция $f(x)$ является четной.

:facepalm: Конечно, не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 17:23 


10/10/17
181
wrest в сообщении #1305063 писал(а):
megatumoxa в сообщении #1305060 писал(а):
2. Симметрия.
Функция $f(x)$ является четной.

:facepalm: Конечно, не является.

Функция общего вида.

Преподаватель по его алгоритму требует найти для первой и второй производной точки, в которых возможно изменение знака и расставить знаки на интервалах. Что-то я ничего понять не могу с этими точками. Пытался и по графику это увидеть, но тоже безрезультатно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: bot, wrest


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group