2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15883
Новомосковск
megatumoxa в сообщении #1304947 писал(а):
Стараюсь не рисковать урощать выражения с модулями.
А напрасно. Тем более, что всё, что нужно — это равенство $a^2=\lvert a\rvert^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:09 


10/10/17
181
megatumoxa в сообщении #1304933 писал(а):
$(\frac{x+1}{|x+1|})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}$


$\left(\frac{x+1}{|x+1|}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7285
megatumoxa в сообщении #1304947 писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #1304943 писал(а):
Тогда сможете ответить сразу без вычислений: чему равна oбычная производная от первой дроби в скобках ?

Функция сигнум.
Вы в этом уверены?

Сравните графики функций $\frac {x+1}{|x+1|}$ и $sgn(x+1)$.

Подумайте, как соотносятся их производные: $\left(\frac {x+1}{|x+1|}\right)'$ и $sgn(x+1)'$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11668
Казань
megatumoxa
А можете немного отойти от стандарта? Экспонента -- функция положительная, так что исходная функция есть модуль от $g(x)=(x+1)e^{\frac1{x+3}}$.
Попробуйте построить график этой функции, а модуль потом можно будет "навесить".

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:39 


10/10/17
181
Dan B-Yallay в сообщении #1304954 писал(а):
Подумайте, как соотносятся их производные: $\left(\frac {x+1}{|x+1|}\right)'$ и $sgn(x+1)'$

У дроби в точке $x=-1$ производная не существует, на счет сигнума ничего сказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7285
megatumoxa в сообщении #1304963 писал(а):
У дроби в точке $x=-1$ производная не существует, на счет сигнума ничего сказать не могу.
У сигнума $(x+1)$ там тоже производной нет. В остальном обе производные равны = ...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:46 


10/10/17
181
Dan B-Yallay в сообщении #1304965 писал(а):
В остальном обе производные равны = ...?

Да, они вроде только этой точкой и отличаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7285
megatumoxa в сообщении #1304966 писал(а):
Да, они вроде только этой точкой и отличаются?
Угу.

Так Вы дадите наконец ответ, чему равна производная от первой дроби? Во всех точках, кроме $-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение16.04.2018, 23:55 


10/10/17
181
provincialka в сообщении #1304958 писал(а):
А можете немного отойти от стандарта? Экспонента -- функция положительная, так что исходная функция есть модуль от $g(x)=(x+1)e^{\frac1{x+3}}$.
Попробуйте построить график этой функции, а модуль потом можно будет "навесить".

Взять производную от функции без модуля? А куда потом модуль "навесить"?

-- 17.04.2018, 00:55 --

Dan B-Yallay в сообщении #1304967 писал(а):
Так Вы дадите наконец ответ, чему равна производная от первой дроби? Во всех точках, кроме $-1$

Нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11668
Казань
megatumoxa в сообщении #1304968 писал(а):
Взять производную от функции без модуля? А куда потом модуль "навесить"?

На график. Но можно и на производную, ведь модуль отличается от функции разве что знаком.

То есть строите график функции $g(x)$, а потом отражаете все отрицательные значения от оси $Ox$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15883
Новомосковск
megatumoxa в сообщении #1304951 писал(а):
$\left(\frac{x+1}{|x+1|}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$
Н-да-а-а… И это после такой подсказки… Мне кажется, Вы сегодня сильно переутомились. Надо отоспаться, а с утра, со свежими силами, ещё раз попытаться упростить выражение
megatumoxa в сообщении #1304933 писал(а):
$(\frac{x+1}{|x+1|})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7285
megatumoxa в сообщении #1304968 писал(а):
Нулю?

Именно.

Вертаемся назад:

megatumoxa писал(а):
$f(x)'=e^\frac{1}{x+3}(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2})$
megatumoxa в сообщении #1304925 писал(а):
А вот со второй производной все куда сложнее. Слишком много модулей, которые значительно все усложняют.


$$f''(x) = \dfrac {d}{dx} \  e^\frac{1}{x+3}\left(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\right) = (e^\frac{1}{x+3})'\cdot  \left(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\right)  + e^\frac{1}{x+3}\cdot \left(\textcolor{blue}{\frac{x+1}{|x+1|}}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\right)' $$

Производную синей дроби Вы только что озвучили. Остальное берётся практически не сложнее, чем первая производная.

-- Пн апр 16, 2018 15:27:21 --

А еще можно было бы сделать так:

$f(x)'=e^\frac{1}{x+3}\Big(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\Big) = e^\frac{1}{x+3}\Big(\frac{|x+1|}{x+1}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2}\Big)$
$= e^\frac{1}{x+3}  \Big(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\Big) |x+1| $

и брать производную такой функции. Тут модулей меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 11:32 


10/10/17
181
Вот что получилось:

$f(x)=|x+1|e^\frac{1}{x+3}$

1. ОДЗ $f(x)$.
$x\ne -3$.

2. Симметрия.
Функция $f(x)$ является четной.

3. Периодичность.
Функция не является периодической.

4. Первая проивоздная.
$f'(x)=\left(|x+1|e^\frac{1}{x+3}\right)'=|x+1|e^\frac{1}{x+3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\right)$;

Производная не существует в точках $x_1=-3$ и $x_2=-1$;

Функция убывает на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1]$ и возрастает на интервале $[-1, +\infty)$.

5. Вторая производная.
$f''(x)=\left(|x+1|e^\frac{1}{x+3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\right)\right)'=|x+1|e^\frac{1}{x+3}\left(\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+3)^2}\right)^2+\left(2\frac{1}{(x+3)^3}-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 11:38 


05/09/16
3894
megatumoxa в сообщении #1305060 писал(а):
2. Симметрия.
Функция $f(x)$ является четной.

:facepalm: Конечно, не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать функцию. Построить график.
Сообщение17.04.2018, 17:23 


10/10/17
181
wrest в сообщении #1305063 писал(а):
megatumoxa в сообщении #1305060 писал(а):
2. Симметрия.
Функция $f(x)$ является четной.

:facepalm: Конечно, не является.

Функция общего вида.

Преподаватель по его алгоритму требует найти для первой и второй производной точки, в которых возможно изменение знака и расставить знаки на интервалах. Что-то я ничего понять не могу с этими точками. Пытался и по графику это увидеть, но тоже безрезультатно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group