Исследовать функцию. Построить график.

[megatumoxa]

$f(x)=|x+1|e^\frac{1}{x+3}$

Пока застрял на этом пункте
Правильно ли я взял производную?

$f(x)'=(|x+1|e^\frac{1}{x+3})'=|x+1|'e^\frac{1}{x+3}+|x+1|(e^\frac{1}{x+3})'=\frac{x+1}{|x+1|}e^\frac{1}{x+3}+|x+1|e^\frac{1}{x+3}(\frac{1}{x+3})'=\frac{x+1}{|x+1|}e^\frac{1}{x+3}+|x+1|e^\frac{1}{x+3}(-\frac{1}{(x+3)^2})=e^\frac{1}{x+3}(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2})$

[Someone]

Я ошибок не заметил. А в чём проблема, что Вы на этом месте застряли?

[megatumoxa]

Someone в сообщении #1304896 писал(а):

А в чём проблема, что Вы на этом месте застряли?

Можно ли что-то упростить в итоговом выражении или лучше ничего больше не трогать?

Вот такой дальнейший алгоритм задан:
1.1. Первая производная.
1.2. Найти точки, в которых возможно изменение знака функции $f'(x)$.
1.3. Определить расположение определенных знаков.
2.1. Вторая производная.
2.2. Найти точки, в которых возможно изменение знака функции $f''(x)$.
2.3. Определить расположение определенных знаков.

Не очень понял нахождение данных точек. Вот что у меня получилось:

Точки: $-3\approx -3$, $-1\approx -1$.

Знаки: $| - | -3 | - | -1 | + |$

[Someone]

megatumoxa в сообщении #1304899 писал(а):

Можно ли что-то упростить в итоговом выражении или лучше ничего больше не трогать?

Разность дробей в скобках привести к общему знаменателю.

megatumoxa в сообщении #1304899 писал(а):

Не очень понял нахождение данных точек.

Нужно найти точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

megatumoxa в сообщении #1304899 писал(а):

Точки: $-3\approx -3$, $-1\approx -1$.

Знаки: $| - | -3 | - | -1 | + |$

Я не понимаю, что это означает. Нормально перечислите точки, в которых производная равна нулю или не существует. На интервалах между найденными точками определите знаки производной. Сделайте выводы, пользуясь достаточными условиями экстремума.

[DeBill]

И да избавьтесь Вы от модулей - они только запутывают...

[megatumoxa]

Someone в сообщении #1304905 писал(а):

Я не понимаю, что это означает. Нормально перечислите точки, в которых производная равна нулю или не существует. На интервалах между найденными точками определите знаки производной. Сделайте выводы, пользуясь достаточными условиями экстремума.

Просто у нас преподаватель все это так записывает.

Производная не существует в точках $x_1=-3$ и $x_2=-1$.

Функция убывает на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$ и возрастает на интервале $(-1, +\infty)$.

[wrest]

megatumoxa
Гляньте еще на границы интервалов: вы ни одну границу не включили в интервал, все верно?

[megatumoxa]

DeBill в сообщении #1304911 писал(а):

И да избавьтесь Вы от модулей - они только запутывают...

Знать бы как это правильно сделать, чтобы не подпортить ничего.

wrest в сообщении #1304919 писал(а):

Гляньте еще на границы интервалов: вы ни одну границу не включили в интервал, все верно?

Точку $x=-1$ нужно включить.

-- 16.04.2018, 23:25 --

А вот со второй производной все куда сложнее. Слишком много модулей, которые значительно все усложняют.

[Dan B-Yallay]

megatumoxa в сообщении #1304925 писал(а):

А вот со второй производной все куда сложнее. Слишком много модулей, которые значительно все усложняют.

Да вроде несильно. Обычная производная от первой дроби в скобках чему равна?

[megatumoxa]

Dan B-Yallay в сообщении #1304930 писал(а):

Обычная производная от первой дроби в скобках чему равна?

$(\frac{x+1}{|x+1|})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}$

$(\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+1|}{(x+3)^2})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}-\frac{(x+1)}{|x+1|(x+3)^2}-2\frac{|x+1|}{(x+3)^2}$

[Dan B-Yallay]

megatumoxa

Это наверное всё верно, но ... посмотрите на график этой функции.

-- Пн апр 16, 2018 13:47:16 --

T.e. на график $\frac{x+1}{|x+1|}.$ Вы же знакомы с функцией сигнум?

[megatumoxa]

Dan B-Yallay в сообщении #1304937 писал(а):

T.e. на график $\frac{x+1}{|x+1|}.$ Вы же знакомы с функцией сигнум?

Смотря насколько близко. Внешний вид точно знаю.

[Dan B-Yallay]

megatumoxa в сообщении #1304940 писал(а):

Смотря насколько близко. Внешний вид точно знаю.

Тогда сможете ответить сразу без вычислений: чему равна oбычная производная от первой дроби в скобках ?

[Someone]

megatumoxa в сообщении #1304933 писал(а):

$(\frac{x+1}{|x+1|})'=\frac{|x+1|}{(x+1)^2}-\frac{1}{|x+1|}$

Ужас какой… А упростить никак нельзя?

P.S. Как сделать скобки разного размера.

[megatumoxa]

Someone в сообщении #1304945 писал(а):

Ужас какой… А упростить никак нельзя?

Стараюсь не рисковать, упрощая выражения с модулями.

Dan B-Yallay в сообщении #1304943 писал(а):

Тогда сможете ответить сразу без вычислений: чему равна oбычная производная от первой дроби в скобках ?

Функция сигнум.