Сложение и другие арифметические операции

[abv646]

Здравствуйте.
Недавно мне попалась "лекция" одного деятеля, который доказывает, что сложение - это единственная арифметическая операция, а все другие - лишь производные от нее. В частности, умножение - это просто многократное сложение (кстати, такое же определение дает и Википедия). А раз умножение определяется через сложение, то и никакого самостоятельного умножения не существует (умножение - короткая запись сложения). Человека, который изучал математику давно и только в школе, это несколько обескураживает. Так что же делает умножение самостоятельной операцией? Как мне представляется, например, в геометрическом смысле умножение - это нахождение площади прямоугольника, а сложение - нахождение совокупной длины отрезка, и поэтому хотя технически $2+2=2\cdot2$, смысл у этих операций совершенно разный. Прав ли я? Может быть вы мне подскажете абстрактные определения сложения и умножения, из которых ясно видно, в чем между ними разница.

[mihaild]

Есть "теория колец" - раздел абстрактной алгебры кольца, изучающий кольца - множества, на которых заданы две операции - сложение и умножение, определенным образом связанные. Целые, рациональные и вещественные числа - примеры колец, но есть много других интересных колец. Но там сложение и умножение не определяются, а считаются уже заданными (с нужными свойствами).

Есть скажем арифметика Пеано - аксиоматизация натуральных чисел; но там тоже просто указаны свойства умножения.

Можно определять сложение и умножение в теории рекурсивных функций. При этом сложение не будет "базовой" операцией, базовой операцией будет прибавление единицы.

Можно строить натуральные числа в теории множеств - там опять же мы начинаем с "прибавления единицы" (причем прибавление единицы возникает еще до того, как мы собственно построили $\mathbb{N}$).

Вообще, не очень понятно, что значит "быть самостоятельной операцией".

[abv646]

Цитата:

Вообще, не очень понятно, что значит "быть самостоятельной операцией".

Я имел ввиду, действительно ли умножение и сложение - это одна и та же операция, где умножение просто записывается коротко?

[Geen]

Умножение на комплексное число, умножение полиномов, умножение векторов....

[Qlin]

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

В частности, умножение - это просто многократное сложение (кстати, такое же определение дает и Википедия).

Такое определение в арифметике натуральных чисел дать нельзя.

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

А раз умножение определяется через сложение, то и никакого самостоятельного умножения не существует (умножение - короткая запись сложения).

Уточните, в каком языке и в какой теории вы хотите выразить умножение через сложение.

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

Может быть вы мне подскажете абстрактные определения сложения и умножения, из которых ясно видно, в чем между ними разница.

Для начала можно ознакомиться с аксиоматикой Пеано.

[mihaild]

abv646 в сообщении #1302213 писал(а):

умножение и сложение - это одна и та же операция

Ну как же это может быть одной операцией? $2 \cdot 3 = 6 \neq 5 = 2 + 3$.
Умножение в некоторых случаях можно определить, как итерированное сложение. Возможность этого зависит от того, с чем именно мы работаем (как указал Geen, не очень понятно, что значит сложить что-то с чем-то $\pi$ раз), и какие у нас вообще есть средства для конструирования операций.

Говоря короче, я бы предложил вам считать фразу

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

сложение - это единственная арифметическая операция, а все другие - лишь производные от нее

внушительно звучащей, но не особо осмысленной.

[abv646]

Цитата:

Ну как же это может быть одной операцией? $2 \cdot 3 = 6 \neq 5 = 2 + 3$.

Имелось ввиду, что для осуществления умножения мы используем сложение $2 \cdot 3 = 6 = 2 + 2 + 2$.

Я прекрасно понимаю, что сложение и умножение - это не одно и то же. Просто некоторые путаются. Один человек посмотрел видео, о котором я писал в первом сообщении, и прислал его мне. Он считает, что "математики скрывают" и "детям в школе пудрят мозги". Я хочу ему помочь и создал тему, чтобы найти, скажем так, эффектную иллюстрацию для переубеждения.

Цитата:

что значит сложить что-то с чем-то $\pi$ раз

Ну а как Вы на практике умножите, допустим, $\pi$ на $\pi$? Возьмете $\pi$ округленно, например $3,1416$, далее запишете в столбик одно под другим и будете умножать: $6 \cdot 6 = 36 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6$, 6 пишем, 3 "в уме" переносим в следующий разряд и т.д.

Цитата:

внушительно звучащей, но не особо осмысленной.

Я Вас понял. Спасибо, давайте остановимся на этом.

[Gordon123]

Рыбников - непробиваемый фрик, переубеждать его бесполезно.

[Dmitriy40]

abv646 в сообщении #1302231 писал(а):

Ну а как Вы на практике умножите, допустим, $\pi$ на $\pi$? Возьмете $\pi$ округленно, например $3,1416$, далее запишете в столбик одно под другим и будете умножать: $6 \cdot 6 = 36 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6$, 6 пишем, 3 "в уме" переносим в следующий разряд и т.д.

Вовсе не обязательно именно так, вот например $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ можно и нужно умножать не по цифрам, а сразу получить точное значение $2$, которое по цифрам получить проблематично, если забыть об необходимости правильного округления.
Ваш пример срабатывает лишь в младшей школе, для целых чисел, при расширении списка возможных объектов оперирования этот подход становится неприемлемым или непонятным, уже даже с рациональными числами неясно сколько раз надо что-то складывать, приходится дополнять правило умножения. Потому операция нужна, особенно если не ограничиваться лишь целыми числами.

[vpb]

abv646
Если Вы действительно хотите своего товарища разубедить, а не нас тут начать убеждать (тем более если Вы не есть тот самый Рыбников), можно сказать так.

В самом простом случае, для натуральных чисел 1,2,3, ... , умножение --- это действительно просто сложение числа несколько раз самого с собой. Во 2-3 классах детям именно так и объясняют, и это абсолютно правильно. Ну, а потом начинают проходить дроби, потом --- отрицательные числа, многочлены и т.д. И для них уже умножение так просто к
сложению не сводится. Да даже для натуральных чисел, попробуйте, с одной стороны, умножить 328 на 531, а с другой ---
сложить его самого с собой 531 раз. Сразу увидите разницу (результат то будет один и тот же, но вот сам процесс...).

Тем не менее, понятие умножения, конечно, происходит из понятия сложения. Но то, что одно понятие из другого происходит, это же не значит, что это одно и то же, что первое не нужно и что оно ко второму полностью сводится. Наглядный образ: может быть, река вытекает из озера, скажем река Ангара вытекает из Байкала, но Ангара --- это не то же, что Байкал! Вот, собственно, и всё объяснение. А искать тут каких-то более глубоких смыслов, тем более с недостаточными базовыми знаниями --- бессмысленное занятие, путь в дурку.

[bot]

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

сложение - это единственная арифметическая операция, а все другие - лишь производные от нее

Чушь. Возьмём букву $f$, ничего другого пока нет. Начнём складывать. Что получим? Получим суммы типа $f+f+\ldots f$ с произвольным натуральным числом слагаемых и ничего иного, для краткости запишем эту сумму как $nf$ - никакого произведения тут нет и в помине, просто обозначение. Пусть $f$ - это фрик, а $n$ - их количество. Не знаю, найдётся ли фрик, который увидит в $nf$ произведение.
Для определения произведения одного сложения оказалось мало, добавим вычитание, при этом с необходимостью придётся добавить $0$. Что получим в результате сложения и вычитания? Ну теперь будут суммы типа $nf$, где $n$ уже любое целое.
Чтобы получить хотя бы $f^2$ надо определить умножение $f$ на самого себя. Это можно сделать многими способами. Например, положу $f^2=f$ или $f^2=0$ и опять начну складывать и вычитать. В обоих случаях ничего, кроме прежних сумм не получу, но умножения будут разными - во втором случае умножение просто нулевое.

ЗЫ. ВЫше я беззастенчиво пользовался тождеством $mf+nf=(m+n)f$, а также ассоциативностью и коммутативностью сложения, которые принимаются безоговорочно всеми фриками, но на самом деле не являются обязательными. Правда в таком случае мне укажут, что такое сложение вряд ли можно назвать арифметическим.
Ну а уж складывать фриков - чего ж тут не арифметического? Чем они от палочек в 1 классе отличаются?..
Задумался - многим конечно отличаются, прежде всего палочки в интернет не ходють. Однако математика абстрагируется от подобных отличий.

[Someone]

Есть арифметика Пеано со сложением и умножением. И есть арифметика Пресбургера, которая отличается только тем, что исключена операция умножения с её аксиомами.
Арифметика Пресбургера является разрешимой теорией, то есть, существует алгоритм, который по любой заданной формуле определяет, доказуема она или нет. А для арифметики Пеано такой алгоритм невозможен. Поэтому в арифметике Пресбургера определить операцию умножения через сложение нельзя.

[Qlin]

Someone, еще надо бы пояснить, что такое вообще выразить умножение. Я могу предъявить какую-то формулу вида $a \times b = \Phi (a,b)$, где под $\Phi (a,b)$ понимается некая формула первопорядкового языка арифметики Пресбургера. Дальше по каким критериям можно подтвердить или опровергнуть, что таким способом выражено умножение?

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1302468 писал(а):

еще надо бы пояснить, что такое вообще выразить умножение

Ну чего там пояснять. Отношение $R$ на носителе модели $M$ выразимо, если существует формула $\varphi$ (соответствующей сигнатуры), имеющая столько же свободных переменных, сколькиместно отношение, такая что $\varphi$ истина в $M$ ровно на тех наборах значений переменных (будем считать, что переменные упорядочены всегда одинаково), которые принадлежат $R$. Операция выразима, если выразимо соответствующее отношение.

Это всё формализует наивное соображение о выразимости, требующее, чтобы способ выражения не зависел от значений аргументов, и это всё не что-то новое.

[Qlin]

arseniiv, это ситуация на конкретной модели. А если надо проверить выразимость всех интерпретаций данной операции (отношения) на всех моделях? Может быть попытаться дать синтаксическое определение вроде такого:
Пусть существует формула $\varphi (a,b)$ сигнатуры PrA. Все аксиомы PA, содержащие знак умножения, преобразуем по правилу $a \times b = \varphi (a,b)$ так, чтобы они не содержали этот знак. Умножение выразимо, если все эти измененные аксиомы оказываются теоремами в PrA. Что вы скажете о таком подходе к определению?