Сложение и другие арифметические операции

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1302857 писал(а):

А если надо проверить выразимость всех интерпретаций данной операции (отношения) на всех моделях?

Тогда не операции/отношения, а функционального/предикатного символа. Давайте не путать термины.

Qlin в сообщении #1302857 писал(а):

Может быть попытаться дать синтаксическое определение вроде такого:
Пусть существует формула $\varphi (a,b)$ сигнатуры PrA. Все аксиомы PA, содержащие знак умножения, преобразуем по правилу $a \times b = \varphi (a,b)$ так, чтобы они не содержали этот знак. Умножение выразимо, если все эти измененные аксиомы оказываются теоремами в PrA. Что вы скажете о таком подходе к определению?

Ну, чего я скажу. Во-первых, вы путаете формулы и термы. Во-вторых, вы, надо понимать, хотите изобрести расширение теории определением. Но пока «во-первых» не исправлено, говорить о следствиях второго рано.

[Qlin]

arseniiv в сообщении #1302858 писал(а):

Во-первых, вы путаете формулы и термы.

Да, имелось в виду что-то вроде $a \times b = c \leftrightarrow \varphi (a,b,c)$, а предыдущий вариант выглядит, как полная ерунда.

[arseniiv]

Во, теперь я уверен, что вы изобретаете расширение определением.

Пусть $T_2$ расширяет $T_1$ определением символа $s$. Пусть $M_2$ — произвольная модель $T_2$ и $M_1$ — модель $T_1$, получающаяся из неё выкидыванием лишней операции/отношения $[s]_{M_2}$. Теперь посмотрите, что это может значить для выразимости $[s]_{M_2}$ в $M_1$ по вашему предложению.

[Qlin]

$[s]_{M_2}$ выразимо на $M_2$, поскольку в теории $T_2$ существуют формулы, истинные на тех же наборах (это и есть сами определения). $[s]_{M_2}$ в $M_1$ тоже выразимо, поскольку эти формулы можно ввести.

[arseniiv]

И это отвечает на ваш предыдущий вопрос о формулировках.

[epros]

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

Так что же делает умножение самостоятельной операцией?

1) Наличие в теории символа для этой операции.
2) Наличие в теории аксиом, в которых этот символ используется.

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

А раз умножение определяется через сложение, то и никакого самостоятельного умножения не существует (умножение - короткая запись сложения)

Хотя в этой фразе не упомянута явно, но очевидно имеется в виду арифметика натуральных чисел, в которой умножение рекурсивно определяется "через сложение" двумя аксиомами:
$x \times (y+1)=(x \times y)+x$,
$x \times 0=0$.

Надо заметить, что:
1) Сложение ничуть не лучше, ибо оно в арифметике натуральных чисел точно так же рекурсивно определяется "через инкремент".
2) Рассуждение о том, что "умножение - короткая запись сложения" в рамках арифметики натуральных чисел может иметь смысл только для умножения на константы. Попробуйте расписать через сложение формулу, утверждающую, что число $x$ является простым. В ней употребляется умножение, оба сомножителя которого - переменные. И никак через сложение Вы эту формулу не распишете.

[Chifu]

Если уж на то пошло, то на универсальном компьютере все вычисления выполняются через два состояния и логический базис. :)

[arseniiv]

Компьютеры бывают разные (а что такое логический базис?).

[photon]

arseniiv в сообщении #1302929 писал(а):

(а что такое логический базис?)

Набор логических операций, используя которые можно построить любую сколь угодно сложную логическую функцию. Логический базис может содержать одну единственную операцию (стрелку Пирса (ИЛИ-НЕ) или штрих Шеффера (И-НЕ)).

[beroal]

abv646 в сообщении #1302206 писал(а):

В частности, умножение - это просто многократное сложение (кстати, такое же определение дает и Википедия).

Имеется в виду определение умножения натуральных чисел через сложение с помощью примитивной рекурсии. Чтобы объяснить это подробнее школьникам, желательно использовать язык программирования. Будет определение умножения, которое тут же можно вычислить.

Такое определение даже полезно, потому что его можно обобщить. Возведение в натуральную степень есть повторение умножения. Для любого моноида $M$ можно определить операцию «повторить $m$ в $M$ $n$ раз», где $n$ есть натуральное число, $m$ есть элемент $M$. Поскольку это частные случаи повторения, их свойства одинаковы. Первый шаг к абстрактной алгебре.

[epros]

(beroal)

beroal в сообщении #1303465 писал(а):

Имеется в виду определение умножения натуральных чисел через сложение с помощью примитивной рекурсии.

Если этим Вы хотели поддержать тезис "никакого самостоятельного умножения не существует" (ибо "самостоятельной операцией" является только сложение), то смотрите моё предыдущее сообщение в теме. Там про рекурсивное определение тоже сказано.

[beroal]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1303474 писал(а):

beroal в сообщении #1303465 писал(а):

Имеется в виду определение умножения натуральных чисел через сложение с помощью примитивной рекурсии.

Если этим Вы хотели поддержать тезис "никакого самостоятельного умножения не существует" (ибо "самостоятельной операцией" является только сложение), то смотрите моё предыдущее сообщение в теме. Там про рекурсивное определение тоже сказано.

Я видел ваше сообщение, конечно. Я за тезис, что это определение тоже интересно и полезно, если относиться к нему без нижеописанного фанатизма.

abv646 в сообщении #1302231 писал(а):

Один человек посмотрел видео, о котором я писал в первом сообщении, и прислал его мне. Он считает, что "математики скрывают" и "детям в школе пудрят мозги".

[photon]

epros в сообщении #1302896 писал(а):

Попробуйте расписать через сложение формулу, утверждающую, что число $x$ является простым. В ней употребляется умножение, оба сомножителя которого - переменные. И никак через сложение Вы эту формулу не распишете.

А чем плохо:
Число $a$ - простое, если его нельзя представить в виде суммы чисел $b \neq 1$

[arseniiv]

photon в сообщении #1303325 писал(а):

Набор логических операций, используя которые можно построить любую сколь угодно сложную логическую функцию. Логический базис может содержать одну единственную операцию (стрелку Пирса (ИЛИ-НЕ) или штрих Шеффера (И-НЕ)).

Ясно. Я привык, что это называется более понятно полной системой булевых функций.

Вообще когда компьютеры примитивизируют до такого уровня, это немного нехорошо, потому что на таком уровне описание сколь-нибудь полезного процессора будет совершенно невыносимым…

[epros]

photon в сообщении #1303547 писал(а):

А чем плохо:
Число $a$ - простое, если его нельзя представить в виде суммы чисел $b \neq 1$

А как это формулой арифметики записать?

$\nexists b~a=b+\ldots+b \wedge b \ne 1$ - это не формула арифметики (из-за троеточия).