Странная динамическая система на плоскости: упорные центры

[Red_Herring]

Рассмотрим систему:

$$ \left\{\begin{aligned} &\dot{x}=\sin(x)\cos(y)+\varepsilon\cos(x),\\ &\dot{y}=-\cos(x)\sin(y)+\varepsilon\cos(y). \end{aligned}\right. $$

При $\varepsilon=0$ она вполне интегрируема, $H(x,y)=\sin(x)\sin(y)$ и центры располагаются в центрах клеток шахматной доски ($\sin(x)\sin(y)=\pm 1$) а седла--в вершинах $\cos(x)\cos(y)=\pm 1$).

При $0<\varepsilon\ll 1$ седла слегка сдвигаются в $\sin(x)=\pm \varepsilon$, $\sin(y)=\mp \varepsilon$ (знаки определяются, м.б. с точностью до наоборот знаком $\cos(x)\cos(y)$). "Чернопольные" центры превращаются в фокусы (стабильные и нестабильные, в зависимости от знака $\sin(x)\sin(y)$), а вот "белопольные", как показывает симуляция $\varepsilon=.1$, остаются центрами.

И если все остальные точки исследуются по линеаризации, то как обосновать, что эти центры так и упорствуют в своей центральности.

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1301380 писал(а):

как обосновать, что эти центры так и упорствуют в своей центральности.

Топологически?

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1301383 писал(а):

Топологически?

Да хоть как нибудь.

[dsge]

Red_Herring в сообщении #1301380 писал(а):

"Чернопольные" центры превращаются в фокусы

Вроде, линеаризованно они все центры, но за счет нелинейностей некоторые становятся фокусами. Какая-то вырожденная глобальная бифуркация.

[Red_Herring]

dsge в сообщении #1301416 писал(а):

Вроде, линеаризованно они все центры, но за счет нелинейностей некоторые становятся фокусами. Какая-то вырожденная глобальная бифуркация.

Отнюдь нет. С.з. будут в фокусах ${\color{red}\pm} \varepsilon \pm i$, а в центрах $\pm i\sqrt{1-\varepsilon^2}$ и при $\varepsilon$ возрастающем упорные центры скукоживаются и сливаются с седлами при $\varepsilon=1$

[Geen]

Так а во что они, в принципе, могут превратиться?
Вот есть 4 центра и седло между ними - что может произойти в общем случае при "малом шевелении системы"?

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1301439 писал(а):

Вот есть 4 центра и седло между ними - что может произойти в общем случае при "малом шевелении системы"?

Посмотрим, что будет при возмущении $(\varepsilon x,\varepsilon y)$. Тут правда, все фокусы неустойчивые.

Ну а всяких фокусов внутри предельных циклов тоже никто не отменял

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1301446 писал(а):

Тут правда, все фокусы неустойчивые.

В Вашем случае (периодическом) такое невозможно (как кажется) - половина фокусов должны быть устойчивые.

Red_Herring в сообщении #1301446 писал(а):

Ну а всяких фокусов внутри предельных циклов тоже никто не отменял

Но "снаружи" такой цикл должен выглядеть как фокус?

И у Вас пара устойчивый-неустойчивый фокус образовались по диагонали (по отношению к седлу) - не представляю как могли бы быть фокусы по другой диагонали.

[pogulyat_vyshel]

я бы попробовал несколько членов нормальной формы векторного поля выписать в окрестности положения равновесия, вдруг там до третьего-четвертого порядка центр, а потом что-то другое

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1301467 писал(а):

не представляю как могли бы быть фокусы по другой диагонали.

Я тоже. Но это, увы не доказательство

pogulyat_vyshel в сообщении #1301475 писал(а):

я бы попробовал несколько членов нормальной формы векторного поля выписать в окрестности положения равновесия, вдруг там до третьего-четвертого порядка центр, а потом что-то другое

Эта задача возникла просто из случайной демонстрации для студентов-нематематиков. Поэтому мой интерес к ней ограничен. Но я рассчитывал(ваю) на то, что кто-нибудь знает или заинтересуется. Но я бы начал бы не с анализа, а просто нашел бы программу которая это бы просчитала с большой точностью (я пользовался Java апплетом)

[DeBill]

Red_Herring
Внимательное поглядение на первую картинку говорит: циклы красиво симметричны, и наличиствует явная симметрия относительно прямой $x+y = 2\pi$ (и прямой $\Gamma: x+y=0$).
Но это - хорошо! Рассмотрим симметрию $I$ относительно (второй) прямой:
$I(x,y)=(-y,-x)$. Видим: чудесным образом эта инволюция переводит наше поле $v$ в
$-v$. Это значит, что наша система - обратимая (reversible), и ее особые точки типа "центр по линейной части", лежащие на зеркале $\Gamma $ инволюции $I$, являются настоящими центрами ( если дуга $\gamma_{a,b}$ есть кусок фазовой кривой с концами $a,b$ на $\Gamma$, так что отображение $\Delta_{\frac{P}{2}}$ ($P$ - это Пуанкаре )переводит $a$ в $b$, то $\tilde{\gamma}_{a,b}= I(\gamma_{a,b})$ - тоже кусок фазовой кривой, но с неправильным направлением движения. Тогда $\Delta_{\frac{P}{2}}(b)=a$, так что полученные две дуги - цикл, и $\Delta_{P}(a)=a$. Значит---центр это.)

[Red_Herring]

DeBill
Здорово! Но все таки жаль, что так просто