2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Рассмотрим систему:
$$
\left\{\begin{aligned}
&\dot{x}=\sin(x)\cos(y)+\varepsilon\cos(x),\\
&\dot{y}=-\cos(x)\sin(y)+\varepsilon\cos(y).
\end{aligned}\right.
$$
При $\varepsilon=0$ она вполне интегрируема, $H(x,y)=\sin(x)\sin(y)$ и центры располагаются в центрах клеток шахматной доски ($\sin(x)\sin(y)=\pm 1$) а седла--в вершинах $\cos(x)\cos(y)=\pm 1$).

При $0<\varepsilon\ll 1$ седла слегка сдвигаются в $\sin(x)=\pm \varepsilon$, $\sin(y)=\mp \varepsilon$ (знаки определяются, м.б. с точностью до наоборот знаком $\cos(x)\cos(y)$). "Чернопольные" центры превращаются в фокусы (стабильные и нестабильные, в зависимости от знака $\sin(x)\sin(y)$), а вот "белопольные", как показывает симуляция $\varepsilon=.1$, остаются центрами.

И если все остальные точки исследуются по линеаризации, то как обосновать, что эти центры так и упорствуют в своей центральности.


Вложения:
perturbed.png
perturbed.png [ 182.28 Кб | Просмотров: 0 ]
unperturbed.png
unperturbed.png [ 125.35 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4314
Red_Herring в сообщении #1301380 писал(а):
как обосновать, что эти центры так и упорствуют в своей центральности.

Топологически? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Geen в сообщении #1301383 писал(а):
Топологически?

Да хоть как нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 14:01 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Red_Herring в сообщении #1301380 писал(а):
"Чернопольные" центры превращаются в фокусы

Вроде, линеаризованно они все центры, но за счет нелинейностей некоторые становятся фокусами. Какая-то вырожденная глобальная бифуркация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
dsge в сообщении #1301416 писал(а):
Вроде, линеаризованно они все центры, но за счет нелинейностей некоторые становятся фокусами. Какая-то вырожденная глобальная бифуркация.
Отнюдь нет. С.з. будут в фокусах ${\color{red}\pm} \varepsilon \pm i$, а в центрах $\pm i\sqrt{1-\varepsilon^2}$ и при $\varepsilon$ возрастающем упорные центры скукоживаются и сливаются с седлами при $\varepsilon=1$


Вложения:
varepsilon_9.png
varepsilon_9.png [ 154.13 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4314
Так а во что они, в принципе, могут превратиться?
Вот есть 4 центра и седло между ними - что может произойти в общем случае при "малом шевелении системы"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Geen в сообщении #1301439 писал(а):
Вот есть 4 центра и седло между ними - что может произойти в общем случае при "малом шевелении системы"?

Посмотрим, что будет при возмущении $(\varepsilon x,\varepsilon y)$. Тут правда, все фокусы неустойчивые.

Ну а всяких фокусов внутри предельных циклов тоже никто не отменял


Вложения:
anotherperturbation.png
anotherperturbation.png [ 175.07 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4314
Red_Herring в сообщении #1301446 писал(а):
Тут правда, все фокусы неустойчивые.

В Вашем случае (периодическом) такое невозможно (как кажется) - половина фокусов должны быть устойчивые.

Red_Herring в сообщении #1301446 писал(а):
Ну а всяких фокусов внутри предельных циклов тоже никто не отменял

Но "снаружи" такой цикл должен выглядеть как фокус?

И у Вас пара устойчивый-неустойчивый фокус образовались по диагонали (по отношению к седлу) - не представляю как могли бы быть фокусы по другой диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 18:48 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
я бы попробовал несколько членов нормальной формы векторного поля выписать в окрестности положения равновесия, вдруг там до третьего-четвертого порядка центр, а потом что-то другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.04.2018, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Geen в сообщении #1301467 писал(а):
не представляю как могли бы быть фокусы по другой диагонали.

Я тоже. Но это, увы не доказательство
pogulyat_vyshel в сообщении #1301475 писал(а):
я бы попробовал несколько членов нормальной формы векторного поля выписать в окрестности положения равновесия, вдруг там до третьего-четвертого порядка центр, а потом что-то другое

Эта задача возникла просто из случайной демонстрации для студентов-нематематиков. Поэтому мой интерес к ней ограничен. Но я рассчитывал(ваю) на то, что кто-нибудь знает или заинтересуется. Но я бы начал бы не с анализа, а просто нашел бы программу которая это бы просчитала с большой точностью (я пользовался Java апплетом)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.10.2018, 12:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Red_Herring
Внимательное поглядение на первую картинку говорит: циклы красиво симметричны, и наличиствует явная симметрия относительно прямой $x+y = 2\pi$ (и прямой $\Gamma: x+y=0$).
Но это - хорошо! Рассмотрим симметрию $I$ относительно (второй) прямой:
$I(x,y)=(-y,-x)$. Видим: чудесным образом эта инволюция переводит наше поле $v$ в
$-v$. Это значит, что наша система - обратимая (reversible), и ее особые точки типа "центр по линейной части", лежащие на зеркале $\Gamma $ инволюции $I$, являются настоящими центрами ( если дуга $\gamma_{a,b}$ есть кусок фазовой кривой с концами $a,b$ на $\Gamma$, так что отображение $\Delta_{\frac{P}{2}}$ ($P$ - это Пуанкаре :D )переводит $a$ в $b$, то $\tilde{\gamma}_{a,b}= I(\gamma_{a,b})$ - тоже кусок фазовой кривой, но с неправильным направлением движения. Тогда $\Delta_{\frac{P}{2}}(b)=a$, так что полученные две дуги - цикл, и $\Delta_{P}(a)=a$. Значит---центр это.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная динамическая система на плоскости: упорные центры
Сообщение03.10.2018, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
DeBill
Здорово! Но все таки жаль, что так просто

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group