Red_HerringВнимательное поглядение на первую картинку говорит: циклы красиво симметричны, и наличиствует явная симметрия относительно прямой
![$x+y = 2\pi$ $x+y = 2\pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/a/e2a7831a266bc36ad38c2d1299d14f6882.png)
(и прямой
![$\Gamma: x+y=0$ $\Gamma: x+y=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/2/66215ed8908333175e215caea3e4516282.png)
).
Но это - хорошо! Рассмотрим симметрию
![$I$ $I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21fd4e8eecd6bdf1a4d3d6bd1fb8d73382.png)
относительно (второй) прямой:
![$I(x,y)=(-y,-x)$ $I(x,y)=(-y,-x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/f/9bfafbaef31fda3e826f06a33704f49682.png)
. Видим: чудесным образом эта инволюция переводит наше поле
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
в
![$-v$ $-v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/3/ab3ca244abf0d8c29788141143f185ad82.png)
. Это значит, что наша система - обратимая (reversible), и ее особые точки типа "центр по линейной части", лежащие на зеркале
![$\Gamma $ $\Gamma $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb42d0379ba44c82e08fbffb64f68582.png)
инволюции
![$I$ $I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21fd4e8eecd6bdf1a4d3d6bd1fb8d73382.png)
, являются настоящими центрами ( если дуга
![$\gamma_{a,b}$ $\gamma_{a,b}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a9d74936c55e20c6b020be6025e5b682.png)
есть кусок фазовой кривой с концами
![$a,b$ $a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4bbe16e32e2319d5835a2ce2360eb4b82.png)
на
![$\Gamma$ $\Gamma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2af456716f3117a91da7afe7075804182.png)
, так что отображение
![$\Delta_{\frac{P}{2}}$ $\Delta_{\frac{P}{2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/c/31c8a7664c1abf1bbdfd8d5a9d26a3f082.png)
(
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
- это Пуанкаре
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
)переводит
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
в
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
, то
![$\tilde{\gamma}_{a,b}= I(\gamma_{a,b})$ $\tilde{\gamma}_{a,b}= I(\gamma_{a,b})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/a/ada5ac980d90d987a50d1f873b9fd85582.png)
- тоже кусок фазовой кривой, но с неправильным направлением движения. Тогда
![$\Delta_{\frac{P}{2}}(b)=a$ $\Delta_{\frac{P}{2}}(b)=a$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/1/d512bbbfdbf7030a8847f3bf789908f682.png)
, так что полученные две дуги - цикл, и
![$\Delta_{P}(a)=a$ $\Delta_{P}(a)=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/9/4e948eeafc7912743a78032ab7abc8e482.png)
. Значит---центр это.)