Yuri Gendelman писал(а):
Автор треда не принимает корпускулярно-волновой дуализм ("Природа не дуальна"). А как это выразить, не владея соответствующим языком? Отсюда и "объективная реальность", и "феноменология", но "не те", не из философского словаря. Чтобы понять это, телепатия не обязательна.
Если кто-то пишет сюда, значит не нашел ответов в другом месте. Если можем, или думаем, что можем, давайте поможем ему/ей в качестве собеседников.
Давайте попробуем помочь. Мне кажется, что автор вопроса допускает чрезвычайно распространённую ошибку, не различая явление и его модель. Этим грешат очень многие, в том числе, как мне кажется, и Котофеич. Во всяком случае, некоторые его высказывания заставляют так думать.
На самом деле у нас есть реальное явление (например, свет) и есть ряд его моделей: корпускулярная (поток частиц-фотонов), волновая (электромагнитное поле), квантовомеханическая (ухитряется объединять оба этих представления) и, вероятно, ещё много-много других, более или менее удачных (я не физик и не берусь представить полный перечень). Наши модели позволяют делать разного рода предсказания о том, что мы будем наблюдать, если посветим туда или сюда. Одни модели дают хорошие предсказания, соответствующие тому, что мы наблюдаем, другие - не очень. Квантовая электродинамика, как говорят, является наиболее точной из существующих моделей. Ну и замечательно, давайте пока будем ей пользоваться. Если потом окажется, что она недостаточно точна и в наших опытах обнаружатся отличия от предсказаний этой теории, будем придумывать другую модель. С самим светом от этого, однако, ничего не произойдёт. Он не изменит своей природы и не перестанет объективно существовать из-за того, что мы откажемся от одной из его моделей или признаем её недостаточно точно отражающей свойства света.
Ситуация в математике, как ни странно, примерно такая же. Основная задача математики - это обеспечивать нас моделями наблюдаемых нами явлений, но не надо понимать это слишком буквально. Математика приобрела известную самостоятельность и имеет внутренние стимулы для развития. Математики имеют дело не с явлениями реально существующего мира, а с их моделями. Гильберт говорил, что математика - это формальная игра с символами. Это не совсем так. Математика, скорее, является сложным конгломератом огромной совокупности таких "игр", отнюдь не всегда формализованных в смысле Гильберта и ведущихся по самым разнообразным правилам. Каждый желающий может придумать здесь свою "игру" и играть в неё в своё удовольствие. Разумеется, не всякая такая "игра" будет интересна другим. Её интересность, образно говоря, пропорциональна количеству моделей различных явлений, которые она может предоставить, но это очень приблизительное высказывание.
В действительности эти "игры" представляют модели не только для моделирования явлений реального мира, но и для моделирования других математических "игр". Например, клеточный автомат, придуманный Конвеем и известный у нас под названием "игра 'Жизнь'", может моделировать игру "машина Тьюринга". Это означает, что в этой клеточной структуре можно запрограммировать и выполнить любое вычисление, которое может выполнять машина Тьюринга. Мне встречалась как модель машины Тьюринга, так и вычисление последовательности простых чисел, не моделирующее, однако, машину Тьюринга.
В этом плане одной из самых интересных является, видимо, "игра", называемая "теория множеств" (точнее, это опять-таки не одна игра, а большая совокупность похожих в некотором смысле "игр"). Эта "игра" замечательна тем, что может обеспечить моделями практически все другие математические "игры". На этом основании кое-кто поспешил объявить теорию множеств "основаниями математики" (каламбур, однако). Ерунда это. Никакое это не основание математики. Как может быть основанием то, что само не имеет никакого основания? Это сильно напоминает древние представления о том, что Земля стоит на трёх слонах, слоны - на огромной черепахе, а черепаха плавает в Мировом Океане. А Мировой Океан-то где?
В математике, как и в физике, категорически противопоказано путать " игру" и её модель, построенную в другой "игре". Возьмём, например, такую "игру", как математический анализ. В учебниках он строится, начиная с натуральных чисел: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа, пределы, непрерывность, производные,... Начальные этапы этого построения очень удобно излагать, опираясь на теорию множеств: она даёт для этого удобный язык и простые модели. Однако, продвигаясь всё дальше и дальше, переходя к действительно интересным и специфическим понятиям математического анализа, мы довольно скоро забудем про теорию множеств. Вспоминаете ли Вы теорию множеств, когда вычисляете производную или интеграл? (И даже: часто ли Вам приходится вычислять для этого предел? Иногда приходится, но обычно удаётся обойтись.)
Теперь предположим, что по какой-то причине нам нужно отказаться от теории множеств. Насколько сильно пострадает при этом математический анализ? Очевидно, что ту его часть, которая базируется на теоретико-множественном языке и теоретико-множественных моделях, придётся радикально пересмотреть и строить другим способом, очистив, кстати, от того мусора, который принесла туда теория множеств со своим языком и своими моделями. Какая - не знаю, но замена теории множеств найдётся. Например, какая-нибудь теория категорий или ещё что-нибудь. Однако как раз наиболее интересные и важные для приложений части математического анализа не пострадают. Они лишатся теоретико-множественных моделей, но этими моделями всё-равно никто не пользуется. Для вычисления производных и интегралов эти модели (или какие-нибудь другие) на самом деле не нужны и неудобны.
Поэтому, например, я вовсе не опасаюсь, что крах теории множеств или какой-то другой из придуманных логиками игр "для обоснования математики" приведёт к каким-либо катастрофическим последствиям для приложений математики. Ещё раз повторю: не нужно путать явление и его модель, построенную средствами той или иной математической "игры". Модель можно отбросить или заменить другой, явление же от этого существовать не перестанет.
