Финитные последовательности и неметризуемость.

[eqsolver]

Помогите, пожалуйста, разобраться в двух упражнениях из учебника А.Т.Фоменко "Курс гомотопической топологии". Все мои попытки, к сожалению, были разбиты в пух и прах при их проверке, а теории из данного учебника не хватает для глобального понимания задач.

Топология на $\mathbb{R}^\infty$ введена следующим образом: множество $F \subset \mathbb{R}^\infty$ замкнуто тогда и только тогда, когда все пересечения $F \cap \mathbb{R}^n$ замкнуты в своих пространствах $\mathbb{R}^n$


1) Покажите, что последовательность $(a_0 , 0 , \dots), (0 , a_1, 0 , \dots), \dots , (0 , \dots , a_n , 0 , \dots), \dots$ точек пространства $\mathbb{R}^\infty$ имеет предел тогда и только тогда, когда последовательность $(a_0 , a_1 , \dots , a_n , \dots)$ - финитна.

2) Покажите, что пространство $\mathbb{R}^\infty не метризуемо.

В первой задаче пытался думать следующим образом, но думаю, что это в корне неверно, т.к я у элемента пространства пытаюсь найти его составляющие и получается "последовательность последовательностей":
Все $(a_0 , 0 , \dots), (0 , a_1 , 0 , \dots)$ и т.д есть подпоследовательности какой-либо последовательности $\mathbb{R}^\infty$. Логично подумать (?), что последовательностью состоящей из последовательностей $(a_0 , 0 , \dots), (0 , a_1 , 0 , \dots)$ и т.д есть финитная последовательность $(a_0 , a_1 , \dots , a_n , \dots)$. А если $(a_0 , a_1 , \dots , a_n , \dots)$ сходится сама к себе, то все ее подпоследовательности сходятся к $(a_0 , a_1 , \dots , a_n , \dots)$.

Также я немного рассуждал о самих точках последовательности:
Можно ли из каждой точки, после $k$ -того элемента (ненулевого) "отбросить" все нули? Тогда мы получим, что:
$(a_0 , 0 , \dots)$ - образ точки из $\mathbb{R}$.
$(0 , a_1 , 0 , \dots)$ - образ точки из $\mathbb{R}^2$.
и т.д
А $\mathbb{R}^\infty$ есть индуктивный предел $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{R}^k$
Так что что-то похожее, вроде есть..

Также ясно, что немного условие можно переформулировать, т.к $(a_0 , a_1 , \dots , a_n, \dots) \in \mathbb{R}^\infty$. Т.е слово "финитна" говорит нам о том, что эта последовательность является элементом пространства $\mathbb{R}^\infty$.

Вообще, мне кажется, моя ошибка заключается в том, что я пытаюсь мыслить некоторые эквивалент поточечной сходимости, хотя гораздо лучше было бы попробовать определить сходимость исходя из данной топологии и попробовать увидеть связь.

Заранее, спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Slav-27]

Ну не получается ничего красивого придумать -- делайте как учили.

Вот, например, первая задача. Там на самом деле две задачи: если финитная, то сходится, -- и если не финитная, то не сходится.

Пусть вот $a_0, a_1, ..., a_K, 0, 0, 0, ...$ -- какая-нибудь финитная последовательность вещественных чисел. Возьмём последовательность $A_0=(a_0, 0, 0, 0, ...)$, $A_1=(0, a_1, 0, 0, ...)$, $A_2=(0, 0, a_2, 0, ...)$, ... элементов $\mathbb R^\infty$. Надо доказать, что эта последовательность $A_0, A_1, A_2, ...$ сходится.

Как это доказать? Во-первых надо угадать её предел $A$, это довольно просто, потому что при больших $n$ она вообще постоянная. Во-вторых, надо доказать, что для любой окрестности точки $A\in\mathbb R^\infty$ найдётся номер $N$, такой что все члены последовательности, начиная с $N$-го, в неё попадают.

[pogulyat_vyshel]

eqsolver в сообщении #1295552 писал(а):

А $\mathbb{R}^\infty$ есть индуктивный предел $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{R}^k$

я думаю, что в терминах сходимостей это означает, что последовательность $\{x^k=(x^k_1,x^k_2,...)\}$ сходится к $x=(x_1,x_2...)$ $\Leftrightarrow$
Существует $N$ такое, что если $i>N$ то $x^k_i=x_i=0$ для всех $k$; и $|x^k_j-x_j|\to 0$ при $k\to\infty$ И вообще все это пространство должно состоять из финитных последовательностей

[eqsolver]

В условии я допустил небольшую опечатку, которая мешает понимаю задачи, но исправить я ее не могу на данный момент. Ближе к вечеру исправлю и выложу возможное решение задачи 1). Спасибо всем, кто откликнулся!

[pogulyat_vyshel]

Касательно пункта 2)
Предположим, что данный индуктивный предел метризуем. Рассмотрим последовательность шаров с центрами в нуле $B_{1/n}$ и радиусами $1/n$. Поскольку последовательность $(1/j,0,...)$ сходится к нулю при $j\to\infty$ в топологии индуктивного предела, то при некотором $j_1$ будет $x_1=(1/j_1,0,...)\in B_1$. Аналогично $x_2=(0,1/j_2,0,...)\in B_{1/2}$ при некотором $j_2$ и т д. Таким образом $x_n\to 0$ -- по метрике, но в топологии индуктивного предела эта последовательность не является сходящейся

-- 06.03.2018, 16:55 --

Утверждение о сходимости, что я сформулировал выше вытекает из следующего общего факта: линейный функционал на индуктивном пределе непрерывен тогда и только тогда, когда непрерывно его сужение на каждое из пространств ,составляющих этот индуктивный предел. Т.е. в данном случае непрерывен вообще любой функционал

[alcoholist]

(Оффтоп)

eqsolver в сообщении #1295552 писал(а):

из учебника А.Т.Фоменко "Курс гомотопической топологии"

все-таки основной автор Фукс

-- Вт мар 06, 2018 16:21:58 --

eqsolver в сообщении #1295552 писал(а):

Покажите, что пространство $\mathbb{R}^\infty не метризуемо

Нельзя ли воспользоваться тем, что если сепарабельное не удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно неметризуемо?

[pogulyat_vyshel]

alcoholist в сообщении #1295696 писал(а):

не удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно неметризуемо?

что и было сделано постом выше. Странно

-- 06.03.2018, 18:06 --

сепарабельность ни при чем

[alcoholist]

pogulyat_vyshel в сообщении #1295701 писал(а):

Странно

метрическое пространство не обязано удовлетворять второй аксиоме счетности, хотя обязательно удовлетворяет первой