Закон противоречия в логике лишний?

[epros]

dllzero в сообщении #1294872 писал(а):

А может, всё-таки стоит почитать и увидеть, что при смене семантики "существования" меняется и синтаксис (конкретного суждения), так как, собственно, существование задаётся разными способами?

Убеждаюсь, что решение не читать это - было правильным.

Семантика не может менять синтаксис. Если семантика не соответствует синтаксису, то это её проблемы.

dllzero в сообщении #1294872 писал(а):

epros в сообщении #1294866 писал(а):

Дайте определение

https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_proposition
http://edu.sernam.ru/book_kiber1.php?id=269

Пожалуйста конкретно, своими словами и по-возможности по русски (ибо термины были русскоязычные). Я, вообще-то, догадался, что под громким словом "экзистенциальное" подразумевалось высказывание, целиком находящееся под квантором существования. Хотелось бы теперь понять, что имелось в виду под громким словом "атрибутивное". Я не знаю, что именно я должен смотреть по указанным ссылкам.

-- Ср фев 28, 2018 13:31:04 --

Sicker в сообщении #1294874 писал(а):

epros
Если мы проверяем истинность какого-то высказывания, которое является ложным, то мы в доказательстве от противного можем и не свести его к противоречию, ибо из лжи следует все что угодно, т.е. и то что оно истинно.

Я не понимаю, что Вы такое несёте?
1) Высказывание может быть опровергнуто сведением к противоречию.
2) Это не называется "доказательством от противного".
3) Из лжи следует что угодно, и что? Это не мешает каким-либо выводам, ибо означает всего лишь, что противоречивая теория содержит все предложения языка.

[Sicker]

epros в сообщении #1294879 писал(а):

Я не понимаю, что Вы такое несёте?

Я несу то что диктует мне мой здравый смысл

epros в сообщении #1294879 писал(а):

1) Высказывание может быть опровергнуто сведением к противоречию.

Может.

epros в сообщении #1294879 писал(а):

2) Это не называется "доказательством от противного".

НО! НО! НО! А что тогда называется доказательством от противного?

epros в сообщении #1294879 писал(а):

3) Из лжи следует что угодно, и что? Это не мешает каким-либо выводам, ибо означает всего лишь, что противоречивая теория содержит все предложения языка.

Хорошо, тогда я запилю свою логику, с блкдж и шлх, и помещу ее в Математика Дискусионные вопросы, и там вы с warlock66613 будете ее обсуджать
Для затравки - в моей логике истинность высказываний будет динамической величиной, зависящей от системы отсчета, т.е. ложное высказывание может быть истинным с другой точки зрения(при других параметрах входящих переменных). Также есть высказывания, которые являются истинно ложными, т.е. они не могут быть верными ни при каких значениях параметров. Они в моей логике называются бессмысленными, и с ними нельзя вести никаких рассуждений. Поэтому доказательство от противного разрешено только для высказываний, которые в другой системе отсчета могут быть истинными, а с абсолютно ложными высказываниями проводить такие выводы нельзя. Т.е. тогда решается моя проблема, что из ложного высказывания можно построить непротиворечивые выводы.
Вообще проблема математической логики в том, что там нет времени, т.е. все высказывания являются априори являются истинными или ложными. А в мире высказывания являются истинными или ложными апостериори, и в принципе отрицания таких высказываний могут быть истинными, как например если бы шарик лежал не на правой чашке, а на левой, то чаша перевешивала бы в левую сторону и тд.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1294884 писал(а):

з ложного высказывания можно построить непротиворечивые выводы

Что такое "непротиворечивые выводы"?

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1294889 писал(а):

Что такое "непротиворечивые выводы"?

Я имею ввиду высказывания

[epros]

Sicker в сообщении #1294884 писал(а):

А что тогда называется доказательством от противного?

Доказательство утверждения посредством сведения к противоречию его отрицания. Там есть такой существенный и нетривиальный шаг, как снятие двойного отрицания.

Sicker в сообщении #1294884 писал(а):

Хорошо, тогда я запилю свою логику, с блкдж и шлх, и помещу ее в Математика Дискусионные вопросы

Рискуете оказаться в пургатории.

Sicker в сообщении #1294884 писал(а):

Для затравки - в моей логике истинность высказываний будет динамической величиной, зависящей от системы отсчета, т.е. ложное высказывание может быть истинным с другой точки зрения(при других параметрах входящих переменных).

Ничего нового. Для заданного языка и логики возможны различные аксиоматики.

Sicker в сообщении #1294884 писал(а):

Также есть высказывания, которые являются истинно ложными, т.е. они не могут быть верными ни при каких значениях параметров. Они в моей логике называются бессмысленными, и с ними нельзя вести никаких рассуждений.

Ничего нового. Бывают ещё и "всегда истинные" утверждения. Они называются "общезначимыми".

Требование, что с чем-то "нельзя вести никаких рассуждений" - это удивительная ерунда. Для того и существует язык, чтобы определять множество того, "с чем можно вести рассуждения".

Sicker в сообщении #1294884 писал(а):

Вообще проблема математической логики в том, что там нет времени, т.е. все высказывания являются априори являются истинными или ложными. А в мире высказывания являются истинными или ложными апостериори, и в принципе отрицания таких высказываний могут быть истинными, как например если бы шарик лежал не на правой чашке, а на левой, то чаша перевешивала бы в левую сторону и тд.

Ваша проблема в том, что Вы не разобрались в основах - что такое логика и зачем она нужна.

-- Ср фев 28, 2018 15:10:35 --

Sicker в сообщении #1294890 писал(а):

warlock66613 в сообщении #1294889 писал(а):

Что такое "непротиворечивые выводы"?

Я имею ввиду высказывания

И что же такое "непротиворечивые выводы", которые высказывания?

[dllzero]

epros в сообщении #1294879 писал(а):

Семантика не может менять синтаксис

А я про конкретное суждение говорил. В разных его вариантах изначальная постановка того, что значит "существование", различается, следовательно, различается и следствие.
Дело в том, что без контекста не ясно, что именно вы подразумеваете, а значит, я как читатель могу трактовать как угодно. В том числе так, как указывал. Про наличное существование можете вообще забыть, тем более что я писал о том, что его не рассматриваем.

epros в сообщении #1294879 писал(а):

под громким словом "экзистенциальное" подразумевалось высказывание, целиком находящееся под квантором существования

Это не совсем так. Часть экзистенциальных суждений действительно легко преобразуется в высказывание под квантором существования. Но не все суждения типа "S exist(s)". Т.е. остальные сводятся к атрибутивным, но нетривиально либо не так тривиально. Например, суждения в духе "S существует безусловно". Т.е. суждения о существовании вообще, а не типа "существует S, такое что P".

Атрибутивное - это просто "S is P" в самом обычном и простом случае.

Сейчас конкретно рассмотрю Bramantip, который вы критиковали.

Он представляется как:

Всякий P есть М,
Всякий М есть S,
Следовательно, некоторые S есть P.

Его символическая форма:

$\Bigl\{\bigl(\forall p \in P\bigr)\bigl[M(p)\bigr],\bigl(\forall m \in M\bigr)\bigl[S(m)\bigr]\Bigr\}\therefore \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr]$.

Из посылок выходит, что $\bigl(\forall p \in P\bigr)\bigl[S(p)\bigr]$.

Другими словами, $P \subseteq S$.

Из этого следует левое выражение, не ведущее к правому: $(P \to S) \not \vdash (S \to P)$.

Таким образом, $\bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee \neg\bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \equiv \bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[\neg P(s)\bigr]$.

В итоге $\Bigl\{\bigl(\forall p \in P\bigr)\bigl[S(p)\bigr], \bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[\neg P(s)\bigr]\Bigr\} \vdash \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr]$.

То есть, $\Bigl\{\bigl(\forall p \in P\bigr)\bigl[M(p)\bigr],\bigl(\forall m \in M\bigr)\bigl[S(m)\bigr]\Bigr\}\vDash \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr]$.

Что конкретно вам здесь не нравится?

[eugensk]

dllzero
У Вас картинки вместо формул, и в строке В итоге ... $\vdash (\exists s \in S) [ P(s)]$ - неверно.
Слева от $\vdash $ тоже непонятно (P и S - это предикаты, множества, что-то еще?), но догадаться можно.

[dllzero]

eugensk в сообщении #1294900 писал(а):

картинки

Это TeX.

eugensk в сообщении #1294900 писал(а):

неверно

Пожалуйста, укажите, почему.

dllzero в сообщении #1294903 писал(а):

P и S - это предикаты, множества, что-то еще

А что означает символ $\in$ ? Формулы типа $P(s)$ определяют принадлежность $s$ к $P$.

[eugensk]

dllzero в сообщении #1294903 писал(а):

Это TeX.

Упс, я к концу дня туплю, извините.

неверно, если $P = \varnothing$

-- 28.02.2018, 16:20 --

То есть, к этому

dllzero писал(а):

Всякий P есть М,
Всякий М есть S,
Следовательно, некоторые S есть P.

перед Следовательно нужна строчка: "Есть некоторый P,"

[dllzero]

Если $P$ является пустым множеством, то да, действительно, не найдётся ни одного $s$, принадлежащего $P$, когда как суждение "Всякий P есть S" остаётся верным, так как $\forall X : \varnothing \subseteq X$.
Т.е. действительно нужно дополнительно указать, что $P \ne \varnothing$, либо же перефразировать конечное утверждение в форму $\bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee (P = \varnothing)$.

-- 28.02.2018, 15:47 --

dllzero в сообщении #1294907 писал(а):

"Есть некоторый P,"

Ну так $P = \varnothing$ как множество тоже есть, и можно в естественном языке множество с элементом перепутать.
Лучше так: "Всякий P есть M и имеет непустой объём". Или так: "Следовательно, некоторые S есть P или P имеет пустой объём".
Под объёмом подразумевается понятийный объём субъекта высказывания в контексте теории категорических силлогизмов.

-- 28.02.2018, 15:52 --

Всё-таки epros'у следовало просто явно (символьно) указать данную ловушку, продемонстрировав, что имеет в виду под несуществованием именно пустое множество, и никаких споров и недопониманий не было бы.

[arseniiv]

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

Насчёт же существования в качестве явления значением квантифицированной переменной - это можно, если я не ошибаюсь, примерно записать как $Y=\Bigl\{x\mid \bigl(\forall f \in F\bigr) \bigl[ f(x)\bigr]\Bigr\}$, где $F = \left\{ f_1, \ldots, f_n\right\}$ - множество дескрипций, необходимых для определения множества $Y$ как экстенсионала относительно некоего знака с тем же названием (т.е. знак подразумевает в себе понятийное наполнение). <…>

По-моему, тут всё просто. В языке с равенством «$x$ существует» предлагается этим подходом выражать как $\exists y(y = x)$. В обычных исчислениях эта формула выходит тождественно истинной, а вот в E-логиках это важный для формулировок предикат (настолько, что обычно имеет сокращённую запись типа $\mathsf Ex$).

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

Насчёт же традиционной логики лично я могу сказать, что она, как эсперанто, который не смог стать lingua franca, и как какой-нибудь BASIC, хороша для обучения.

Плохое сравнение.

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

Кроме того, средствами традиционной логики можно легко и просто кому-то что-то доказать (не математику, конечно), а также на первом этапе выявить противоречия, как свои, так и чужие. Вполне хорошая система.

У вас интересное понимание простоты. Ибо

epros в сообщении #1294853 писал(а):

Из более чем двух сотен возможных по форме категоричеких силлогизмов только около двух десятков считаются "правильными". Как понять, какие из них правильные? А никак, можно только заучить.

и, кроме того, ограниченность формулами с одним параметром удручает.

dllzero в сообщении #1294844 писал(а):

$\biggl(\forall s \in S\biggr)\biggl[\Bigr(\nexists s\bigl[Y(s)\bigr]\Bigr) \to \Bigl(\forall s \bigl[P(s)\bigr]\Bigr)\biggr]$

У вас тут внешний квантор ничего нового не вносит, потому что замыкается уже замкнутая по $s$ формула.

Кстати, возможно, вам кажется, что три типа скобок в формулах добавляют читаемости, но лично мои глаза по ним соскальзывают.

Sicker в сообщении #1294870 писал(а):

А чтобы нарисовать эти таблицы истинности, нужно по умолчанию принять таблицу истинности $p\to q$, которую мы собственно и доказываем, а?

Насколько я помню контекст, нет, её мы здесь не доказываем. Если у вас проблемы даже с ней… эээ.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1294911 писал(а):

Насколько я помню контекст, нет, её мы здесь не доказываем. Если у вас проблемы даже с ней… эээ.

Куку, мы доказываем, что из лжи выводится все что угодно. epros доказывал это с помощью аксиом исчисления высказываний, и как заметил warlock66613, что не одно и тоже, что булева алгебра. И да, импликация и следствие - это разные вещи.

[arseniiv]

Ещё:

dllzero в сообщении #1294907 писал(а):

$\bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee (P = \varnothing)$

Или уж $\exists s\in S\; Ps\vee (\forall t\;\neg Pt)$, или $\exists s\in S\; s\in P\vee P=\varnothing$, а у вас какая-то страшная смесь. Конечно, можно принять соглашения, что $P(s)$ и $s\in P$ взаимозаменяемы, но какой смысл?

[dllzero]

arseniiv в сообщении #1294911 писал(а):

Плохое сравнение

А почему же плохое? В сравнении с латынью эсперанто действительно беден, а BASIC был беден по сравнению с Алголом, насколько я знаю, хотя корни одни и те же (Фортран).

arseniiv в сообщении #1294911 писал(а):

интересное понимание простоты

Правил немного, и они уже могут задавать базовое понимание того, как строить логические цепочки, у учащихся. Конечно, неплохо было бы подкорректировать правила, чтобы те учитывали пустые множества. Для математики, конечно, такое понимание не годится, но и людей начальных классов вряд ли грузят термодинамикой.

arseniiv в сообщении #1294911 писал(а):

внешний квантор ничего нового не вносит

Это просто для того, чтобы можно было быстрее сравнить одну формулу с уже фигурировавшей. То, что ничего не вносит, в принципе, и так ясно.

[epros]

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

epros в сообщении #1294879 писал(а):

Семантика не может менять синтаксис

А я про конкретное суждение говорил. В разных его вариантах изначальная постановка того, что значит "существование", различается, следовательно, различается и следствие.
Дело в том, что без контекста не ясно, что именно вы подразумеваете, а значит, я как читатель могу трактовать как угодно. В том числе так, как указывал. Про наличное существование можете вообще забыть, тем более что я писал о том, что его не рассматриваем.

Вот Вы ж упёрлись... Повторяю ещё раз: Меня не интересует, что там "значит" это существование. Это просто значок в языке логики. Выводы делаются по правилам логики, исходя из синтаксиса предложения и несмотря на какой бы то ни было контекст. Как бы Вы их ни трактовали, они останутся теми же самыми выводами.

Этим логические рассуждения отличаются от мифической телепатии, в процессе которой выводы напрямую передаются из мозга в мозг.

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

Часть экзистенциальных суждений действительно легко преобразуется в высказывание под квантором существования.

Преобразоваться может что угодно во множество других вещей. Я Вас прошу дать определение тому, о чём Вы говорите, вероятно принимая меня за телепата, который способен считать смысл используемых слов прямо из Вашего мозга. Вот сейчас Вы забраковали одну из моих попыток телепатически прочитать значение слова "экзистенциальный", а определения я всё ещё не вижу.

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

Но не все суждения типа "S exist(s)". Т.е. остальные сводятся к атрибутивным, но нетривиально либо не так тривиально. Например, суждения в духе "S существует безусловно". Т.е. суждения о существовании вообще, а не типа "существует S, такое что P".

Не понимаю. Запишите в кванторах и наверняка увидите, что разница между "условным" и "безусловным" существованием Вам привиделась.

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

Атрибутивное - это просто "S is P" в самом обычном и простом случае.

Вообще-то это утверждение с квантором всеобщности, которое в полной форме звучит как "любой S есть P".

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

Всякий P есть М,
Всякий М есть S,
Следовательно, некоторые S есть P.

Его символическая форма:

$\Bigl\{\bigl(\forall p \in P\bigr)\bigl[M(p)\bigr],\bigl(\forall m \in M\bigr)\bigl[S(m)\bigr]\Bigr\}\therefore \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr]$.

Настоятельно не рекомендую смешивать синтаксис теории множеств с логикой. Хотя такое частенько встречается, но Вас будет путать. Поэтому перепишу в синтаксисе исчисления предикатов:
$\forall x~P(x) \to M(x), \forall x~M(x) \to S(x) \vdash \exists x~S(x) \wedge P(x)$

Этот вывод неверный, по правилам классической логики его сделать невозможно.

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

Из этого следует левое выражение, не ведущее к правому: $(P \to S) \not \vdash (S \to P)$.

Что бы это значило?

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

Таким образом, $\bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee \neg\bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \equiv \bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[\neg P(s)\bigr]$.

Тождественно истинное выражение равносильно тождественно истинному выражению. И к чему это было записано?

dllzero в сообщении #1294895 писал(а):

В итоге $\Bigl\{\bigl(\forall p \in P\bigr)\bigl[S(p)\bigr], \bigl(\forall s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr] \vee \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[\neg P(s)\bigr]\Bigr\} \vdash \bigl(\exists s \in S\bigr)\bigl[P(s)\bigr]$.

А вот это неверно и непонятно откуда взялось.