Закон противоречия в логике лишний?

[epros]

Sicker в сообщении #1294741 писал(а):

Докажите.

$\nexists x~A(x) \Rightarrow \forall x~\neg A(x) \Rightarrow \forall x~A(x) \to B(x)$.

Sicker в сообщении #1294741 писал(а):

А вот и нет, если $a$ - самое большое натуральное число, то к нему нельзя прибавлять единицу

Да неужели? А вот мы возьмём, да добавим. Ибо аксиома арифметики разрешает.

Sicker в сообщении #1294741 писал(а):

А это к вашему

А по-моему оно к моим словам не имеет никакого отношения.

dllzero в сообщении #1294743 писал(а):

Пожалуйста, определите конкретно здесь то, что подразумевается под существованием.

Нет необходимости. Здесь не семантика обсуждается. "Некоторые греки смертны" чисто синтаксически противоречит несуществованию греков, в то время как "все греки смертны" из несуществования греков, наоборот, чисто синтаксически следует.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1294785 писал(а):

Нарисуйте себе там где-нибудь таблицы истинности $\neg(p\to q)$ и $p\wedge\neg q$, а?

Так этот логический значок следствия не имеет ничего общего с тем следствием, которое применяется в каких-либо областях, отличных от мат логики, т.е. она по большому счету никому кроме себя и не нужна выходит

-- 27.02.2018, 20:03 --

epros в сообщении #1294787 писал(а):

"Некоторые греки смертны" чисто синтаксически противоречит несуществованию греков, в то время как "все греки смертны" из несуществования греков, наоборот, чисто синтаксически следует.

Я думаю тут с вами многие не согласятся.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1294789 писал(а):

Так этот логический значок следствия не имеет ничего общего с тем следствием, которое применяется в каких-либо областях, отличных от мат логики, т.е. она по большому счету никому кроме себя и не нужна выходит

Имеет, имеет.

[epros]

Sicker в сообщении #1294789 писал(а):

Я думаю тут с вами многие не согласятся.

К счастью, правильность логических выводов определяется не голосованием среди тех, кто в них ни фига не понимает.

[dllzero]

epros в сообщении #1294787 писал(а):

чисто синтаксически противоречит несуществованию греков

Не совсем так, это противоречит несуществованию неких подразумеваемых объектов множества с названием "греки" (так как иначе нельзя было бы говорить, что они могут иметь свойство "смертен"), а не несуществованию реальных греков, хотя, конечно, о реальных греках речи здесь не шло и не должно идти.

Насчёт же существования в качестве явления значением квантифицированной переменной - это можно, если я не ошибаюсь, примерно записать как $Y=\Bigl\{x\mid \bigl(\forall f \in F\bigr) \bigl[ f(x)\bigr]\Bigr\}$, где $F = \left\{ f_1, \ldots, f_n\right\}$ - множество дескрипций, необходимых для определения множества $Y$ как экстенсионала относительно некоего знака с тем же названием (т.е. знак подразумевает в себе понятийное наполнение). Если понятийного содержания у знака не существует, то попросту нельзя подобрать такое множество $F$, которое бы описывало то, на что знак указывает, т.е. у переменной $f$ не должно быть значений, и поэтому нельзя задать множество $Y$, а знак с тем же названием ни на что конкретное не указывает. В естественном языке есть такие слова, значение которых не получалось построить.

Ситуация, когда множество $Y$ возможно задать, но оно будет пустым, чисто семантически отличается от этой, т.е. может не быть "греков" как объектов некоего множества с названием "греки" (т.е. можно сказать об их несуществовании), но само множество с названием "греки" будет (т.е. можно сказать о его существовании) благодаря тому, как мы его задали: $\bigl(Y = \{ \emptyset \}\bigr) \to \biggl(\Bigl(\nexists y \in Y\Bigr)\Bigl[\bigl(\forall f \in F\bigr) \bigl[f(y)\bigr]\Bigr]\biggr)$.

Если ошибаюсь, поправьте. Люди склонны к ошибкам, в том числе грубым.

В разборе конкретно синтаксиса той или иной логики вообще не важно, какова семантика у фигурирующих имён, если, конечно, логическая система не является настолько сложной, что синтаксис начинает зависеть от семантики (не помню таких). Но при этом в любых категорических суждениях и их аналогах подразумевается, что имена содержательны, т.е. реферируют объекты, отвечающие тем или иным свойствам, указанными в предикатах. Т.е. если в суждении есть хоть один предикат, то подразумевается существование значений у оговоренной переменной $f$.

Т.е. если мы говорим, что греки смертны, мы уже определили греков неким образом. Не важно, верно вне контекста анализа синтаксиса той или иной логики или нет. Например, можно сказать, что шкаф смертен, и таким образом мы формально определим одно из свойств шкафа (т.е. как понятие шкаф здесь уже подразумевается, т.е. "шкаф" существует), хотя на самом деле шкаф смертным быть не может, но это никого здесь не должно волновать.

Т.е. "греки смертны" противоречит и такому несуществованию "греков".

epros в сообщении #1294787 писал(а):

"все греки смертны" из несуществования греков, наоборот, чисто синтаксически следует

Каким конкретно образом?

Есть выражение типа $\text{<<\(( \forall s \in S) [s\) is \(P]\)>>}$ (атрибутивное), есть второе выражение типа $\text{<<\( (\forall s \in S)[s \) do not exist\(]\)>>}$ (экзистенциальное), которое представимо в форме $\text{<<\( (\nexists s \in S) [s \) exist\( ] \)>>}$.

Вы говорите, что $\text{\( \Bigl(\forall s \in S\Bigr)\Bigl[ \bigl(\nexists s [s \) exist\( ]\bigr) \to \bigl( \forall s [s\) is \(P]\bigr)\Bigr]\) }$.

Видимо, в нормальном виде это можно перефразировать как $\text{\( \biggl(\forall s \in S\biggr)\biggl[ \Bigl(\nexists s \bigl[\)exist\( (s)\bigr]\Bigr) \to \Bigl( \forall s \bigl[P(s)\bigr]\Bigr)\biggr]\) }$.

Т.е. для всех греков будет верным то, что если среди них не найдётся ни одного существующего, то все они смертны.

Положим, что наличное существование в реальности мы вообще не рассматриваем.

Тогда, если рассматриваем некий условный объект, по вашим словам выходит: $\biggl(\forall s \in S\biggr)\biggl[\Bigr(\nexists s\bigl[A(s)\bigr]\Bigr) \to \Bigl(\forall s \bigl[P(s)\bigr]\Bigr)\biggr]$.

Существование определяется по некоему условию $A$. Что конкретно это за условие, зависит от контекста задачи, но это в данном случае не важно.

Здесь: для всех греков будет верным то, что если ни один из них не удовлетворяет условию (и это понимается как несуществование), то все греки смертны.

В теме показали, что из $\exists s\bigl[A(s) \wedge \neg P(s)\bigr]$ выводимо $\exists sA(s)$, но, как я вижу, это будет верным только при том случае, если выполняется общее условие для семантик условий $A$ и $P$: $A \wedge P = 0$.

То есть, "если найдётся грек, который существует и бессмертен, то найдётся грек, который существует, и наоборот" - верно, но "если найдётся грек, который существует и не существует, то найдётся грек, который существует, и наоборот" - неверно, так как обратная импликация не выполняется, т.е. левая и правая часть выражения нетождественны, и из левого правое выводится только по указанному условию.

То есть, должно быть примерно так: $\bigl\{ \nexists sA(s), \neg (A \wedge P) \bigr\} \vdash \forall s\bigl[A(s) \to P(s)\bigr]$.

Причём выводимое утверждение гласит о том, что для всех $s$ будет верной импликация $A(s) \to P(s)$, а не суждение $\forall sP(s)$.

То есть, "если грек существует, то он смертен" (что выводится при указанном условии из высказывания "не существует ни одного грека"), а не "все греки смертны".

Но ладно с этим. В целом ваша критика, если рассматривать именно такое существование, ясна. Но, как я понимаю, вы критикуете не столько традиционную логику, сколько импликацию за парадоксы материальной импликации. Суть в том, что импликация и "следовательно" традиционной логики обозначают разные вещи, и заменять второе первым будет не совсем верным.

Но вот положим, что здесь под существованием имеется в виду явление значением квантифицированной переменной - по тому образцу, что указано выше.

Получится, наверное, что-то в этом духе: $\biggl(\forall s \in S\biggr)\biggl[\Bigr(\nexists f\bigl[\square (s \to f)\bigr]\Bigr) \to \Bigl(\forall s \bigl[P(s)\bigr]\Bigr)\biggr]$. Хотя бы примерно.

И вот в итоге совсем другое суждение.

Хотя, в принципе, из такой дефиниции существования и утверждения некоторого атрибутивного суждения выходит, что субъект такого суждения существует, но может при этом указывать на пустое множество (т.е. таких вещей, которые субъект подразумевает, нет). И скорей всего, используя данную дефиницию, тоже можно построить высказывания о несуществовании конкретных абстрактных объектов по тому или иному условию $A$, т.е. можно было бы не пользоваться введением условных математических реальностей, но это довольно муторная работа.

А если вдруг кто-то подумает (и подумал), что подразумевается действительное наличное существование - это уже не просто другое, а совсем другое.

Это я и имел в виду.

-- 28.02.2018, 03:31 --

Насчёт же традиционной логики лично я могу сказать, что она, как эсперанто, который не смог стать lingua franca, и как какой-нибудь BASIC, хороша для обучения. Эсперанто - упрощённая латынь, и при помощи эсперанто успешно обучают европейским языкам, когда как сама латынь пусть и даёт больше знаний, но тяжеловесна. BASIC вообще задумывался для обучения новичков. Кроме того, средствами традиционной логики можно легко и просто кому-то что-то доказать (не математику, конечно), а также на первом этапе выявить противоречия, как свои, так и чужие. Вполне хорошая система.

[dllzero]

UPD:

Либо вот такое для существования как явления значением квантифицированной переменной:
$\biggl(\forall s \in S\biggr)\biggl[\Bigr(\nexists s\bigl[Y(s)\bigr]\Bigr) \to \Bigl(\forall s \bigl[P(s)\bigr]\Bigr)\biggr]$, где множество $Y$ задаётся вышеуказанным способом.

Но тут будет лишь проверяться, является ли объект частью чьего-то экстенсионала, так что это не совсем то.

"Следовательно" традиционной логики обозначается как $\text{\(\therefore\;\),}$ описание: https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_consequence.

[epros]

dllzero, ооочень много букафф, поэтому читаю выборочно.

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

Не совсем так, это противоречит несуществованию неких подразумеваемых объектов множества с названием "греки" (так как иначе нельзя было бы говорить, что они могут иметь свойство "смертен"), а не несуществованию реальных греков, хотя, конечно, о реальных греках речи здесь не шло и не должно идти.

Ещё раз: Мне без разницы "реальные" или какие-то воображаемые греки. Это уже интерпретации. Я говорю, что утверждение о несуществовании греков чисто синтаксически противоречит утверждению "некоторые греки смертны".

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

epros в сообщении #1294787 писал(а):

"все греки смертны" из несуществования греков, наоборот, чисто синтаксически следует

Каким конкретно образом?

Отмотайте на два моих сообщения назад и подставьте "грек" вместо $A$, а "смертен" вместо $B$.

-- Ср фев 28, 2018 10:35:14 --

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

Насчёт же традиционной логики лично я могу сказать

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

хороша для обучения

1) Тяжела для обучения, при этом полезный эффект от обучения ничтожен.

dllzero в сообщении #1294842 писал(а):

легко и просто кому-то что-то доказать

2) Легко и просто ошибиться в выводах. При этом "доказать" кому-либо что-либо таким способом на самом деле невозможно. Если, конечно, у оппонента есть хотя бы зачатки критического мышления, т.е. он не готов не глядя согласиться с чем угодно. Из более чем двух сотен возможных по форме категоричеких силлогизмов только около двух десятков считаются "правильными". Как понять, какие из них правильные? А никак, можно только заучить. В средние века сотни лет были убиты схоластами на бесплодные споры о правильных и неправильных силлогизмах.

[NikolayPrimachenko]

epros в сообщении #1294649 писал(а):

NikolayPrimachenko в сообщении #1294635 писал(а):

У Аристотель элементы множества всегда существуют.

Мы сейчас о классической логике говорили, а не об исторических исследованиях на тему "что думал Аристотель". Если исключить возможность говорить о несуществующих объектах, то не только классической, а никакой разумной логики не получится.

Вы и дальше читайте, не ограничивайте себя первым предложением. И вставьте в начало этого предложения фразу "в таких силлогизмах", а то в таком осиротелом, выдранном из контекста виде это предложение страшно противоречит тому, что написано дальше, и тому, о чем речь шла выше.

Запрета "говорить о несуществующих объектах", конечно, никакого нет. Аристотель легко мог сказать, что не существует никаких кентавров, то есть существ одновременно являющихся и людьми, и лошадьми. А мы можем легко сказать, что пересечение множеств людей и лошадей --- это пустое множество.

А пока epros переводит с русского и английского на формально-логический и обратно, небольшая быль, которая буквально никакого отношения не имеет ни к epros-у, ни к этому разговору. (А от тех, кто будет утверждать обратное, я потребую строгого формального доказательства.)

(Быль о том, как месье Сопрэ школы инспектировал)

(Быль вымышлена. Все совпадения случайны.)

В далекой-далекой Франции жил-да-работал инспектор Министерства народного просвещения по фамилии Сопрэ (ударение на "э"). "Наш феерический Сопрэ" --- так называли его между собой все знакомые. Почему "феерический"? Этого никто уже не помнил.

Разумеется, главной заботой месье Сопрэ было инспектирование школ.

Обычно, без предупреждения приезжая в очередную школу, месье Сопрэ первым делом подкрадывался к кабинету математики, незаметно приоткрывал дверь и прислушивался. Ждать обычно приходилось недолго. Как только ни о чем не подозревающая учительница, какая-нибудь мадемуазель Шифр, произносила: "Запомните, дети: у квадратного уравнения может вовсе не быть корней", Сопрэ врывался в класс.

--- Остановитесь! --- кричал он. --- Чему Вы учите детей?! Боже! Вы что?! не слышали, что у квадратного уравнения всегда есть корни?!

--- Но дети еще не проходили комплексные числа, --- мямлила мадемуазель Шифр, заикаясь от страха. --- Мы работаем только с действительными.

--- Что? С действительными? То есть с комплексными, у которых мнимая часть равна нулю?

--- Да, месье инспектор.

--- Так почему Вы не упоминаете об этом явно?

--- Дело в том, месье инспектор, что дети знакомы только с действительными...

--- Боже! Только не говорите мне, что Вы еще учите детей по-старинке: сначала натуральным и целым, потом дробным и действительным, и только потом комплексным!

Сопрэ грозно нависал над хрупкой мадемуазель Шифр. Мадемуазель Шифр не решалась поднять взгляд. Она молчала.

--- Феерическая дура! --- думал Сопрэ.

--- Феерический Сопрэ, --- думала мадемуазель Шифр.

(Это конец первой части.

Во второй части Сопрэ пойдет в кабинет трудов и будет учить трудовика, какого-нибудь месье Марто, что заглаживать углы и шлифовать ножки и сиденья табуретов нужно не устаревшими рашпилем и наждачкой, а современными инструментами, теми, которыми шлифуют шестиметровые зеркала телескопов-рефлекторов.

Третья часть --- заключительная. Наша быль, как и все были, закончится хэппи-эндом. Учителя Франции выйдут на всеобщую забастовку, требуя вручить инспектору Сопрэ Нобелевскую премию по педагогике. Президент Республики объявит Швеции ультиматум: либо война, либо Нобелевка для Сопрэ. Король Швеции вручит Сопрэ премию. Сопрэ уйдёт на покой: теперь-то он всем всё доказал, авторитет его непоколебим.)

[dllzero]

epros в сообщении #1294853 писал(а):

Отмотайте на два моих сообщения назад

А вы прочтите всё сообщение.

epros в сообщении #1294853 писал(а):

Тяжела для обучения, при этом полезный эффект от обучения ничтожен

Именно этот тезис не доказан. Вы, скорее всего, путаете импликацию и логическое следствие. Либо что-то в этом роде. Указание на существование или на несуществование в традиционной логике есть как в атрибутивных (замените кванторами), так и в экзистенциальных, тем более, суждениях.

[epros]

NikolayPrimachenko в сообщении #1294860 писал(а):

epros в сообщении #1294649 писал(а):

NikolayPrimachenko в сообщении #1294635 писал(а):

У Аристотель элементы множества всегда существуют.

Мы сейчас о классической логике говорили, а не об исторических исследованиях на тему "что думал Аристотель". Если исключить возможность говорить о несуществующих объектах, то не только классической, а никакой разумной логики не получится.

Вы и дальше читайте, не ограничивайте себя первым предложением. И вставьте в начало этого предложения фразу "в таких силлогизмах", а то в таком осиротелом, выдранном из контекста виде это предложение страшно противоречит тому, что написано дальше, и тому, о чем речь шла выше.

Я прочитал достаточно. И ещё раз повторяю, что речь не о том, что подразумевал в своём подсознании Аристотель, а о буквальном синтаксисе приведённых утверждений. И этот синтаксис не предполагает, что из "все греки смертны" следует существование греков.

Совет руководствоваться не написанным, а подразумеваемым, подходит только для телепатов, каковыми мы не являемся.

-- Ср фев 28, 2018 12:23:07 --

dllzero в сообщении #1294861 писал(а):

epros в сообщении #1294853 писал(а):

Отмотайте на два моих сообщения назад

А вы прочтите всё сообщение.

Нецелесообразно. Беглый просмотр Вашего длинного текста показал, что полезной информации в нём не найти. Поэтому я реагирую только на прямые вопросы или конкретные заявления. Вы задали один прямой вопрос - я ответил. Вы поняли ответ? Подставили "грек" и "смертен" в приведённое выше доказательство?

dllzero в сообщении #1294861 писал(а):

epros в сообщении #1294853 писал(а):

Тяжела для обучения, при этом полезный эффект от обучения ничтожен

Именно этот тезис не доказан. Вы, скорее всего, путаете импликацию и логическое следствие.

С чего бы это?

dllzero в сообщении #1294861 писал(а):

Либо что-то в этом роде. Указание на существование или на несуществование в традиционной логике есть как в атрибутивных (замените кванторами), так и в экзистенциальных, тем более, суждениях

Дайте определение "атрибутивных" и "экзистенциальных" высказываний.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1294785 писал(а):

Нарисуйте себе там где-нибудь таблицы истинности $\neg(p\to q)$ и $p\wedge\neg q$, а?

А чтобы нарисовать эти таблицы истинности, нужно по умолчанию принять таблицу истинности $p\to q$, которую мы собственно и доказываем, а?

-- 28.02.2018, 11:30 --

epros в сообщении #1294787 писал(а):

$\nexists x~A(x) \Rightarrow \forall x~\neg A(x) \Rightarrow \forall x~A(x) \to B(x)$.

Обоснуйте второй переход.

[dllzero]

epros в сообщении #1294866 писал(а):

Нецелесообразно

А может, всё-таки стоит почитать и увидеть, что при смене семантики "существования" меняется и синтаксис (конкретного суждения), так как, собственно, существование задаётся разными способами?

epros в сообщении #1294866 писал(а):

Дайте определение

https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_proposition
http://edu.sernam.ru/book_kiber1.php?id=269

[epros]

Sicker в сообщении #1294870 писал(а):

epros в сообщении #1294787 писал(а):

$\nexists x~A(x) \Rightarrow \forall x~\neg A(x) \Rightarrow \forall x~A(x) \to B(x)$.

Обоснуйте второй переход.

Есть такая схема аксиом исчисления высказываний: $\neg A \to (A \to B)$.

[Sicker]

epros в сообщении #1294873 писал(а):

Есть такая схема аксиом исчисления высказываний: $\neg A \to (A \to B)$.

А зачем она нужна, если операции отрицания и импликации заданы таблично, то это уже теорема получается.

-- 28.02.2018, 11:50 --

epros
Если мы проверяем истинность какого-то высказывания, которое является ложным, то мы в доказательстве от противного можем и не свести его к противоречию, ибо из лжи следует все что угодно, т.е. и то что оно истинно.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1294874 писал(а):

А зачем она нужна, если операции отрицания и импликации заданы таблично, то это уже теорема получается.

Вы путаете булеву алгебру и исчисление высказываний. Это не одно и то же. То, что можно использовать булеву алгебру для проверки тавталогичности формул исчисления высказываний, — теорема.