Скалярное произведение матриц и их ортогональность.

[alcoholist]

an2ancan, учитывая, что

iifat в сообщении #1293497 писал(а):

Не то чтоб это было сильно легко,

облегчите предельно свою задачу, это же ВАШЕ скалярное произведение, не чье-то чужое)))

[an2ancan]

Спасибо. Если это мое скалярное произведение, то можно прикинуть такую матрицу Грама:
$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

Тогда скалярное произведение двух векторов:

$\left\langle a,b\right\rangle = a^{T} G b = \sum\limits_{i}^{} a_i b_i$

Теперь вопрос в том, чтобы разложить матрицу по базисным векторам.

[iifat]

an2ancan в сообщении #1293548 писал(а):

вопрос в том, чтобы разложить матрицу по базисным векторам

Ась? У вас есть базис и есть матрица скалярного произведения в этом базисе. Чего ещё вы хотите?

[an2ancan]

ну я думал записать скалярное произведение двух матриц, как операцию с их элементами,т.е если есть матрица:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

и матрица

$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$

то расписать как будет выглядит скалярное произведение с этими элементами, без предварительного приведения их к базису. С другой стороны вопрос был просто: "существует ли такое скалярное произведение....", а рассуждение показали, что да, существует.

[Geen]

an2ancan в сообщении #1293550 писал(а):

рассуждение показали, что да, существует.

А где Вы показали выполнимость аксиом?...

[iifat]

an2ancan в сообщении #1293550 писал(а):

рассуждение показали, что да, существует

Ну и, напомню, рассуждение пока проведено для матриц $2\times2$

[iifat]

Ах вот на что, кажется, намекал хитроумный Brukvalub! Любой базис линейного пространства можно объявить ортонормированным, достроить функцию исходя из полилинейности и получить вполне себе кошерное скалярное произведение! Ну, конечно, это стоит доказать построже, но, кажется, таки несложно.
Таким образом, достаточно правильно выбрать базис (собственно, достаточно доказать его существование).

[alcoholist]

an2ancan в сообщении #1293550 писал(а):

расписать как будет выглядит скалярное произведение с этими элементами, без предварительного приведения их к базису

не получится. Уже решите систему л.у.

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}=x(A)V_1+y(A)V_2+z(A)V_3+t(A)V_4. $$

[an2ancan]

alcoholist в сообщении #1293764 писал(а):

не получится. Уже решите систему л.у.

$x(A) = a_{11} - a_{21}$
$y(A) = a_{12} - a_{21}$
$z(A) = a_{22} - a_{21}$
$t(A) = a_{21}$

Geen в сообщении #1293562 писал(а):

А где Вы показали выполнимость аксиом?...

Согласен утверждение не доказано.

[alcoholist]

Geen в сообщении #1293562 писал(а):

А где Вы показали выполнимость аксиом?

изометрично евклидову $\mathbb{R}^4$

[an2ancan]

alcoholist,
Я немного недопонимаю. Получается решение С.У. это докозательство возможности существование такого базиса? а значит, что по крайне мере для матриц 2х2, условие задачи доказано?

[alcoholist]

an2ancan
Вы построили изоморфизм $f\colon V={\mathrm Mat}_{2\times 2}\to\mathbb{R}^4$:

$$ f(xV_1+yV_2+zV_3+tV_4)=xe_1+ye_2+ze_3+te_4, $$

где $\{e_i\}$ -- стандартный ортонормированный базис в $\mathbb{R}^4$. Формула

$$ (A,B)_V=\Bigl(f(A),f(B)\Bigr)_{\mathbb{R}^4} $$

определяет скалярное произведение на $V$. Что еще?