Скалярное произведение матриц и их ортогональность.

[an2ancan]

Здравствуйте, помогите мне с задачей. Честно говоря я не понял даже условия.

Существует ли скалярное произведение на пространстве матриц $n \times n $ $(n>1)$ , относительно которого матрица из всех единиц была бы ортогональна любой верхнетреугольной матрице?

Что такое скалярное произведение матриц? Т.е. Я понимаю, что в итоге должно получиться число, а в случае ортогональности матриц, это число должно быть 0. Но каким ещё требованием отвечает скалярное произведение.

[iifat]

an2ancan в сообщении #1292946 писал(а):

каким ещё требованием отвечает столярное произведение

Ну вы б хоть википедию почитали предварительно, что ли... Вот.

[an2ancan]

Спасибо. Но я пока не знаю, что с этим делать.

Скажите, в правильном ли я направлении буду двигаться, если представлю матрицу из единиц и верхенетругольную матрицу, как векторы какого—то пространства $n \times n \times n $ ?

[DeBill]

an2ancan
Да.
И -для начала -посмотрите на матрицы два на два.

[iifat]

an2ancan в сообщении #1292954 писал(а):

я пока не знаю, что с этим делать

Дык правильно формулировать вопрос же ж! Чтоб из вопроса было ясно, что вы знаете и чего не.

an2ancan в сообщении #1292954 писал(а):

если представлю матрицу из единиц и верхенетругольную матрицу, как векторы какого—то пространства $n \times n \times n $ ?

А что их представлять, если они уже образуют векторное пространство? Вот только откуда третья $n$ взялась, недопол.

[DeBill]

Ой, их - три?? Не заметил.

[Brukvalub]

Множество верхне-треугольных матриц образует подпространство в векторном пр-ве всех матриц. Попробуйте выделить базис в этом подпространстве, добавить к нему матрицу из всех единиц, дополнить такую линейно-независимую систему до базиса во всем пространстве и определить требуемое скалярное произведение на этом базисе.

[an2ancan]

Brukvalub в сообщении #1293084 писал(а):

Множество верхне-треугольных матриц образует подпространство в векторном пр-ве всех матриц. Попробуйте выделить базис в этом подпространстве

По совету DeBill я попробую начать с $2 \times 2$:

Получаем какую-то верхнетреугольную матрицу:
$M_{\Delta} =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$

Мне кажется, стандартный базис этого подпространства сотоит из трех матриц:

$V_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

$V_2 =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

$V_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Brukvalub в сообщении #1293084 писал(а):

добавить к нему матрицу из всех единиц

Вот тут я не понял. А может и раньше не понял. Рассчитываю на вашу помощь.

[Brukvalub]

Так я выше решение рассказал. Тут уже не помочь...

[an2ancan]

Т.е. то что я написал - глупость? Или не подходит сюда? И к чему надо добовлять матрицу из всех единиц?

[DeBill]

an2ancan в сообщении #1293150 писал(а):

Вот тут я не понял.

"Добавить к нему" означало "к этому базису"...
Т.е., Ваша проблема - в том, как вообще задать скалярное произведение, да? Самый простой способ уже был предложен: выбрать (удобный) базис , и задать скалярные произведения базисных векторов...
Ну, а потом, можно расписать его в каком-нить стандартном базисе - буде таковой есть

-- 19.02.2018, 03:19 --

Или Вам хочется заиметь красивую формулу типа "след произведения матрицу на транспонированную"?
Ну, так просто не получится, но если сильно захочется, то в таком духе соорудить что-то тоже можно - после того как сделать хоть как-нибудь....

[an2ancan]

Спасибо,DeBill
если продолжить рассуждение с матрицей размером $2 \times 2$, то для опсиания матрицы из одних единиц, достаточно одной матрицы базиса:

$V_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

Тогда, скалярное произведение двух матриц, можно запсиать:
$\left\langle (a_{11}V_1 + a_{12}V_2 + a_{22}V_3), V_4 \right\rangle= a_{11} \left\langle V_1,V_4 \right\rangle + a_{21} \left\langle V_2,V_4 \right\rangle + a_{22} \left\langle V_3,V_4 \right\rangle $

И вот эта радость должна быть равна нулю. т.е. все векторы базиса подпространства треугольных матриц должны быть ортогональны вектору базиса подпространства единичных матриц. Или опять я что-то не то несу?
Если не то, подскажите куда двигаться.
Если то, то что делать дальше?

P.s. быть может можно по другому выбрать векторы $V_1, V_2, V_3$, или вообще их не выбирать.

[alcoholist]

an2ancan в сообщении #1293309 писал(а):

быть может можно по другому выбрать векторы $V_1, V_2, V_3$, или вообще их не выбирать

Как ни выбирай, всё равно получится линейная комбинация этих)))
Надо такое скалярное произведение придумать, что $V_1, V_2, V_3$ ортогональны $V_4$. Вот для такого сочинения можно забыть, что это матрицы... просто вектора.

[an2ancan]

Так, кажется дошло.

У нас выходит некий базис из 4-х векторов $V_1, V_2, V_3, V_4$. Предтставим два вектора в этом базисе, скажем $a$ c координатами $a_1, a_2, a_3, a_4,$ и $b$ c координатами $b_1, b_2, b_3, b_4$. Запишем их скалярное произведение как:
$\left\langle a , b \right\rangle = \sum\limits_{i}^{}\sum\limits_{j}^{}a_i \cdot b_j \left\langle V_i, V_j \right\rangle$

Главное, что :
$\left\langle V_i, V_4 \right\rangle = 0 $ для $i = 1 \dots 3$.

[iifat]

an2ancan в сообщении #1293473 писал(а):

Главное, что

... Таким образом, задача уже не в том, чтоб придумать функцию на множестве пар матриц 2х2, а всего лишь 16 значений на парах четырёх векторов. Точнее, в силу симметрии, 10, притом что три уже знаем. Не то чтоб это было сильно легко, но явно проще, чем исходная.