2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 11:01 
Аватара пользователя
an2ancan, учитывая, что
iifat в сообщении #1293497 писал(а):
Не то чтоб это было сильно легко,

облегчите предельно свою задачу, это же ВАШЕ скалярное произведение, не чье-то чужое)))

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 11:14 
Спасибо. Если это мое скалярное произведение, то можно прикинуть такую матрицу Грама:
$G = \begin{bmatrix}
 1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & 1
\end{bmatrix} $

Тогда скалярное произведение двух векторов:

$\left\langle a,b\right\rangle = a^{T} G b = \sum\limits_{i}^{} a_i b_i$

Теперь вопрос в том, чтобы разложить матрицу по базисным векторам.

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 11:23 
an2ancan в сообщении #1293548 писал(а):
вопрос в том, чтобы разложить матрицу по базисным векторам
Ась? У вас есть базис и есть матрица скалярного произведения в этом базисе. Чего ещё вы хотите?

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 11:33 
ну я думал записать скалярное произведение двух матриц, как операцию с их элементами,т.е если есть матрица:
$A = \begin{bmatrix}
 a_{11} &  a_{12}\\
 a_{21} &  a_{22}
\end{bmatrix}$

и матрица

$B = \begin{bmatrix}
 b_{11} &  b_{12}\\
 b_{21} &  b_{22}
\end{bmatrix}$

то расписать как будет выглядит скалярное произведение с этими элементами, без предварительного приведения их к базису. С другой стороны вопрос был просто: "существует ли такое скалярное произведение....", а рассуждение показали, что да, существует.

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 13:33 
Аватара пользователя
an2ancan в сообщении #1293550 писал(а):
рассуждение показали, что да, существует.

А где Вы показали выполнимость аксиом?...

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 13:51 
an2ancan в сообщении #1293550 писал(а):
рассуждение показали, что да, существует
Ну и, напомню, рассуждение пока проведено для матриц $2\times2$

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение21.02.2018, 14:55 
Ах вот на что, кажется, намекал хитроумный Brukvalub! Любой базис линейного пространства можно объявить ортонормированным, достроить функцию исходя из полилинейности и получить вполне себе кошерное скалярное произведение! Ну, конечно, это стоит доказать построже, но, кажется, таки несложно.
Таким образом, достаточно правильно выбрать базис (собственно, достаточно доказать его существование).

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение22.02.2018, 15:06 
Аватара пользователя
an2ancan в сообщении #1293550 писал(а):
расписать как будет выглядит скалярное произведение с этими элементами, без предварительного приведения их к базису

не получится. Уже решите систему л.у.
$$
\begin{bmatrix}
a_{11} &  a_{12}\\
a_{21} &  a_{22}
\end{bmatrix}=x(A)V_1+y(A)V_2+z(A)V_3+t(A)V_4.
$$

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение22.02.2018, 18:21 
alcoholist в сообщении #1293764 писал(а):
не получится. Уже решите систему л.у.


$x(A) = a_{11} - a_{21}$
$y(A) = a_{12} - a_{21}$
$z(A) = a_{22} - a_{21}$
$t(A) = a_{21}$

Geen в сообщении #1293562 писал(а):
А где Вы показали выполнимость аксиом?...


Согласен утверждение не доказано.

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение24.02.2018, 23:57 
Аватара пользователя
Geen в сообщении #1293562 писал(а):
А где Вы показали выполнимость аксиом?

изометрично евклидову $\mathbb{R}^4$

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение26.02.2018, 12:41 
alcoholist,
Я немного недопонимаю. Получается решение С.У. это докозательство возможности существование такого базиса? а значит, что по крайне мере для матриц 2х2, условие задачи доказано?

 
 
 
 Re: Скалярное произведение матриц и их ортогональность.
Сообщение26.02.2018, 17:31 
Аватара пользователя
an2ancan
Вы построили изоморфизм $f\colon V={\mathrm Mat}_{2\times 2}\to\mathbb{R}^4$:
$$
f(xV_1+yV_2+zV_3+tV_4)=xe_1+ye_2+ze_3+te_4,
$$
где $\{e_i\}$ -- стандартный ортонормированный базис в $\mathbb{R}^4$. Формула
$$
(A,B)_V=\Bigl(f(A),f(B)\Bigr)_{\mathbb{R}^4}
$$
определяет скалярное произведение на $V$. Что еще?

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group