thethingewertDeBillСпасибо за помощь!
Или может надо отдельно доказать, что в точках разрыва монотонной функции пределы слева и справа существуют, и не равны друг другу?
Да, это доказывается отдельно
Заведу под это дело отдельную лемму.
Если

-- точка разрыва монотонной функции

, то пределы в

слева и справа существуют и не равны друг другу.
Доказательство.
Пределы слева и справа существуют в каждой точке области определения

(задача 13 листка 15). Покажем, что в точке разрыва

они не равны друг другу.
По определению разрывности в точке,

Рассмотрим всевозможные ситуации, означающие разрыв в точке

.
0) Значение

не определено.
Тут у меня сомнения. Такое вообще может быть? По определению непрерывности, если функция непрерывна в точке, то она в этой точке определена. А если разрывна? Я подозреваю что

должно быть определено, иначе теорема (17) была бы неверна: пусть монотонная функция не определена на отрезке, значит каждая точка этого отрезка есть точка разрыва, а их несчетное число.
1) Предел в

существует, и не равен

.
Пусть

. Пределы в

слева и справа существуют и равны друг другу (задача 6 листка 15). По определению односторонних пределов,
![$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_1,\delta_2>0\ \forall x_1\in]a-\delta_1,a[,x_2\in]a,a+\delta_2[\ (f(x_1)\in U_\varepsilon(b))\land(f(x_2)\in U_\varepsilon(b)).$$ $$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_1,\delta_2>0\ \forall x_1\in]a-\delta_1,a[,x_2\in]a,a+\delta_2[\ (f(x_1)\in U_\varepsilon(b))\land(f(x_2)\in U_\varepsilon(b)).$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/a/94af8f3c6e08eaa5df52c45e1c9f3d9182.png)
Из монотонности

следует, что множества
![$f(]a-\delta_1,a[)$ $f(]a-\delta_1,a[)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/a/bfa17b52c49f56f34ca9392f805f25ec82.png)
и
![$f(]a,a+\delta_2[)$ $f(]a,a+\delta_2[)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/3/7937b6b25b3ad22faaa7173406f42d0582.png)
не пересекаются (иначе монотонность была бы нарушена), т.е.
![$$\forall y_1\in f(]a-\delta_1,a[),y_2\in f(]a,a+\delta_2[)\ b-\varepsilon<y_1\leq f(a)\leq y_2<b+\varepsilon\ (b-\varepsilon<y_2\leq f(a)\leq y_1<b+\varepsilon).$$ $$\forall y_1\in f(]a-\delta_1,a[),y_2\in f(]a,a+\delta_2[)\ b-\varepsilon<y_1\leq f(a)\leq y_2<b+\varepsilon\ (b-\varepsilon<y_2\leq f(a)\leq y_1<b+\varepsilon).$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/c/3bc73e41dca457481b207fea8c803bf382.png)
Отсюда

. Это противоречие показывает, что ситуация

для монотонной функции

невозможна.
2) Односторонние пределы в

не равны друг другу.
Пусть

. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, имеем
![$$\forall y_1\in f(]a-\delta_1,a[),y_2\in f(]a,a+\delta_2[)\ b-\varepsilon<y_1\leq b\leq f(a)\leq c\leq y_2<b+\varepsilon.$$ $$\forall y_1\in f(]a-\delta_1,a[),y_2\in f(]a,a+\delta_2[)\ b-\varepsilon<y_1\leq b\leq f(a)\leq c\leq y_2<b+\varepsilon.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/2/a6276b1eb5456dfbae0b93729b3a25d582.png)
Собственно, что тут дальше доказывать? Никаких противоречий тут не видно. Видимо, эта ситуация имеем право на существование.