2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение28.12.2017, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1279477 писал(а):
Придумал вроде 5.в.
Ну значит помог "разбор полётов", пусть даже косвенно :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение28.12.2017, 16:18 


21/02/16
483
grizzly
определенно помог, спасибо!

-- 28.12.2017, 16:27 --

Если с выложенными задачи все ок, то иду дальше.

Задача 8.
Исследовать на непрерывность следующие функции:

а) $f(x)=\operatorname{sign}(x)$

По определению из Википедии, $\operatorname{sign}(x)=
\begin{cases}
1, & x>0 \\ 
0, & x=0 \\
-1, & x<0
\end{cases}$
$\lim\limits_{x\to 0-0}f(x)=-1\neq 1=\lim\limits_{x\to 0+0}f(x)$, следовательно $f$ разрывна в нуле. Во всех остальных точках предел равен значению $f$ в этих точках, что означает непрерывность $f$ в них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение09.01.2018, 15:51 


21/02/16
483
8.б) $f(x)=\{x\}$

По определению, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.
Функция имеет разрывы в точках $n\in\mathbb{Z}$, т.к. в них не существует предела из-за неравенства пределов слева и справа: $\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1\neq 0=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$.
Пусть теперь $a\not\in\mathbb{Z}$ -- произвольная точка. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. Пусть $\gamma$ -- расстояние от $a$ до ближайшего целого числа, и пусть $\delta=\min(\varepsilon,\gamma)$. Тогда $\forall x\in U_\delta(a)$ выполнено $\{x\}\in U_\varepsilon(\{a\})$, что по определению означает непрерывность функции в произвольной нецелой точке.

-- 09.01.2018, 16:26 --

8.г) $f(x)=\begin{cases} 
1/x & \mbox{при } |x|>1, \\
x^2 & \mbox{при } |x|\leq 1
\end{cases}$

Проверим непрерывность в точках $1$ и $-1$.
$\lim\limits_{x\to 1-0}f(x)=\lim\limits_{x\to 1+0}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$, что по определению означает непрерывность в $1$.
$\lim\limits_{x\to -1-0}f(x)=-1\neq 1=\lim\limits_{x\to -1+0}f(x)$, т.е. предел в $-1$ не существует, что означает разрыв $f$ в этой точке.
Функции $\frac{1}{x}$ и $x^2$ непрерывны на множествах $\{x\mid |x|>1\}$ и $\{x\mid |x|\leq 1\}$ соответственно, значит и $f$ непрерывна во всех остальных точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение10.01.2018, 12:01 


21/02/16
483
8.в) $f(x)=\frac{[x]}{x}$

По определению, $[x]=\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\leqslant x\}$.
В нуле $f$ не определена, и значит, разрывна.
$f$ разрывна также и остальных (ненулевых) целочисленных точках $n$, т.к. предел в них не существует:
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1-\frac{1}{n}\neq 1=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$, где $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
(С неограниченным ростом $n$ пределы слева и справа в $n$ стремятся к равенству друг другу. Ну и что, это ничего не меняет, мы ведь рассматриваем непрерывность в каждой конкретной точке, безо всякого стремления куда-то, так ведь?)
Пусть теперь $a\not\in\mathbb{Z}$ -- произвольная точка.
Преобразуем нашу функцию: $f(x)=\frac{x-\{x\}}{x}=1-\frac{\{x\}}{x}$.
Функция $\{x\}$ непрерывна в $a$ (см. пункт б выше), функция $\frac{1}{x}$ также непрерывна в $a$. Следовательно, $f$ непрерывна в $a$ как дробно-линейная комбинация (такой термин существует?) непрерывных функций (задача 7).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение10.01.2018, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1282860 писал(а):
В нуле $f$ не определена, и значит, разрывна.
Это как это?! См. определение разрывной в т.$a$ функции.
irod в сообщении #1282860 писал(а):
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1-\frac{1}{n}$.
Здесь для отрицательных $n$ ничего не поменяется?
irod в сообщении #1282860 писал(а):
дробно-линейная комбинация (такой термин существует?)
В общем, смысл понятен и так иногда пишут, так что нормально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение10.01.2018, 14:02 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1282865 писал(а):
Это как это?! См. определение разрывной в т.$a$ функции.

Ой. Раз в нуле не определена, точку $0$ вообще не рассматриваем. Так что просто выкидываю эту фразу.
grizzly в сообщении #1282865 писал(а):
Здесь для отрицательных $n$ ничего не поменяется?

Вы правы, для отрицательного $n$ будет так:
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1\neq 1-\frac{1}{n}=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение10.01.2018, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1282893 писал(а):
Вы правы, для отрицательного $n$ будет так:
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1\neq 1-\frac{1}{n}=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$.
Осталась ещё одна попытка :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение11.01.2018, 16:04 


21/02/16
483
grizzly
Перепроверил, не вижу ошибки. Разберем по косточкам.
Для отрицательного $n$:
$\lim\limits_{x\to n-0}\{x\}=0,\lim\limits_{x\to n+0}\{x\}=1$.
$\lim\limits_{x\to n-0}\frac{1}{x}=\lim\limits_{x\to n+0}\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$.
Здесь все правильно?

-- 11.01.2018, 16:08 --

Задачу 9 пока не сделал, выкладываю следующую готовую.

Задача 10.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)<0<f(b)$. Доказать, что найдется такое $c\in[a,b]$, что $f(c)=0$.

Доказательство.
Построим систему вложенных отрезков: берем первым отрезком $[a,b]$, делим его напополам и каждый раз берем ту половину, на концах которой $f$ имеет разный знак. Если на конце какого-то отрезка $f$ равно нулю, то это и есть искомая точка $c$. Иначе обозначим точку пересечения этой системы как $c$ и покажем, что $f(c)=0$.
Предположим, что это не так, и $f(c)>0$. Тогда $f$ положительна в некоторой $\varepsilon$-окрестности $c$ (задача 6). Найдется отрезок в системе с длиной меньше $\varepsilon$, и этот отрезок будет целиком лежать в $U_\varepsilon(c)$, т.е. на нем $f$ положительна. Но на левых концах всех отрезков системы $f$ отрицательна. Из этого противоречия следует, что $f(c)\leq 0$.
Аналогично, $f(c)\geq 0$.
Следовательно, $f(c)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение11.01.2018, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1283257 писал(а):
Перепроверил, не вижу ошибки. Разберем по косточкам.
Для отрицательного $n$:
$\lim\limits_{x\to n-0}\{x\}=0$
Я Вас не понимаю. Любое число равно сумме целой и дробной части. Возьмём для примера $-0.1$. Целая часть этого числа равна $-1$ (наибольшее целое, меньшее самого числа). Дробная часть равна $0.9$. Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение11.01.2018, 18:10 


21/02/16
483
Я со всем согласен, но пока не понимаю, где у меня ошибка.
Я работаю с преобразованной функцией $f(x)=1-\frac{\{x\}}{x}$.
Давайте возьмем $n=-1$ и рассмотрим последовательность $-1.2,-1.1,-1.05,-1.025,\ldots$ Она стремится к $-1$ слева (т.е. это последовательность из чисел, меньших $n$). Соответствующая последовательность дробных частей $0.8,0.9,0.95,0.975$ стремится к $1$. Так?

UPD: написал и все понял :-) Прошу прощения, голова под вечер плохо работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение12.01.2018, 14:36 


21/02/16
483
Задача 9.
а) Пусть функция $\varphi$ непрерывна в точке $a$, а функция $f$ непрерывна в точке $b=\varphi(a)$. Тогда функция $f\circ\varphi$ непрерывна в точке $a$.

Доказательство.
Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. По определению непрерывности,
$$
\exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b)),
$$ $$
\exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b).
$$
Объединив эти два факта, получим что
$$
\exists\delta>0\ \forall x\in U_\delta(a)\ f(\varphi(x))\in U_\varepsilon(f(b)),
$$
что по определению означает непрерывность функции $f\circ\varphi$ в точке $a$.

б) Композиция непрерывных функций непрерывна.

Доказательство.
(видимо, тут имеется в виду композиция любого числа непрерывных функций)
Доказательство тривиально с помощью индукции по числу непрерывных функций в композиции. И базу и переход дает пункт а).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение12.01.2018, 16:23 


21/02/16
483
Задача 11.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Тогда $\forall y\in[f(a),f(b)]$ ($[f(b),f(a)]$) $\exists x\in[a,b]\ f(x)=y$.

Доказательство.
В случае $f(a)=f(b)$ отрезков $[f(a),f(b)]$ и $[f(b),f(a)]$ не существует, и считаем утверждение задачи выполненным.
Пусть для определенности $f(a)<f(b)$, и пусть $y\in[f(a),f(b)]$ -- произвольная точка.
Если $y=f(a)$ или $y=f(b)$, то доказательство окончено. Пусть $f(a)<y<f(b)$.
Введем на $[a,b]$ функцию $g=f-y$.
Функция $g$ непрерывна на $[a,b]$ как разность непрерывных функций (задача 7).
Из $f(a)<y<f(b)$ следует $g(a)<0<g(b)$.
Согласно задаче 10, $\exists x\in[a,b]$ такое, что $g(x)=0$. Отсюда $f(x)=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение12.01.2018, 16:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
irod в сообщении #1283486 писал(а):
Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. По определению непрерывности, $$\exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b))$$
Лучше так: По определению непрерывности, $$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b))$$Тут понятно, что такое $\delta'$. А тут — нет:
irod в сообщении #1283486 писал(а):
$$\exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение12.01.2018, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1283540 писал(а):
В случае $f(a)=f(b)$ отрезков $[f(a),f(b)]$ и $[f(b),f(a)]$ не существует, и считаем утверждение задачи выполненным.
Я не помню точно, как мы определяли отрезок в этом курсе, но кажется так, что множество $[a,a]$ считалось отрезком, состоящим из одной точки. Если так, то лучше сказать, что в случае $f(a)=f(b)$ отрезок $[f(a),f(b)]$ вырожден и утверждение задачи тривиальным образом выполнено (это один из распространённых математических "канцеляритов").

PS. Сегодняшние задачи ещё не проверял, завтра подключусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение14.01.2018, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1283486 писал(а):
(видимо, тут имеется в виду композиция любого числа непрерывных функций)
Нет. Имеется в виду, что непрерывна композиция функций в любой точке области определения функции, которая действует первой. Вероятно, цель задачи состоит в том, чтобы напомнить определение композиции отображений и аккуратно записать очевидное.

-- 14.01.2018, 00:05 --

Чтобы убедиться в правильной трактовке условия этой задачи сравните определения непрерывности функции в точке и непрерывной функции.

-- 14.01.2018, 00:11 --

irod в сообщении #1283540 писал(а):
Введем на $[a,b]$ функцию $g=f-y$.
Вот это нехорошая запись, старайтесь избегать подобного точно так же, как в физике не прибавляют километры к килограммам. Лучше записать так: введем на $[a,b]$ функцию $g\colon g(x)=f(x)-y$.

-- 14.01.2018, 00:12 --

Других замечаний у меня нет. (Но svv сделал серьёзное замечание.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group