Непрерывность функции (Давидович)

[grizzly]

irod в сообщении #1279477 писал(а):

Придумал вроде 5.в.

Ну значит помог "разбор полётов", пусть даже косвенно

[irod]

grizzly
определенно помог, спасибо!

-- 28.12.2017, 16:27 --

Если с выложенными задачи все ок, то иду дальше.

Задача 8.
Исследовать на непрерывность следующие функции:

а) $f(x)=\operatorname{sign}(x)$

По определению из Википедии, $\operatorname{sign}(x)= \begin{cases} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{cases}$
$\lim\limits_{x\to 0-0}f(x)=-1\neq 1=\lim\limits_{x\to 0+0}f(x)$, следовательно $f$ разрывна в нуле. Во всех остальных точках предел равен значению $f$ в этих точках, что означает непрерывность $f$ в них.

[irod]

8.б) $f(x)=\{x\}$

По определению, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.
Функция имеет разрывы в точках $n\in\mathbb{Z}$, т.к. в них не существует предела из-за неравенства пределов слева и справа: $\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1\neq 0=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$.
Пусть теперь $a\not\in\mathbb{Z}$ -- произвольная точка. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. Пусть $\gamma$ -- расстояние от $a$ до ближайшего целого числа, и пусть $\delta=\min(\varepsilon,\gamma)$. Тогда $\forall x\in U_\delta(a)$ выполнено $\{x\}\in U_\varepsilon(\{a\})$, что по определению означает непрерывность функции в произвольной нецелой точке.

-- 09.01.2018, 16:26 --

8.г) $f(x)=\begin{cases} 1/x & \mbox{при } |x|>1, \\ x^2 & \mbox{при } |x|\leq 1 \end{cases}$

Проверим непрерывность в точках $1$ и $-1$.
$\lim\limits_{x\to 1-0}f(x)=\lim\limits_{x\to 1+0}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$, что по определению означает непрерывность в $1$.
$\lim\limits_{x\to -1-0}f(x)=-1\neq 1=\lim\limits_{x\to -1+0}f(x)$, т.е. предел в $-1$ не существует, что означает разрыв $f$ в этой точке.
Функции $\frac{1}{x}$ и $x^2$ непрерывны на множествах $\{x\mid |x|>1\}$ и $\{x\mid |x|\leq 1\}$ соответственно, значит и $f$ непрерывна во всех остальных точках.

[irod]

8.в) $f(x)=\frac{[x]}{x}$

По определению, $[x]=\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\leqslant x\}$.
В нуле $f$ не определена, и значит, разрывна.
$f$ разрывна также и остальных (ненулевых) целочисленных точках $n$, т.к. предел в них не существует:
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1-\frac{1}{n}\neq 1=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$, где $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
(С неограниченным ростом $n$ пределы слева и справа в $n$ стремятся к равенству друг другу. Ну и что, это ничего не меняет, мы ведь рассматриваем непрерывность в каждой конкретной точке, безо всякого стремления куда-то, так ведь?)
Пусть теперь $a\not\in\mathbb{Z}$ -- произвольная точка.
Преобразуем нашу функцию: $f(x)=\frac{x-\{x\}}{x}=1-\frac{\{x\}}{x}$.
Функция $\{x\}$ непрерывна в $a$ (см. пункт б выше), функция $\frac{1}{x}$ также непрерывна в $a$. Следовательно, $f$ непрерывна в $a$ как дробно-линейная комбинация (такой термин существует?) непрерывных функций (задача 7).

[grizzly]

irod в сообщении #1282860 писал(а):

В нуле $f$ не определена, и значит, разрывна.

Это как это?! См. определение разрывной в т.$a$ функции.

irod в сообщении #1282860 писал(а):

$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1-\frac{1}{n}$.

Здесь для отрицательных $n$ ничего не поменяется?

irod в сообщении #1282860 писал(а):

дробно-линейная комбинация (такой термин существует?)

В общем, смысл понятен и так иногда пишут, так что нормально.

[irod]

grizzly в сообщении #1282865 писал(а):

Это как это?! См. определение разрывной в т.$a$ функции.

Ой. Раз в нуле не определена, точку $0$ вообще не рассматриваем. Так что просто выкидываю эту фразу.

grizzly в сообщении #1282865 писал(а):

Здесь для отрицательных $n$ ничего не поменяется?

Вы правы, для отрицательного $n$ будет так:
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1\neq 1-\frac{1}{n}=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$.

[grizzly]

irod в сообщении #1282893 писал(а):

Вы правы, для отрицательного $n$ будет так:
$\lim\limits_{x\to n-0}f(x)=1\neq 1-\frac{1}{n}=\lim\limits_{x\to n+0}f(x)$.

Осталась ещё одна попытка

[irod]

grizzly
Перепроверил, не вижу ошибки. Разберем по косточкам.
Для отрицательного $n$:
$\lim\limits_{x\to n-0}\{x\}=0,\lim\limits_{x\to n+0}\{x\}=1$.
$\lim\limits_{x\to n-0}\frac{1}{x}=\lim\limits_{x\to n+0}\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$.
Здесь все правильно?

-- 11.01.2018, 16:08 --

Задачу 9 пока не сделал, выкладываю следующую готовую.

Задача 10.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)<0<f(b)$. Доказать, что найдется такое $c\in[a,b]$, что $f(c)=0$.

Доказательство.
Построим систему вложенных отрезков: берем первым отрезком $[a,b]$, делим его напополам и каждый раз берем ту половину, на концах которой $f$ имеет разный знак. Если на конце какого-то отрезка $f$ равно нулю, то это и есть искомая точка $c$. Иначе обозначим точку пересечения этой системы как $c$ и покажем, что $f(c)=0$.
Предположим, что это не так, и $f(c)>0$. Тогда $f$ положительна в некоторой $\varepsilon$-окрестности $c$ (задача 6). Найдется отрезок в системе с длиной меньше $\varepsilon$, и этот отрезок будет целиком лежать в $U_\varepsilon(c)$, т.е. на нем $f$ положительна. Но на левых концах всех отрезков системы $f$ отрицательна. Из этого противоречия следует, что $f(c)\leq 0$.
Аналогично, $f(c)\geq 0$.
Следовательно, $f(c)=0$.

[grizzly]

irod в сообщении #1283257 писал(а):

Перепроверил, не вижу ошибки. Разберем по косточкам.
Для отрицательного $n$:
$\lim\limits_{x\to n-0}\{x\}=0$

Я Вас не понимаю. Любое число равно сумме целой и дробной части. Возьмём для примера $-0.1$. Целая часть этого числа равна $-1$ (наибольшее целое, меньшее самого числа). Дробная часть равна $0.9$. Согласны?

[irod]

Я со всем согласен, но пока не понимаю, где у меня ошибка.
Я работаю с преобразованной функцией $f(x)=1-\frac{\{x\}}{x}$.
Давайте возьмем $n=-1$ и рассмотрим последовательность $-1.2,-1.1,-1.05,-1.025,\ldots$ Она стремится к $-1$ слева (т.е. это последовательность из чисел, меньших $n$). Соответствующая последовательность дробных частей $0.8,0.9,0.95,0.975$ стремится к $1$. Так?

UPD: написал и все понял Прошу прощения, голова под вечер плохо работает.

[irod]

Задача 9.
а) Пусть функция $\varphi$ непрерывна в точке $a$, а функция $f$ непрерывна в точке $b=\varphi(a)$. Тогда функция $f\circ\varphi$ непрерывна в точке $a$.

Доказательство.
Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. По определению непрерывности,

$$ \exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b)), $$

$$ \exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b). $$

Объединив эти два факта, получим что

$$ \exists\delta>0\ \forall x\in U_\delta(a)\ f(\varphi(x))\in U_\varepsilon(f(b)), $$

что по определению означает непрерывность функции $f\circ\varphi$ в точке $a$.

б) Композиция непрерывных функций непрерывна.

Доказательство.
(видимо, тут имеется в виду композиция любого числа непрерывных функций)
Доказательство тривиально с помощью индукции по числу непрерывных функций в композиции. И базу и переход дает пункт а).

[irod]

Задача 11.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Тогда $\forall y\in[f(a),f(b)]$ ($[f(b),f(a)]$) $\exists x\in[a,b]\ f(x)=y$.

Доказательство.
В случае $f(a)=f(b)$ отрезков $[f(a),f(b)]$ и $[f(b),f(a)]$ не существует, и считаем утверждение задачи выполненным.
Пусть для определенности $f(a)<f(b)$, и пусть $y\in[f(a),f(b)]$ -- произвольная точка.
Если $y=f(a)$ или $y=f(b)$, то доказательство окончено. Пусть $f(a)<y<f(b)$.
Введем на $[a,b]$ функцию $g=f-y$.
Функция $g$ непрерывна на $[a,b]$ как разность непрерывных функций (задача 7).
Из $f(a)<y<f(b)$ следует $g(a)<0<g(b)$.
Согласно задаче 10, $\exists x\in[a,b]$ такое, что $g(x)=0$. Отсюда $f(x)=y$.

[svv]

irod в сообщении #1283486 писал(а):

Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. По определению непрерывности,

$$\exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b))$$

Лучше так: По определению непрерывности,

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b))$$

Тут понятно, что такое $\delta'$. А тут — нет:

irod в сообщении #1283486 писал(а):

$$\exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b)$$

[grizzly]

irod в сообщении #1283540 писал(а):

В случае $f(a)=f(b)$ отрезков $[f(a),f(b)]$ и $[f(b),f(a)]$ не существует, и считаем утверждение задачи выполненным.

Я не помню точно, как мы определяли отрезок в этом курсе, но кажется так, что множество $[a,a]$ считалось отрезком, состоящим из одной точки. Если так, то лучше сказать, что в случае $f(a)=f(b)$ отрезок $[f(a),f(b)]$ вырожден и утверждение задачи тривиальным образом выполнено (это один из распространённых математических "канцеляритов").

PS. Сегодняшние задачи ещё не проверял, завтра подключусь.

[grizzly]

irod в сообщении #1283486 писал(а):

(видимо, тут имеется в виду композиция любого числа непрерывных функций)

Нет. Имеется в виду, что непрерывна композиция функций в любой точке области определения функции, которая действует первой. Вероятно, цель задачи состоит в том, чтобы напомнить определение композиции отображений и аккуратно записать очевидное.

-- 14.01.2018, 00:05 --

Чтобы убедиться в правильной трактовке условия этой задачи сравните определения непрерывности функции в точке и непрерывной функции.

-- 14.01.2018, 00:11 --

irod в сообщении #1283540 писал(а):

Введем на $[a,b]$ функцию $g=f-y$.

Вот это нехорошая запись, старайтесь избегать подобного точно так же, как в физике не прибавляют километры к килограммам. Лучше записать так: введем на $[a,b]$ функцию $g\colon g(x)=f(x)-y$.

-- 14.01.2018, 00:12 --

Других замечаний у меня нет. (Но svv сделал серьёзное замечание.)