Непрерывность функции (Давидович)

[irod]

14.б так и не придумал пока, зато кое-что придумал по задаче 17.

Задача 17*.
Доказать, что монотонная функция имеет не более чем счетное число точек разрыва.

Доказательство.
Пусть $f$ -- монотонная функция и пусть $a$ -- ее произвольная точка разрыва.
Пределы в $a$ слева и справа существуют (задача 13 листка 15). Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. По определению предела слева, существует $\delta_1(\varepsilon)>0$ такое, что все значения $f$ на $]a-\delta_1,a[$ принадлежат некоторой окрестности. Очевидно, $f$ непрерывна на $]a-\delta_1,a[$. Аналогично, по определению предела справа, $f$ непрерывна на $]a,a+\delta_2[$ для некоторого $\delta_2(\varepsilon)>0$. Таким образом, интервал $]a-\delta_1,a+\delta_2[$ не содержит иных точек разрыва $f$, кроме $a$.
Разобьем всю область определения $f$ на такие интервалы, каждый из которых содержит одну точку разрыва. Объединение всех таких интервалов является открытым множеством (задача 2 листка 13). Согласно задаче 4 листка 13, число подобных интервалов, а значит и число содержащихся в них точек разрыва, не более чем счетно.

Комментарии.
Тут есть момент, который меня смущает. В задаче 13 листка 15 речь о монотонной функции, определенной на интервале. В этой задаче область определения никак не упомянута. Возможно, 13-ю задачу тут использовать нельзя? Или может надо отдельно доказать, что в точках разрыва монотонной функции пределы слева и справа существуют, и не равны друг другу?

[thething]

irod в сообщении #1294271 писал(а):

Или может надо отдельно доказать, что в точках разрыва монотонной функции пределы слева и справа существуют, и не равны друг другу?

Да, это доказывается отдельно

irod в сообщении #1294271 писал(а):

Разобьем всю область определения $f$ на такие интервалы, каждый из которых содержит одну точку разрыва.

Еще неплохо обосновать, что эти интервалы не пересекаются

[ewert]

irod в сообщении #1294271 писал(а):

В задаче 13 листка 15 речь о монотонной функции, определенной на интервале. В этой задаче область определения никак не упомянута.

Наверняка подразумевается, что это какой-то промежуток (возможно, и бесконечный -- это не имеет значения).

irod в сообщении #1294271 писал(а):

Разобьем всю область определения $f$ на такие интервалы, каждый из которых содержит одну точку разрыва.

Это, вообще говоря, невозможно (например, сразу все рациональные точки могут быть точками разрыва). Следует выбирать подходящие интервалы, наоборот, по вертикали.

[thething]

ewert в сообщении #1294273 писал(а):

Следует выбирать подходящие интервалы, наоборот, по вертикали.

Ох, недоглядел, что это Вы по оси абсцисс интервалы выбирали.. Дополню совет ewert'а: для каждой точки разрыва надо найти вертикальный интервал, не содержащий значений функции, и показать, что эти интервалы не пересекаются. Эта задача тесно связана с Вашим комментарием-вопросом.

[DeBill]

irod в сообщении #1294271 писал(а):

Очевидно, $f$ непрерывна на $]a-\delta_1,a[$.

Совершенно не очевидно, да и, вообще говоря, неверно.

-- 26.02.2018, 02:07 --

Пример: пусть $\theta (x)$ равна 1 при $x>0$, и равна 0 при $x \leqslant 0$,
$f(x)= x +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\theta (x-r_n)}{3^n} $, где $r_n$ - $n$-е рациональное число. Она строго монотонна, и какие у нее разрывы?

[irod]

thething
ewert
DeBill
Спасибо за помощь!

thething в сообщении #1294272 писал(а):

irod в сообщении #1294271 писал(а):

Или может надо отдельно доказать, что в точках разрыва монотонной функции пределы слева и справа существуют, и не равны друг другу?

Да, это доказывается отдельно

Заведу под это дело отдельную лемму.
Если $a$ -- точка разрыва монотонной функции $f$, то пределы в $a$ слева и справа существуют и не равны друг другу.

Доказательство.
Пределы слева и справа существуют в каждой точке области определения $f$ (задача 13 листка 15). Покажем, что в точке разрыва $a$ они не равны друг другу.
По определению разрывности в точке,

$$ \exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in U_\delta(a)\cap M\ f(x)\not\in U_\varepsilon(f(a)). $$

Рассмотрим всевозможные ситуации, означающие разрыв в точке $a$.

0) Значение $f(a)$ не определено.
Тут у меня сомнения. Такое вообще может быть? По определению непрерывности, если функция непрерывна в точке, то она в этой точке определена. А если разрывна? Я подозреваю что $f(a)$ должно быть определено, иначе теорема (17) была бы неверна: пусть монотонная функция не определена на отрезке, значит каждая точка этого отрезка есть точка разрыва, а их несчетное число.

1) Предел в $a$ существует, и не равен $f(a)$.
Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$. Пределы в $a$ слева и справа существуют и равны друг другу (задача 6 листка 15). По определению односторонних пределов,

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_1,\delta_2>0\ \forall x_1\in]a-\delta_1,a[,x_2\in]a,a+\delta_2[\ (f(x_1)\in U_\varepsilon(b))\land(f(x_2)\in U_\varepsilon(b)).$$

Из монотонности $f$ следует, что множества $f(]a-\delta_1,a[)$ и $f(]a,a+\delta_2[)$ не пересекаются (иначе монотонность была бы нарушена), т.е.

$$\forall y_1\in f(]a-\delta_1,a[),y_2\in f(]a,a+\delta_2[)\ b-\varepsilon<y_1\leq f(a)\leq y_2<b+\varepsilon\ (b-\varepsilon<y_2\leq f(a)\leq y_1<b+\varepsilon).$$

Отсюда $f(a)=b$. Это противоречие показывает, что ситуация $\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)$ для монотонной функции $f$ невозможна.

2) Односторонние пределы в $a$ не равны друг другу.
Пусть $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=b\neq c=\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, имеем

$$\forall y_1\in f(]a-\delta_1,a[),y_2\in f(]a,a+\delta_2[)\ b-\varepsilon<y_1\leq b\leq f(a)\leq c\leq y_2<b+\varepsilon.$$

Собственно, что тут дальше доказывать? Никаких противоречий тут не видно. Видимо, эта ситуация имеем право на существование.

[irod]

DeBill в сообщении #1294389 писал(а):

Пример: пусть $\theta (x)$ равна 1 при $x>0$, и равна 0 при $x \leqslant 0$,
$f(x)= x +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\theta (x-r_n)}{3^n} $, где $r_n$ - $n$-е рациональное число. Она строго монотонна, и какие у нее разрывы?

А что такое $n$-е рациональное число?

-- 27.02.2018, 16:07 --

По задаче 17.

thething в сообщении #1294276 писал(а):

для каждой точки разрыва надо найти вертикальный интервал, не содержащий значений функции, и показать, что эти интервалы не пересекаются. Эта задача тесно связана с Вашим комментарием-вопросом.

С такой подсказкой задачу можно считать решенной. Разве что было б интересно услышать замечания по моему доказательству вспомогательной леммы о неравенстве односторонних пределов в точках разрыва монотонной функции постом выше. А то что интервалы не пересекаются следует из определения монотонной функции. Главное, как я понял, моя идея использовать представление открытых множеств в виде не более чем счетного числа интервалов была верной. Горжусь собой, если так

-- 27.02.2018, 16:10 --

Задачу 14.б я так и не придумал как доказать. Прошу подсказать мне учебник(-и) с ее доказательством, мой лимит времени на эту задачу уже давно превышен.

[thething]

irod в сообщении #1294623 писал(а):

Значение $f(a)$ не определено.

Ну, всегда можно как-то задать, либо через $f(a+0)$ (это предел справа), либо через $f(a-0)$ (это предел слева), либо через нечто среднее. Существование же этих пределов следует из теоремы о существовании предела у монотонной ограниченной функции: что-то типа такого: если $f$ неубывает на $(a,b)$, и ограничена сверху, то существует предел $\lim\limits_{x\to{b-0}}^{}f(x)$. У Вас же в силу монотонности и ограниченность будет.

[DeBill]

irod в сообщении #1294731 писал(а):

А что такое $n$-е рациональное число?

Множество рациональных чисел - счетно. Занумеруем их как -нибудь. Число, получившее номер $n$ и есть $r_n$