2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 15:29 


21/02/16
483
grizzly
svv
спасибо за замечания!
grizzly в сообщении #1283544 писал(а):
Я не помню точно, как мы определяли отрезок в этом курсе, но кажется так, что множество $[a,a]$ считалось отрезком, состоящим из одной точки. Если так, ...
Нет, не так. По определению 8 листка 8, для отрезка $[a,b]$ обязательно выполнено $a<b$.

-- 15.01.2018, 15:31 --

grizzly в сообщении #1283879 писал(а):
irod в сообщении #1283540 писал(а):
Введем на $[a,b]$ функцию $g=f-y$.
Вот это нехорошая запись, старайтесь избегать подобного точно так же, как в физике не прибавляют километры к килограммам. Лучше записать так: введем на $[a,b]$ функцию $g\colon g(x)=f(x)-y$.
Ок.

-- 15.01.2018, 16:12 --

grizzly в сообщении #1283879 писал(а):
Но svv сделал серьёзное замечание.
svv в сообщении #1283541 писал(а):
Лучше так: По определению непрерывности, $$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b))$$
Ок.
svv в сообщении #1283541 писал(а):
Тут понятно, что такое $\delta'$. А тут — нет:
irod в сообщении #1283486 писал(а):
$$\exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b)$$
Если честно, я не понял почему это замечание серьезное.
Тут достаточно будет добавить фразу:
И по определению непрерывности для этого $\delta'$ выполнено $$\exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b)$$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 16:34 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1283879 писал(а):
irod в сообщении #1283486 писал(а):
(видимо, тут имеется в виду композиция любого числа непрерывных функций)
Нет. Имеется в виду, что непрерывна композиция функций в любой точке области определения функции, которая действует первой. Вероятно, цель задачи состоит в том, чтобы напомнить определение композиции отображений и аккуратно записать очевидное.

-- 14.01.2018, 00:05 --

Чтобы убедиться в правильной трактовке условия этой задачи сравните определения непрерывности функции в точке и непрерывной функции.
По определению из листка 3, композицией функций $\varphi:X\to Y\subset\mathbb{R}$ и $f:Y\to Z\subset\mathbb{R}$ является такая функция $g:X\to Z$, что $g(x)=f(\varphi(x))$.
По определению непрерывной функции, $\varphi$ непрерывна в каждой точке $x\in X$, $f$ непрерывна в каждой точке $y\in Y$. Согласно пункту а), функция $g=f\circ\varphi$ непрерывна в каждой точке $x\in X$, т.е. является непрерывной функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1284279 писал(а):
Если честно, я не понял почему это замечание серьезное.
Тут достаточно будет добавить фразу:
И по определению непрерывности для этого $\delta'$ выполнено

Да, всё нормально. Только если функций больше чем одна, обязательно в каждом случае указывайте, непрерывность какой Вы используете.
(Мне показалось, что был более серьёзный разрыв логики, уже не важно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение16.01.2018, 14:51 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1283544 писал(а):
irod в сообщении #1283540 писал(а):
В случае $f(a)=f(b)$ отрезков $[f(a),f(b)]$ и $[f(b),f(a)]$ не существует, и считаем утверждение задачи выполненным.
Я не помню точно, как мы определяли отрезок в этом курсе, но кажется так, что множество $[a,a]$ считалось отрезком, состоящим из одной точки. Если так, то лучше сказать, что в случае $f(a)=f(b)$ отрезок $[f(a),f(b)]$ вырожден и утверждение задачи тривиальным образом выполнено (это один из распространённых математических "канцеляритов").
irod в сообщении #1284279 писал(а):
По определению 8 листка 8, для отрезка $[a,b]$ обязательно выполнено $a<b$.
Тогда наверное лучше всего написать так:
В случае $f(a)=f(b)$ утверждение задачи тривиальным образом выполнено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 15:11 


21/02/16
483
Задача 12.
Верно ли, что для монотонных функций справедливо утверждение, обратное утверждению задачи 11, то есть из условия $\forall y\in[f(a),f(b)]\ \exists x\in[a,b]\ f(x)=y$ следует, что функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$.

Ответ: да.

Доказательство.
Пусть для монотонно неубывающей функции $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ выполнено $f(a)<f(b)$, и пусть $\forall y\in[f(a),f(b)]\ \exists x\in[a,b]\ f(x)=y$.
Для удобства пронумерую свои утверждения (просто хочу попробовать такой новый для себя стиль; мне нумерация помогла более четко все осмыслить; напишите пожалуйста, стОит ли так делать, или нет).
1) Возьмем произвольную точку $c\in[a,b]$.
2) Имеем из монотонного неубывания $f$: $f(a)\leq f(c)\leq f(b)$.
3) Возьмем произвольный $\varepsilon$ такой, что $0<\varepsilon<\min\left(f(c)-f(a),f(b)-f(c)\right)$.
4) Обозначим $y_1=f(c)-\varepsilon,y_2=f(c)+\varepsilon$; по условию существуют $x_1,x_2$ такие, что $f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2$.
5) Причем из монотонного неубывания $f$ следует, что $a\leq x_1<c<x_2\leq b$.
6) Пусть $\delta=\min\left(c-x_1,x_2-c\right)$.
7) Имеем из монотонного неубывания $f$: $\forall x\in U_\delta(c)\ f(x)\in U_\varepsilon(f(c))$, что по определению означает непрерывность $f$ в точке $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1285013 писал(а):
просто хочу попробовать такой новый для себя стиль; мне нумерация помогла более четко все осмыслить; напишите пожалуйста, стОит ли так делать, или нет
Я в этом особого греха не вижу -- если нумерация Вам помогает, пусть будет. Я не сомневаюсь, что если Вам понадобится писать что-то в научном стиле, то избавиться от лишней нумерации (когда задача уже решена) будет совсем просто.
irod в сообщении #1285013 писал(а):
3) Возьмем произвольный $\varepsilon$ такой, что $0<\varepsilon<\min\left(f(c)-f(a),f(b)-f(c)\right)$.
Формально Вы должны провести доказательство для любого положительного $\varepsilon $. Понятно, конечно, что нас интересуют только близкие к нулю. Расписывать это подробно точно не нужно, но чтобы соблюсти формальности лучше сделать какую-то оговорку. Например так:

    Возьмем произвольный $\varepsilon>0$. Можно считать, что $\varepsilon<\min\left(f(c)-f(a),f(b)-f(c)\right)$.

Или можно использовать математический канцелярит: "не уменьшая общности будем считать, что...". Это некий аналог того же "очевидно", но его использование более специфично. В данном случае Вы показываете, что сознательно сужаете требования определения, и при этом считаете очевидным, что доказательство от этого не страдает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 18:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

irod в сообщении #1284279 писал(а):
Если честно, я не понял почему это замечание серьезное.
Извините, что не ответил раньше.
irod в сообщении #1283486 писал(а):
По определению непрерывности,$$\exists\delta'>0\ \forall x\in U_{\delta'}(b)\ f(x)\in U_{\varepsilon}(f(b)),$$ $$\exists\delta>0\ \forall x\in U_{\delta}(a)\ \varphi(x)\in U_{\delta'}(b).$$Объединив эти два факта, получим что
Я воспринял это как две отдельные формулы (думаю, и grizzly тоже). Этому способствовали и слова «по определению», и размещение в две строки, и особенно слова «объединив эти два факта». При таком понимании написанного замечание становится серьёзным. Если же это одна формула, записанная в две строки, и в ней подразумевается записанное выше словами $\forall\varepsilon>0$, то нет. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение18.01.2018, 18:43 


21/02/16
483
svv
Ок.
grizzly
Я наверное создам себе отдельную заметку с математическими канцеляритами, добавлю туда для начала "тривиальным образом выполнено" и "не уменьшая общности..." с Вашими объяснениями, и буду наполнять ее по мере своего обучения. Спасибо!

Есть вопрос по следующей задаче.

Задача 13.
Пусть $P$ -- многочлен нечетной степени. Доказать, что найдется такое $a\in\mathbb{R}$, что $P(a)=0$.

С многочленами я почти не сталкивался до этой задачи, ну разве что на школьном уровне, да еще в листке 14 есть конкретные функции, но чтобы вот так формально про них что-то доказывать - такого еще не было. Я понимаю, что начать тут надо с выписывания формального определения многочлена, далее я наверное пойду в Википедию. Но хотелось бы использовать эту задачу как предлог немного въехать в тему многочленов (хоть и немного, но качественно, а не на уровне чтения Википедии). Я знаю что их проходят в курсе общей (абстрактной) алгебры, но я до него пока не добрался. В идеале хотелось бы найти какой-нибудь маленький листок с основными фактами. Не подскажете такой? Ну или подскажите, где можно (и где лучше) про них кратко прочитать для моего уровня. Помимо этой задачи из Давидовича, многочлены мне понадобятся для 4-й главы книги Linear Algebra Done Right, которую я по-тихоньку прохожу самостоятельно. Хотелось бы подойти к этой главе LADR уже подготовленным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение18.01.2018, 20:11 


07/08/16
328
irod в сообщении #1285457 писал(а):
Задача 13.
Пусть $P$ -- многочлен нечетной степени. Доказать, что найдется такое $a\in\mathbb{R}$, что $P(a)=0$.

Есть очень красивое решение, данной задачи, которое опирается на
1)Соображения непрерывности.
2)Соображения монотонности.
Возьмите произвольный многочлен нечетной степени и попробуйте подставить в него бОльшие положительные, бОльшие отрицательные числа. Взгляните после этого на декартову плоскость, прикиньте, как будет выглядеть график, опираясь на ваши расчеты. А далее 1) и 2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение22.01.2018, 15:06 


21/02/16
483
Sdy
я придумал доказательство, но в нем не используется монотонность.
irod в сообщении #1285457 писал(а):
Задача 13.
Пусть $P$ -- многочлен нечетной степени. Доказать, что найдется такое $a\in\mathbb{R}$, что $P(a)=0$.
По условию, $P(x)=\sum\limits_{i=0}^n c_ix^i$, где $n$ -- нечетное целое положительное число, $c_i$ -- фиксированные коэффициенты, $c_n\neq 0$.
$P$ непрерывен как сумма непрерывных функций-одночленов $c_ix^i$.
Старший член $c_nx^n$ растет быстрее других членов с меньшими степенями. Следовательно, знак $P$ определяется знаком $c_nx^n$, начиная с некоторого $x$. Нечетность $n$ означает, что $c_nx^n$ меняет знак на противоположный одновременно со сменой знака $x$. Следовательно, множество значений $P$ содержит как положительные, так и отрицательные значения.
Искомое $a$ существует согласно задаче 10.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение01.02.2018, 14:55 


21/02/16
483
Прошу подсказок по следующей задаче:

Задача 14.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Доказать, что
а) функция $f$ ограничена на $[a,b]$;
б) для любого замкнутого множества $M\subset[a,b]$ его образ $f(M)$ замкнут.

В первую очередь по первому пункту, над вторым наверное еще сам подумаю.
Такое чувство что должна быть не сложная задача, но вот что-то не идет.
Пока мысли следующие.
Из определения непрерывности в точке следует, что функция ограничена в некоторой окрестности этой точки; можно попробовать представить весь отрезок $[a,b]$ как объединение конечного числа таких окрестностей. Но как доказать что их будет конечное число?
Может быть построить систему вложенных отрезков: берем центр $c\in[a,b]$, вырезаем из $[a,b]$ $U_\delta(c)$, где $\delta$ из определения непрерывности. Далее, на каждом шаге число отрезков увеличивается вдвое, а длина каждого минимум вдвое меньше чем длина предыдущего отрезка. Доказать, что в итоге от отрезков ничего не останется?
Еще пробовал от противного: пусть $\forall C\ \exists x\in[a,b]\ |f(x)|>C$. Тут надо прийти к противоречию с задачей 11?
Пока никакая из этих идей меня никуда не привела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение01.02.2018, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1289122 писал(а):
пусть $\forall C\ \exists x\in[a,b]\ |f(x)|>C$.
Вот это неплохая идея. Вы можете получить целую последовательность таких $x$, для которых значение функции будет уходить на бесконечность. Скажем, $f(x_n)=y_n>n$. Тут ведь что самое главное в этой задаче? что на отрезке (области определения) функция принимает конкретные (конечные) значения в каждой точке. Остановлюсь пока на этом -- Ваш ход :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение02.02.2018, 08:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
irod в сообщении #1289122 писал(а):
пусть $\forall C\ \exists x\in[a,b]\ |f(x)|>C$. Тут надо прийти к противоречию с задачей 11?

Нет, 11-я тут не при чём, а перефразировка grizzly Вашей идеи намекает на последующее обращение к принципу компактности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение02.02.2018, 13:53 


21/02/16
483
grizzly
спасибо, кажется догадался.
irod в сообщении #1289122 писал(а):
Задача 14.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Доказать, что
а) функция $f$ ограничена на $[a,b]$;
Доказательство.

От противного. Предположим, что $f$ не ограничена на $[a,b]$, т.е. $\forall C\ \exists x\in[a,b]\ |f(x)|>C$.
Пусть $(x_n)$ -- последовательность из чисел отрезка $[a,b]$ такая, что последовательность $(f(x_n))$ стремится к бесконечности.
Последовательность $(x_n)$ ограничена, и значит имеет более одной предельной точки (задача 13 листка 11).
Возьмем произвольную предельную точку $c$ последовательности $(x_n)$, и пусть $(x_k)$ -- сходящаяся к $c$ подпоследовательность $(x_n)$. По определению непрерывности функции в точке, последовательность $(f(x_k))$ сходится к $f(c)$ и, следовательно, ограничена (задача 12 листка 11).
За вычетом сходящихся подпоследовательностей, в $(x_n)$ останется не более конечного числа членов. Конечное число соответствующих значений $f$ ограничено.
Таким образом, последовательность $(f(x_n))$ ограничена.
Полученное противоречие доказывает ограниченность $f$ на $[a,b]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение02.02.2018, 14:05 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
irod в сообщении #1289420 писал(а):
За вычетом сходящихся подпоследовательностей, в $(x_n)$ останется не более конечного числа членов.

На самом деле, возможен и такой случай, когда после вычета останется бесконечное количество членов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group