Многомерность и время.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1291667 писал(а):

Физические теории, конечно, «менее абстрактны«, чем математические, но они всё равно абстракции.

Я уже начал терять нить. И что отсюда следует? Что они принципиально независимы от наблюдателя? Это не так. Если они предполагают применение к реальным ситуациям, то непременно включают какие-то зависимые от наблюдателя параметры. Например, начальные значения в задачах механики. В рассматриваемых нами сейчас примерах "неточных" уравнений динамики зависимыми от наблюдателя параметрами являются вероятности.

warlock66613 в сообщении #1291667 писал(а):

Пусть задана функция, сопоставляющая каждому микросостоянию нашей системы некоторый включащий его ансамбль микросостояний, который я назову макросостоянием.

Каким именно образом задана? Вы в курсе, что при желании микросостояния можно объединить в макросостояние совершенно любым способом?

warlock66613 в сообщении #1291667 писал(а):

Энтропией макросостояния назовём логарифм количества микросостояний, его составляющих.

Поскольку в первом предложении абзаца Вы предположили, что нам известно микросостояние, то из второго предложения абзаца мы заключаем, что количество микросостояний в текущем макросостоянии определяется тем, как мы выберем функцию $\text{микросостояние} \mapsto \text{макросостояние}$. Стало быть, величина энтропии (смотрим на процитированное мной - третье - предложение абзаца) тоже определяется тем, как выбрана эта функция и ничем иным.

[warlock66613]

epros в сообщении #1291686 писал(а):

Каким именно образом задана? Вы в курсе, что при желании микросостояния можно объединить в макросостояние совершенно любым способом?

Да, именно! Именно любым способом и задана. В смысле функция может быть выбрана любой. В зависимости от выбора будут разные «статфизики», разные описания одного и того же. Разумеется, не все они одинаково полезны с практической точки зрения (да и с теоретической тоже), но это уже другой вопрос.

epros в сообщении #1291686 писал(а):

Стало быть, величина энтропии (смотрим на процитированное мной - третье - предложение абзаца) тоже определяется тем, как выбрана эта функция и ничем иным.

Так и есть.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1291688 писал(а):

Так и есть.

Ба, и это мне говорит тот, кто только недавно доказывал, что энтропия бутылки с водой не зависит ни от каких наблюдателей? А теперь выясняется, что она зависит от произвольного выбора пользователем теории способа объединения микросостояний в макросостояния?

[warlock66613]

epros в сообщении #1291698 писал(а):

Ба, и это мне говорит тот, кто только недавно доказывал, что энтропия бутылки с водой не зависит ни от каких наблюдателей? А теперь выясняется, что она зависит от произвольного выбора пользователем теории способа объединения микросостояний в макросостояния?

Да! Ну как зависит — фактически, в зависимости от выбора мы будет получать разные энтропии. В каком-то смысле они все одинаково хороши (это зависит, конечно, от наших целей, и от наличия и свойств вашего наблюдателя, кстати). Некоторые из них могут быть более-менее эквиваленты, другие же будут сильно отличаться по своему смыслу. И для бутылки с газом какая-то из энтропий будет совпадать с феноменологической термодинамической энтропией.

(И ещё у меня всё же есть подозрение, что не при любом выборе эргодическая гипотеза будет работать одинаково хорошо. Но пока это всё ещё только подозрение.)

[epros]

epros в сообщении #1291698 писал(а):

И для бутылки с газом какая-то из энтропий будет совпадать с феноменологической термодинамической энтропией.

Упс. Вы полагаете, что эта энтропия, которую мы с Вами сейчас определяли через количество микросостояний, не совсем та "термодинамическая", о которой мы говорим, рассматривая бутылку с водой?

Я хочу Вам сказать, что разумное определение макросостояний должно быть адекватно тому инструментарию, которым располагает экспериментатор - пользователь теории. Тогда и те "макропараметры", которые он намеряет с помощью своих инструментов, будут соответствовать тем значениям, которые он рассчитает теоретически.

[warlock66613]

epros в сообщении #1291712 писал(а):

Вы полагаете, что эта энтропия, которую мы с Вами сейчас определяли через количество микросостояний, не совсем та "термодинамическая", о которой мы говорим, рассматривая бутылку с водой?

Если «правильно» разбить фазовое пространство системы на макросостояния — то будет та. Если «неправильно» — не та.

epros в сообщении #1291712 писал(а):

Я хочу Вам сказать, что разумное определение макросостояний должно быть адекватно тому инструментарию, которым располагает экспериментатор - пользователь теории. Тогда и те "макропараметры", которые он намеряет с помощью своих инструментов, будут соответствовать тем значениям, которые он рассчитает теоретически.

С этим я согласен. Но статфизика ничем не отличается тут от других физических теорий.

[warlock66613]

epros в сообщении #1291647 писал(а):

Я предложил такой вариант определения понятия "макропараметр", что энергия к нему не относится.

Вынужден согласиться, что то, что я в этой теме называл "макропараметрами", не согласовано с тем, что я называл "макросостоянием". Так что термина "макропараметр" я в дальнейшем буду избегать. Максимальный объём идеального газа (в ящике) я бы назвал макроусловием (по идее, это даже общепринято). А сиюминутный объём газа (его правда сложно хорошо определить, так что вместо него лучше взять среднеквадратичное положение молекулы) я бы назвал макронаблюдаемой. Энергия тогда является макроусловием (и макронаблюдаемой), но не макропараметром. Температура является макронаблюдаемой (и соответственно может использоваться для задания макроусловий), но только в термодинамическом пределе, а не в общем случае.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1291721 писал(а):

Если «правильно» разбить фазовое пространство системы на макросостояния — то будет та. Если «неправильно» — не та.

Надо заметить, что "правильное" в этом смысле "разбиение" на макросостояния предполагает, что в равновесное состояние войдут все возможные микросостояния. Так что функция $\text{микросостояние} \mapsto \text{макросостояния}$ тут не подойдёт, а от неведомо откуда взятого правила "макросостояния не пересекаются" придётся отказаться.

warlock66613 в сообщении #1291721 писал(а):

Но статфизика ничем не отличается тут от других физических теорий.

Конечно не отличается. Наблюдатель маячит за всеми. Только в некоторых простых механических задачах его роль ограничивается определением начальных значений, а в статфизике им ещё и определяются вероятности.

[warlock66613]

epros в сообщении #1291791 писал(а):

Надо заметить, что "правильное" в этом смысле "разбиение" на макросостояния предполагает, что в равновесное состояние войдут все возможные микросостояния.

Нет, не все. Я сейчас как раз пишу (ещё не дописал) пример для температуры идеального газа, и там это очевидно.

-- 11.02.2018, 15:11 --

Покажу, как получается обычная температура идеального газа по описанной выше схеме. На газ наложены макроусловия: фиксированы энергия $E = U$ и пространственная область $V$, в которой должны находиться молекулы (а полный импульс и полный момент импульса считаются, как обычно, равными нулю, и центр тяжести расположен в начале координат). Макросостояния будем характеризовать одночастичной функцией распределения $f(\mathbf p, \mathbf r)$. Очевидно, что максимальное число микросостояний будет у макросостояния $f(\mathbf p, \mathbf r) = f_V(\mathbf r) f(\mathbf p)$, где $f_V$ — равномерное распределение по области $V$, а $f(\mathbf p)$ — распределение Максвелла:

$$f(\mathbf p) = \left( \frac {3N} {4 \pi m U} \right) ^{3/2} \exp \left( - \frac {3N} {4mU} \mathbf p^2 \right).$$

Энтропия такого макросостояния равна сумме вкладов $f_V$ и $f(\mathbf p)$. Вклад $f(V)$ равен $k \ln (N! \frac {|V|} N)$, где $|V|$ — объём $V$, что (поскольку число молекул $N$ — константа, а энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной) эквивалентно просто $k \ln \left| V \right|$. Вклад $f(\mathbf p)$ оказывается равен $\frac 3 2 k N \ln U.$ То есть энтропия

$$S=k \ln |V| + \frac 3 2 k N \ln U.$$

Отсюда

$$\frac 1 T = \frac {\partial S} {\partial U} = \frac 3 2 k N \frac 1 U,$$

и температура определяется известной формулой

$$U = \frac 3 2 N k T.$$

Так что равновесное состояние идеального газа — это не "любое микросостояние", а только такое, при котором одночастичное распределение соответствует распределению Максвелла — Больцмана. Многие микросостояния таковыми не являются, например состояние когда все молекулы собраны в две маленьких кучки в противоположных концах сосуда, и состояние когда половина молекул движется с одной и той же скоростью влево, а другая половина — вправо.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291721 писал(а):

Если «правильно» разбить фазовое пространство системы на макросостояния — то будет та. Если «неправильно» — не та.

Почему вы считаете, что такое разбиение вообще возможно? Отображение-то вероятностное.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291799 писал(а):

Почему вы считаете, что такое разбиение вообще возможно?

Ну вот выше я его проделал для идеального газа.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291800 писал(а):

Ну вот выше я его проделал для идеального газа.

Да? Я вот только немного не понимаю. Сначала вы пишете, что при помощи одночастицного распределения характеризуете макросостояние, а под конец - что микросостояние. Вы не могли бы прояснить этот вопрос, каким именно образом одночастичная функция распределения характеризует определённое микросостояние?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291808 писал(а):

Вы не могли бы прояснить этот вопрос, каким именно образом одночастичная функция распределения характеризует определённое микросостояние?

Так, что она является функцией микросостояния.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291810 писал(а):

Так, что она является функцией микросостояния.

Да? А что такое $\mathbf p$?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291815 писал(а):

А что такое $\mathbf p$?

$\mathbf p$ — это импульс молекулы. Микросостояние — это вектор $(\mathbf r_1, \ldots, \mathbf r_N, \mathbf p_1, \ldots, \mathbf p_N)$. Макросостояние — это функция распределения

\begin{equation*}\begin{split}f: \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R \\ (\mathbf r, \mathbf p) \mapsto f(\mathbf r, \mathbf p)\end{split}\end{equation*}

Макросостояние является функцией микросостояния:

\begin{equation*}\begin{split}\text{Macro}: \mathbb R^{2N} \to C(\mathbb R \times \mathbb R) \\ (\mathbf r_1, \ldots, \mathbf r_N, \mathbf p_1, \ldots, \mathbf p_N) \mapsto f\end{split}\end{equation*}

Так понятно?