2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 11:16 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Ярдена хочет разбить множество всех натуральных чисел, больших 1, на два класса - хорошие и плохие - так, чтобы произведение любых двух хороших чисел было плохим, а произведение любых двух плохих чисел было хорошим. Сможет ли она это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А чего единичку выкинули? Не поможет, Ядрёна Матрёна.
Рассмотрим $2,4,8,16,32.$ :-(
Или имеется в виду произведение попарно различных? То есть произведение хорошего и плохого, а так же квадратов неопределено?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Произведение хорошего и плохого в любом случае неопределено. А условие можно немного пошевелить, например, добавить, как Вы сказали, условие попарной различности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:22 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Все равно не сможет.
Условно обозначим как $g$ хорошее число и как $b$ плохое число. Покажем, что произведение $gb$ не может быть ни плохим, ни хорошим.

Пусть оно плохое, т. е. $gb = b$. Умножим все справа на $b$. В левой части получим $gbb = gg = b$, а в правой $bb = g.$ Противоречие.

Случай $gb = g$ симметричен.

P. S. Таким образом, очередная попытка по-нашему, по-юношески разделить все на хорошее и плохое обломилась на противоречии :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я бы предложил просто разделить всё на хороших и плохих без всяких условий. Потому что выкидывание квадратов тоже не помогает. Ну можно побольше прогрессию взять. Всё равно придём к противоречию. Собственно, прогрессия это же та же самая попытка разбиения, только с условием сложения. А чем больше число, тем у него больше представлений в виде суммы. Мне кажется, есть и более простое решение вместо приведения к противоречию всех возможных предположений и "хорошести" необходимого числа первых членов.

-- Пт фев 02, 2018 18:45:04 --

SomePupil, а никто и не требует, чтобы произведение хорошего с плохим было постоянного качества. Иногда оно хорошее, а иногда плохое.
Ага. Я не прав. Впрочем, прав в том, что более простое решение отыщется :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:55 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Не получится у Ядрены ничего.

Достаточно рассмотреть варианты расположения чисел $2, 3, 4$ между множествами хороших/плохих и вытекающие расположения их произведений и произведений произведений..., далеко копать не надо, чтобы для каждого варианта прийти к противоречию, что одно и то же число должно быть и хорошим и плохим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8335
Цюрих
gris в сообщении #1289517 писал(а):
SomePupil, а никто и не требует, чтобы произведение хорошего с плохим было постоянного качества.
Так этого в рассуждениях SomePupil и не требуется. Рассмотрим любую конкретную пару из хорошего и плохого числа $g$ и $b$, и докажем, что $gb$ не является хорошим (т.к. $g \cdot gb$ хорошее), ни плохим (т.к. $gb \cdot b$ плохое).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group