2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 11:16 
Аватара пользователя
Ярдена хочет разбить множество всех натуральных чисел, больших 1, на два класса - хорошие и плохие - так, чтобы произведение любых двух хороших чисел было плохим, а произведение любых двух плохих чисел было хорошим. Сможет ли она это сделать?

 
 
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 12:24 
Аватара пользователя
А чего единичку выкинули? Не поможет, Ядрёна Матрёна.
Рассмотрим $2,4,8,16,32.$ :-(
Или имеется в виду произведение попарно различных? То есть произведение хорошего и плохого, а так же квадратов неопределено?

 
 
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:02 
Аватара пользователя
gris
Произведение хорошего и плохого в любом случае неопределено. А условие можно немного пошевелить, например, добавить, как Вы сказали, условие попарной различности.

 
 
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:22 
Аватара пользователя
Все равно не сможет.
Условно обозначим как $g$ хорошее число и как $b$ плохое число. Покажем, что произведение $gb$ не может быть ни плохим, ни хорошим.

Пусть оно плохое, т. е. $gb = b$. Умножим все справа на $b$. В левой части получим $gbb = gg = b$, а в правой $bb = g.$ Противоречие.

Случай $gb = g$ симметричен.

P. S. Таким образом, очередная попытка по-нашему, по-юношески разделить все на хорошее и плохое обломилась на противоречии :)

 
 
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:38 
Аватара пользователя
Я бы предложил просто разделить всё на хороших и плохих без всяких условий. Потому что выкидывание квадратов тоже не помогает. Ну можно побольше прогрессию взять. Всё равно придём к противоречию. Собственно, прогрессия это же та же самая попытка разбиения, только с условием сложения. А чем больше число, тем у него больше представлений в виде суммы. Мне кажется, есть и более простое решение вместо приведения к противоречию всех возможных предположений и "хорошести" необходимого числа первых членов.

-- Пт фев 02, 2018 18:45:04 --

SomePupil, а никто и не требует, чтобы произведение хорошего с плохим было постоянного качества. Иногда оно хорошее, а иногда плохое.
Ага. Я не прав. Впрочем, прав в том, что более простое решение отыщется :-)

 
 
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:55 
Аватара пользователя
Не получится у Ядрены ничего.

Достаточно рассмотреть варианты расположения чисел $2, 3, 4$ между множествами хороших/плохих и вытекающие расположения их произведений и произведений произведений..., далеко копать не надо, чтобы для каждого варианта прийти к противоречию, что одно и то же число должно быть и хорошим и плохим.

 
 
 
 Re: Хорошие числа, плохие числа
Сообщение02.02.2018, 18:59 
Аватара пользователя
gris в сообщении #1289517 писал(а):
SomePupil, а никто и не требует, чтобы произведение хорошего с плохим было постоянного качества.
Так этого в рассуждениях SomePupil и не требуется. Рассмотрим любую конкретную пару из хорошего и плохого числа $g$ и $b$, и докажем, что $gb$ не является хорошим (т.к. $g \cdot gb$ хорошее), ни плохим (т.к. $gb \cdot b$ плохое).

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group