Хорошие числа, плохие числа

[Ktina]

Ярдена хочет разбить множество всех натуральных чисел, больших 1, на два класса - хорошие и плохие - так, чтобы произведение любых двух хороших чисел было плохим, а произведение любых двух плохих чисел было хорошим. Сможет ли она это сделать?

[gris]

А чего единичку выкинули? Не поможет, Ядрёна Матрёна.
Рассмотрим $2,4,8,16,32.$
Или имеется в виду произведение попарно различных? То есть произведение хорошего и плохого, а так же квадратов неопределено?

[Ktina]

gris
Произведение хорошего и плохого в любом случае неопределено. А условие можно немного пошевелить, например, добавить, как Вы сказали, условие попарной различности.

[SomePupil]

Все равно не сможет.
Условно обозначим как $g$ хорошее число и как $b$ плохое число. Покажем, что произведение $gb$ не может быть ни плохим, ни хорошим.

Пусть оно плохое, т. е. $gb = b$. Умножим все справа на $b$. В левой части получим $gbb = gg = b$, а в правой $bb = g.$ Противоречие.

Случай $gb = g$ симметричен.

P. S. Таким образом, очередная попытка по-нашему, по-юношески разделить все на хорошее и плохое обломилась на противоречии :)

[gris]

Я бы предложил просто разделить всё на хороших и плохих без всяких условий. Потому что выкидывание квадратов тоже не помогает. Ну можно побольше прогрессию взять. Всё равно придём к противоречию. Собственно, прогрессия это же та же самая попытка разбиения, только с условием сложения. А чем больше число, тем у него больше представлений в виде суммы. Мне кажется, есть и более простое решение вместо приведения к противоречию всех возможных предположений и "хорошести" необходимого числа первых членов.

-- Пт фев 02, 2018 18:45:04 --

SomePupil, а никто и не требует, чтобы произведение хорошего с плохим было постоянного качества. Иногда оно хорошее, а иногда плохое.
Ага. Я не прав. Впрочем, прав в том, что более простое решение отыщется

[photon]

Не получится у Ядрены ничего.

Достаточно рассмотреть варианты расположения чисел $2, 3, 4$ между множествами хороших/плохих и вытекающие расположения их произведений и произведений произведений..., далеко копать не надо, чтобы для каждого варианта прийти к противоречию, что одно и то же число должно быть и хорошим и плохим.

[mihaild]

gris в сообщении #1289517 писал(а):

SomePupil, а никто и не требует, чтобы произведение хорошего с плохим было постоянного качества.

Так этого в рассуждениях SomePupil и не требуется. Рассмотрим любую конкретную пару из хорошего и плохого числа $g$ и $b$, и докажем, что $gb$ не является хорошим (т.к. $g \cdot gb$ хорошее), ни плохим (т.к. $gb \cdot b$ плохое).