Лиса, Утка и озеро.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289436 писал(а):

Троллите?

Нет. Искренне не понимаю Вашу стратегию. Вернее, я понимаю так, что у Вас есть стратегия только для одного расклада, в который я попасть не собираюсь. Поэтому считаю, что Вы тоже не предложили стратегию. Впрочем, извините, если что-то пошло не так.

Dmitriy40 в сообщении #1289436 писал(а):

Стратегия утки: выплывает за пределы квадрата строго на север (в плюс по оси $OY$)

Простите, я пока не готов дать короткое простое описание на все случаи жизни. Вы предложили конкретное движение утки, я на него ответил. И сказал же, что всё зависит от точки выхода из квадрата.

-- 02.02.2018, 14:28 --

Geen в сообщении #1289432 писал(а):

поэтому и предлагал "сыграть" - давно бы всё выяснили

В общем, присоединяюсь к этому предложению. Иначе мы только ссориться будем :)

[worm2]

wrest в сообщении #1289422 писал(а):

Второй вопрос: вы полагаете, что фигура принятия решения Лисой - окружность с радиусом $x$ по вышеприведенной формуле
$x=\frac{2a\sqrt{a^2-1}}{a^3+(a-1)\sqrt{a^2-1}}$
и центром окружности в центре квадрата, я правильно понимаю? То есть: пока Утка внутри этой окружности, ваша Лиса двигается к ближайшей к Лисе середине стороны или стоит на месте если она уже в середине одной из сторон квадрата?

Для квадрата не пользуюсь окружностями. Не знаю, какой будет фигура принятия решения. По сути, я утверждаю лишь, что точка $(0, x)$ лежит на её границе (лучше было бы вместо $x$ взять $y$, потому что это ордината). Стратегия Лисы: некоторое время стоять в центре южной стороны и наблюдать, как Утка удаляется от неё строго на север по центру (предположим, что она так и делает); в момент, когда Утка достигает $(0, x)$ — стартовать с максимальной скоростью, скажем, вправо, против часовой стрелки. В этот же момент Утка отворачивает в противоположном направлении (влево) на угол либо $\arcsin(1/a)$, либо $\arcsin(1/a)+\pi/2$ (т.е. плывёт под углом $\arccos(1/a)$ к северному либо западному берегу). Далее животные придерживаются своих стратегий до конца, причём в момент достижения Уткой берега расстояние между ними одинаковое вне зависимости от того, к какому берегу решила пристать Утка и равно (тут была ошибка, исправил):

$$6-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-1}}+\frac 1 a - x.$$

Что будет, если Утка отклоняется от описанной мной здесь стратегии? Почти уверен, что Лиса сможет улучшить свой результат. Но конкретных расчётов, когда Лисе следует стартовать (очевидно, немного пораньше, чем Утка достигнет ординаты $x$), я не проводил.
Ну и в чём я мало уверен — так это в глобальной оптимальности середины стороны как стартовой точки для Лисы. Может оказаться, что где-то в другой точке она может достичь большего (но не в угле).

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1289436 писал(а):

Насколько при этом утка может приблизиться к берегу - надо считать, пока готового ответа не имею.

Что же, посчитал для одного случая: сетка 2000х2000, шаг утки 5, шаг лисы 29, $k=5{,}8$. Утка из координат $(935; 935)$ делает шаг в координаты $(935; 940)$, лиса при этом будет считать осталась неподвижной в дальнем углу. Перед следующим шагом ближайшей точкой к утке становится точка $(935;1000)$, лиса делает шаг в $(-1000;-971)$, утка делает шаг вправо обратно на диагональ $(940;940)$. Предположим лиса умная и в угол не возвращается, а продолжает движение. Тогда она делает шаг в $(-1000;-942)$, утка же делает ещё шаг вправо в $(945;940)$ - и при этом ближайшей точкой к утке становится точка $(1000;940)$, до которой лисе ближе не продолжать движение, а развернуться. Т.е. на всём протяжении вплоть до точки $(940;940)$ утка может заставлять лису метаться в дальнем углу. А из этой точки утке останется лишь $60$ клеток или $12$ шагов до берега, лисе же практически полквадрата (почти $4000$ клеток или более сотни шагов).
Указанная стратегия лисы невыгодная!
grizzly, Ваши комментарии?

Напомню, речь идёт исключительно о стратегии лисы:

grizzly в сообщении #1289423 писал(а):

Хорошо, стратегия Лисы для начала такая: пока Утка находится в пределах того малого квадрата (что бы он не значил) Лиса сохраняет координату Утки по оси $OX$. Дальше зависит от того, где Утка вышла за квадрат. Если, как у Вас, по диагонали -- тогда бежит к ближайшей к Утке точке внешнего квадрата.

Утка начинает движение в плюс по оси $OY$, выходит за пределы квадрата безопасности, лиса стартует, утка поворачивает в противоположную сторону от лисы и добирается параллельно оси $OX$ до диагонали квадрата, при её пересечении ближайшая к утке точка берега резко скачет на другую сторону, лиса вынуждена развернуться (считайте! лиса лишь чуть-чуть забегает за угол когда утка достигает диагонали вблизи угла квадрата безопасности), после чего утка плывёт лесенкой вдоль диагонали почти до угла квадрата, оставляя лису метаться в дальнем углу.

grizzly в сообщении #1289441 писал(а):

Искренне не понимаю Вашу стратегию. Вернее, я понимаю так, что у Вас есть стратегия только для одного расклада, в который я попасть не собираюсь.

Проблема в том, что я тоже не собираюсь попадать уже в Ваш расклад. И привожу примеры движения утки для Ваших условий.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289455 писал(а):

Утка начинает движение в плюс по оси $OY$, выходит за пределы квадрата безопасности, лиса стартует

Либо Вы меня не слышите, либо у нас это взаимно.

Итак, Вы сделали свой ход. Ваша утка вышла за пределы квадрата и пошла на север. Не нужно делать за меня плохие ходы, я лучше сам их сделаю :)

Мой ход. Лиса остаётся ждать на месте, пока утка не доплывёт до точки (0; 0,2984). Затем стартует по периметру против часовой.

Ваш ход. (Либо укажите более раннюю точку поворота утки и сообщите, насколько далеко утка будет плыть, пока лиса остаётся на месте, точнее сохраняет координату по иксу. Обратите внимание -- мы не считаем квадрат настоящим "кругом безопасности", поэтому лиса может стоять дольше.)

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1289460 писал(а):

Либо Вы меня не слышите, либо у нас это взаимно.

Я просто не могу понять Вашу стратегию для лисы. Возможно Вы её просто не сформулировали до конца. Хорошо, давайте выясним её пошаговым методом ...

grizzly в сообщении #1289460 писал(а):

Мой ход. Лиса остаётся ждать на месте, пока утка не доплывёт до точки (0; 0,2984). Затем стартует по периметру против часовой.
Ваш ход.

ОК, утка делает ход влево. Лиса наверное снова вправо? Тогда утка назад вниз возвращаясь к координате $y=0{,}2984$ уже с ненулевым $x$. Лиса?

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1289455 писал(а):

после чего утка плывёт лесенкой вдоль диагонали почти до угла квадрата, оставляя лису метаться в дальнем углу.

утка загоняет лису в угол квадрата, а потом съедает .

Для определенности предлагаю такую расстановку:
1. Лиса занимает любую, какую хочет, позицию на берегу.
2. Утка занимает любою, какую хочет, позицию на "фигуре безопасности".
После чего начинается игра.
Как понимаю, это соответствует игре, в которую хочет играть grizzly.

3. При этом лиса может заставить плыть утку к точке берега, которая делит периметр пополам. В некоторых случаях до некоторого момента лисе это может оказаться выгодно (случай квадрата похоже такой), а может и нет (для круглого озера эта гипотеза оказалась ошибочной).

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289464 писал(а):

Лиса наверное снова вправо?

Да. И пока утка движется прямо на запад (ну или с небольшим наклоном, как описано в решении worm2), лиса продолжает свой бег.

-- 02.02.2018, 15:40 --

Dmitriy40 в сообщении #1289464 писал(а):

Возможно Вы её просто не сформулировали до конца.

Да, я сказал выше, что не готов сформулировать её на все случаи жизни. Только потому, что не знаю точного вида "круга безопасности". Поэтому и прошу пошагово.

-- 02.02.2018, 15:42 --

EUgeneUS
Весь вопрос только в том, как выглядит "круг фигура безопасности" для разного вида озера.

-- 02.02.2018, 15:51 --

Протормозил, сорри.

Dmitriy40 в сообщении #1289464 писал(а):

Тогда утка назад вниз возвращаясь к координате $y=0{,}2984$ уже с ненулевым $x$. Лиса?

Лиса продолжает двигаться вправо. (ненулевое $x$ положительное? -- для определённости)
И почему "вниз"? Разве был ход вверх?

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1289467 писал(а):

Лиса продолжает двигаться вправо. (ненулевое $x$ положительное? -- для определённости)
И почему "вниз"? Разве был ход вверх?

Был, север у нас сверху в координатах $(0;1)$. Было следующее: движение утки из $(0;0)$ в $(0;0{,}2984)$ при стоящей лисе в $(0;-1)$, потом утка делает ещё шаг в скажем $(0;0{,}2985)$, лиса же делает шаг в $(0{,}00057;-1)$ (вправо как Вы пожелали), потом утка влево в $(-0{,}0001;0{,}2985)$, лиса в $(0{,}00114;-1)$, утка вниз в $(-0{,}0001;0{,}2984)$, лиса говорите снова вправо в $(0{,}00171;-1)$. ОК, теперь утка делает ещё шаг вниз в $(-0{,}0001;0{,}2983)$, т.е. попадает внутрь вашего квадрата принятия решения лисой (хотя это было уже и на предыдущем шаге). Лиса?

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289472 писал(а):

Лиса?

Продолжает бег вправо.

Dmitriy40 в сообщении #1289472 писал(а):

попадает внутрь вашего квадрата принятия решения лисой

Я не знаю форму этой фигуры, но это не квадрат. Вы же не станете отрицать, что форма этой фигуры зависит от положения лисы? У нас ведь не круглое озеро, в котором любое положение лисы было симметричным.

[Dmitriy40]

Да, если лиса двигается в точку $x$ (или $y$ смотря на какой стороне находится) утки при нахождении утки внутри квадрата $\pm 0{,}2984$ (по обеим координатам) (или ромба $(0;1)-(-1;0)-(0;-1)-(1;0)$) и бежит в ближайшую к утке точку берега в ином случае, то за утку надо подумать, так сразу траектории не очевидны.
Ой, я там чуть ошибся с цифрами координат лисы, взял по привычке $k=5{,}9$ вместо $k=5{,}7$, сейчас поправлю, впрочем это пока не принципиально.

-- 02.02.2018, 16:15 --

grizzly в сообщении #1289473 писал(а):

Продолжает бег вправо.

grizzly в сообщении #1289473 писал(а):

Я не знаю форму этой фигуры, но это не квадрат.

А если утка продолжит движение вниз с постоянным $x$ - когда лиса сменит направление движения и сменит ли? Когда забежит за угол на другую сторону квадрата и снова вернётся к стратегии поддержания равенства координат?

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289475 писал(а):

Когда забежит за угол на другую сторону квадрата и снова вернётся к стратегии поддержания равенства координат?

Да. Я даже не считал, настолько уверен, что она успевает.

[Dmitriy40]

Смотрите, если утке разрешить плыть по диагонали, то пока лиса бежит до угла (расстояние $=1$) утка успевает доплыть по диагонали из $(0;0{,}2984)$ в $(-0{,}1743;0{,}1743)$ - практически угол квадрата безопасности. Так что если лиса не сменит стратегию за это время - мы вернёмся к известному начальному состоянию и утка у меня поплывёт горизонтально в точку $(-1;0{,}1743)$. И успеет туда заметно раньше лисы (предположим лиса продолжит бег против часовой стрелки, если развернётся - утка тоже развернётся и поплывёт на север/вверх; если же лиса будет продолжать крутиться в углу - ей же хуже! утка по диагонали квадрата тогда уплывёт ого-го куда). Правда это лишь для $k=5{,}7$, с этим засада, да. Буду думать.
Т.е. задача свелась к задаче загона лисы в угол одновременно с достижением уткой угла квадрата безопасности, т.е. внутренней задаче, для $k>5{,}7$ (или сколько там товарищи выше насчитали).

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289482 писал(а):

Правда это лишь для $k=5{,}7$

С нашего лагеря вроде последнее на что согласились в торгах было 5.786:

worm2 в сообщении #1289409 писал(а):

критическое соотношение скоростей ~5.786;

И тогда Лиса успевает забежать дальше за угол.

-- 02.02.2018, 16:44 --

Да, уточню ещё:

калькулятор писал(а):

$5.7\sqrt{(0.2984-0.1743)^2+0.1743^2}\approx 1.22$.

[wrest]

grizzly
Вы меня извините что я вам не ответил по ходам, я просто вижу что не надо вам на два фронта...

Хотел бы уточнить возникшие разногласия между лагерями.

1. Лагерь Dmitriy40
1) считают что фигура безопасности для квадратного озера -- квадрат со стороной $1/k$, со сторонами параллельными берегу
2) для квадратного озера оценивают наименьшую скорость выигрыша Лисы как 5,901
3) считают что если Лиса хочет есть, то Утка может сделать так, что Лиса окажется тогда, когда Утка окажется в противоположном углу квадрата безопасности (или очень близко к этому).
4) правильной стратегией Утки считают что после выхода в угол (а это возможно в силу вышесказанного) ей надо плыть как на рисунке в сообщении post1289278.html#p1289278 (т.е. ели Лиса внизу-справа, Утка плывет точно влево).
2. Лагерь worm2
1) не считают квадрат фигурой безопасности, но какова она пока не знают. по крайней мере -- зависит от положения Лисы в случае если озеро не круглое.
2) для квадратного озера оценивают минимальную скорость выигрыша лисы в 5,786 (радикальное крыло лагеря заявляет 5,1)
3) считают что при правильной стратегии Лисы начальное положение когда Лиса в углу а Утка в противоположном углу квадрата безопасности -- невозможно, Лисы этого не допускает. считают правильной стратегией Лисы сидеть в середине стороны и ждать когда Утка выплывет на расстояние 0,2984 от центра квадрата (по линии Лиса-центр квадрата) , затем бежать без остановки.
4) насчет правильно стратегии Утки не уверены, т.к. нет ясности с фигурой безопасности (первой фазой), но на второй фазе согласны, что плыть надо на арккосинус.

Пока принципиальный пункт -- это пункт 3) (сможет ли Утка загнать Лису в угол и при этом очутиться в углу квадрата безопасности).

[grizzly]

wrest в сообщении #1289495 писал(а):

Вы меня извините что я вам не ответил по ходам

Наоборот спасибо, я и так успевал запутываться.

wrest в сообщении #1289495 писал(а):

4) насчет правильно стратегии Утки не уверены

Ну, с нашей стороны как бы за утку никто особо не впрягался

-- 02.02.2018, 17:11 --

wrest в сообщении #1289495 писал(а):

Пока принципиальный пункт -- это пункт 3) (сможет ли Утка загнать Лису в угол и при очутиться в углу квадрата безопасности).

С этим и с остальным -- согласен.