Аппроксимация кривой остывания

[Александрович]

Проведено следующее исследование. Резистор подключался к источнику питания и нагревался до установившейся температуры. Затем питание снималось и через каждые 20 секунд записывалось значения температуры его корпуса по показаниям термопары. Результат показан на графике в виде кривой "экспериментальные точки", всего 22 точки. Далее по МНК делалось приближение функцией вида: $T(t)=\Delta T \exp(-t/\tau)+T_0$, где $T(t)$ - значение температуры в момент времени $t$; $\Delta T$ - начальное превышение температуры корпуса над температурой окружающей среды $T_0$; $\tau$ - постоянная времени нагревания.
Аппроксимация даёт следующие значения параметров:
- по всем точкам (красная кривая 0-420 на графике): $T_0=27,4 C; \Delta T=49,2 C; \tau=84,1 s; $
- по начальной половине точек (зелёная кривая 0-200 на графике): $T_0=29,4 C; \Delta T=47,8 C; \tau=75,4 s; $
- по конечной половине точек (синяя кривая 220-400 на графике): $T_0=25,4 C; \Delta T=29,3 C; \tau=138,3 s. $
Смущает различие в постоянных нагревания для зелёной и синей кривой, почти в два раза. Формула для постоянной нагревания имеет вид: $\tau=\frac{Gc}{S\lambda}$, где:
$G$ - масса тела, c$ - его удельная теплоёмкость, S$ - площадь поверхности тела, \lambda - коэффициент теплоотдачи с поверхности. Ни один из параметров не зависит от температуры тела. Может быть в процессе остывания уменьшается температура окружающей среды $T_0$? Но как это учесть?

[Dmitriy40]

Александрович в сообщении #1288721 писал(а):

Смущает различие в постоянных нагревания для зелёной и синей кривой, почти в два раза.

Есть предположение что причина в конечной и недостаточной точности измерения температуры - уверен, "чуть пошевелив" по вертикали правые точки можно загнать синий график слева почти куда угодно и соответственно и постоянная $\tau$ будет отличаться во много раз.
Либо недоучёт ещё каких-то процессов остывания, например нелинейность теплопотерь от температуры (ну уж не знаю, может при высокой температуре заметная тяга создаётся, стационарный поток воздуха, он и сдувает больше тепла чем задано $\lambda$).
По графику кстати видно что красная линия почти везде (и слева, и в центре, и справа) не так уж и хорошо согласуется с данными (на глаз вижу ошибку порядка градуса), что тоже может намекать на бОльшую сложность процесса чем простая экспонента. Либо такие погрешности.

[Pphantom]

А еще можно задаться вопросом, откуда взялась модель

Александрович в сообщении #1288721 писал(а):

$T(t)=\Delta T \exp(-t/\tau)+T_0$,

и какие предположения были сделаны при ее получении.

[EUgeneUS]

Конвекция?

[SVD-d]

Я так понимаю, это выражение бралось из расчёта, что резистор остывает только за счёт конвективного теплообмена, когда
$Q = a S (T_{res} - T_{ait})$, где S - площадь, T - температуры резистора и воздуха соответственно, a - какая-то константа.
При условии что температура воздуха постоянна и одинакова повсюду вокруг резистора, мы действительно получим для изменения дифференциальное уравнение первого порядка, решая которое придём к экспоненте.
Но если у вас нет потока воздуха, то температура его $T_{air}$ тоже есть функция от времени. Естественно, чем дальше, тем больше он нагревается, благо теплоёмкость его известна (Сколько там? 1-2 килоджоуля на кубометр-кельвин? не знаю). Учитываем это - и у нас уже сумма двух экспонент, характерное время одной - остывание резистора, характерное время другой - нагревание воздуха.
Можно ещё прибавить излучение, которое пропорционально четвёртой степени температуры. Это будет третья экспонента, хотя уже и не такая значительная, как первые две.

[realeugene]

SVD-d в сообщении #1288786 писал(а):

Я так понимаю, это выражение бралось из расчёта, что резистор остывает только за счёт конвективного теплообмена

Не только это предположение. Хорошо бы, чтобы ТС подробно выписал все сделанные предположения, которые он сможет придумать.

-- 31.01.2018, 12:17 --

SVD-d в сообщении #1288786 писал(а):

Естественно, чем дальше, тем больше он нагревается

Нет, не в данной задаче.

[worm2]

Я опоздал, SVD-d уже всё написал: берите сумму нескольких экспонент.

Могу только добавить, что резистор — тоже не точечный объект, и температура внутри него не является константой. Самый точный метод устранения этой неприятности — решение уравнения теплопроводности, желательно трёхмерного, с учётом геометрии резистора. Но удовольствие это ниже среднего
Возможно, решение будет неплохо аппроксимироваться с помощью функций Бесселя (в модели бесконечного цилиндрического резистора). Но это тоже тот ещё геморрой, математическую библиотеку искать надо, и всё такое прочее.

[Александрович]

Pphantom в сообщении #1288761 писал(а):

А еще можно задаться вопросом, откуда взялась модель

Александрович в сообщении #1288721 писал(а):

$T(t)=\Delta T \exp(-t/\tau)+T_0$,

Это решение уравнения Ньютона-Рихтера.

Pphantom в сообщении #1288761 писал(а):

и какие предположения были сделаны при ее получении.

Равномерное рассеяние тепла со всей поверхности и бесконечно большая теплопроводность.

-- Ср янв 31, 2018 18:57:19 --

SVD-d в сообщении #1288786 писал(а):

Я так понимаю, это выражение бралось из расчёта, что резистор остывает только за счёт конвективного теплообмена

И за счёт излучения тоже.

[Dmitriy40]

По графику я бы сказал что выше примерно 35°С преобладает один процесс (экпонента с одной постоянной времени), а ниже - другой (и с другой постоянной). Вот график и перегибается. Так что идея суммы двух и более разных экспонент мне нравится. Что именно за процессы - не уверен.
Ну или где-то в это время температура среды плавно (не быстрее минуты) упала градусов на 5.

[Александрович]

Dmitriy40 в сообщении #1288854 писал(а):

Ну или где-то в это время температура среды плавно (не быстрее минуты) упала градусов на 5.

Похоже что кто-то открыл окно.

[Pphantom]

Александрович в сообщении #1288850 писал(а):

Это решение уравнения Ньютона-Рихтера.

Может, Рихмана?

А так, да, похоже, что коэффициент теплопроводности меняется (скорее всего, из-за смены механизма).

[Александрович]

Pphantom в сообщении #1288977 писал(а):

Может, Рихмана?

Да, конечно, оговорился.

[Александрович]

Воздух вокруг резистора нагревается за счет своей теплопроводности?

[SVD-d]

Dmitriy40 в сообщении #1288854 писал(а):

По графику я бы сказал что выше примерно 35°С преобладает один процесс (экпонента с одной постоянной времени), а ниже - другой (и с другой постоянной).

Кстати, да, вполне можно разделить на несколько процессов.

Есть забавный способ разделения процесса на составные экспоненциальные.
Если мы для имеющегося набора данных построим график зависимости производной сигнала по логарифму времени, то мы получим кривую с одним или несколькими пиками. Количество пиков соответствует количеству процессов, вершина пика - по оси X характеристическое время, по оси Y - предэкспоненциальный множитель.

Хотя, для двадцати точек, конечно, точность будет такая себе...

[realeugene]

SVD-d в сообщении #1289170 писал(а):

Кстати, да, вполне можно разделить на несколько процессов.

Это очень смелая идея для такого небольшого количества точек с неизвестными погрешностями.