Абсолютно простые числа

[maxal]

juna в сообщении #30082 писал(а):

Возможно книга довольно древняя и вопрос этот уже давно решен в математике.

Не, никаких особых продвижений в этом вопросе нет.
См.:
A003459
http://primes.utm.edu/glossary/page.php ... tablePrime
http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/ ... Primes.pdf

[juna]

Насколько помню, рассуждение Руста я считал доказательством. В чем Вы видите проблемы в его рассуждении? Кроме веры на слово в это утверждение:

Цитата:

Допустим, число цифр не меньше 7. Тогда рассматривая окончания из пяти цифр получаем, что если каждой цифры не меньше одного получаем, что одно из чисел делится на 7. Поэтому, абсолютно простое число имеющее n>4 цифр или состоит из одних единиц или одну цифру а, остальные b.

я проблем не вижу.

[maxal]

juna
Никаких проблем нет. Рассуждения Рустема верные, и подтверждаются теоремой по второй из указанных выше ссылок.
Однако, никто пока не сумел как-то использовать этот факт для доказательства того, что количество абсолютно простых чисел конечно, - это по-прежнему открытая проблема. И процитированная вами фраза Серпинского "Мы не знаем других таких чисел и не знаем, конечно ли их число." по-прежнему актуальна.

[maxal]

Обсуждение глагола "суть" вынесено в отдельную тему: topic37941.html

[MetaMorphy]

Кстати, о числах, состоящих в десятичной (скажем) записи из одних только единиц - известен ли какой-нибудь специальный алгоритм выяснения их "простоты", наподобие теста Люка-Лемера для чисел Мерсенна? Или ничего не остаётся, кроме как "скармливать" такие числа гораздо менее эффективной процедуре выяснения "простоты" произвольного числа?

[gangstervano]

Появились ли какие-то подвижки в этой проблеме?

[maxal]

MetaMorphy в сообщении #371267 писал(а):

Кстати, о числах, состоящих в десятичной (скажем) записи из одних только единиц - известен ли какой-нибудь специальный алгоритм выяснения их "простоты", наподобие теста Люка-Лемера для чисел Мерсенна? Или ничего не остаётся, кроме как "скармливать" такие числа гораздо менее эффективной процедуре выяснения "простоты" произвольного числа?

Вот здесь предлагается быстрый тест, который однако строго обоснован только в одну сторону:
https://math.stackexchange.com/question ... nit-number

[MetaMorphy]

Надо же, я уже и забыл, что спрашивал здесь об этом))) Есть повод "пораскинуть мозгами". Спасибо!

[kotenok gav]

Прочел доказательство, понравилось, одно непонятно - почему $5^{\frac{N-1}2} \equiv 1 \pmod N$?

[maxal]

kotenok gav в сообщении #1288024 писал(а):

Прочел доказательство, понравилось, одно непонятно - почему $5^{\frac{N-1}2} \equiv 1 \pmod N$?

Потому в виду простоты $N$ имеем $5^{\frac{N-1}2} \equiv \left(\frac{5}{N}\right) \pmod N$ в то время, как $N\equiv 1\pmod{5}$ и по квадратичному закону взаимности $\left(\frac{5}{N}\right)=\left(\frac{N}{5}\right)=1$.

[kotenok gav]

maxal в сообщении #1288088 писал(а):

квадратичному закону взаимности

Прочел доказательство Золотарева в Математическом просвещении, не понял две вещи (жирным или красным выделено что именно я не понял):

Цитата:

Рассмотрим многочлен:
$A(x_1,...,x_m)=\prod\limits_{1\le i <j \le m}(x_i-x_j)$.
Под действием четной подстановки многочлен A не изменяется, а под действием нечетной подстановки он изменяет знак.

Цитата:

[maxal]

kotenok gav в сообщении #1288174 писал(а):

Под действием четной подстановки многочлен A не изменяется, а под действием нечетной подстановки он изменяет знак.

Чётность перестановки определяется чётностью количества инверсий в ней, а каждая инверсия даёт смену знака соответствующей скобки в многочлене $A$.

[hurtsy]

Абсолютно простые числа, есть задача прекрасно иллюстрирующая математику, как вещь в себе. Решил загрузить Maple 17. Была надежда, что этих абсолютно простых чисел больше, чем чисел Кармайкла. До чисел длины 19 и 23 единички добрался ручным перебором. А потом, заметил что все больше и больше сбоев. Использовал представление этих чисел, спасибо модератору, $\frac{10^n-1}{9}$. За пару минут добрался до чисел длиной 4000 единичек. Если кому интересно нашлось всего пара чисел первое длиной 317 а второе 1031. Решил вернуться к близнецам если мне позволит свирепый hund, да ещё нужно ему зачет сдавать по современной теории доказательств за среднюю школу. С уважением,

[wrest]

hurtsy в сообщении #1344607 писал(а):

Если кому интересно нашлось всего пара чисел первое длиной 317 а второе 1031.

Следующее длиной 49081, это же написано в A003459

[Yadryara]

Справедливости ради, ещё как минимум три простых репьюнита известно. Наибольший — 270343. A004023.