2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 16:55 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Задача:
Внутри черного ящика находятся две легкие пружины с жесткостями $k$ и $2k$,связанные легкой нерастяжимой нитью, и легкий подвижный блок (рис. 4). В начальном состоянии, внешняя сила $F=6$ Н, приложенная к свободному концу нити, обеспечивает $x=1$ см деформацию нижней пружины. Какую минимальную работу должна совершить внешняя сила, чтобы сместить вниз свободный конец нити ещё на $x=1$см?
Изображение
В решении сказано, что если $y$ - смещение нижней или верхней пружины(можно доказать, что они деформируются одинаково), то нижний конец сместится на $3y$. Не понимаю, почему не на $2y$. Ведь если нижняя пружина растягивается на $y$, то веревка уходит вниз тоже на $y$ + блок спускается на $y$, итого $2y$. Откуда берется еще один $y$? Это первый вопрос. Второй вопрос касается вычисления работы силы. Почему нельзя вычислить работу силы через сумму изменений потенциальной энергии пружинок:
$$\[A = \frac{{k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{3}} \right)}^2}}}{2} + \frac{{2k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{k\Delta {x^2}}}{6}\]$$?
Ответ выходит в $7$ раз меньше, чем в решении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:09 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Rusit8800 в сообщении #1285418 писал(а):
веревка уходит вниз тоже на $y$ + блок спускается на $y$, итого $2y$. Откуда берется еще один $y$?

А вот, допустим, нижняя пружинка не растягивается, а верхняя растягивается на $y$. Насколько опустится конец веревки, не на $2y$ ли?

Rusit8800 в сообщении #1285418 писал(а):
Почему нельзя вычислить работу силы через сумму изменений потенциальной энергии пружинок

Можно, только нужно помнить, что изменение потенциальной энергии это $\dfrac{k(x_2^2-x_1^2)}{2}$, а не $\dfrac{k(x_2-x_1)^2}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:25 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DimaM в сообщении #1285467 писал(а):
Можно, только нужно помнить, что изменение потенциальной энергии это $\dfrac{k(x_2^2-x_1^2)}{2}$, а не $\dfrac{k(x_2-x_1)^2}{2}$.

Так у меня же
$$\[\frac{{k\Delta {x^2}}}{2} = \frac{{k{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{2}\]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:26 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Rusit8800 в сообщении #1285472 писал(а):
Так у меня же
Так я как раз об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:27 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DimaM в сообщении #1285467 писал(а):
Насколько опустится конец веревки, не на $2y$ ли?

По моему вообще на $y$.

-- 18.01.2018, 19:27 --

DimaM в сообщении #1285473 писал(а):
Так я как раз об этом.

Тогда так
$$\[A = \frac{{k{{\left( {x + \frac{x}{3}} \right)}^2}}}{2} + \frac{{2k{{\left( {x + \frac{x}{3}} \right)}^2}}}{2} - \frac{{k{x^2}}}{2} - \frac{{2k{x^2}}}{2}\]$$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:28 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Rusit8800 в сообщении #1285474 писал(а):
По моему вообще на $y$.
Подвижный блок же.
Блок опустился => левый кусок веревки в ящике укоротился, и правый тоже укоротился. Сколько наружу вылезет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:30 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DimaM в сообщении #1285475 писал(а):
Блок опустился => левый кусок веревки в ящике укоротился, и правый тоже укоротился. Сколько наружу вылезет?

По идее $2y$, но все равно не понятно, так как подвижность мне ни о чем не говорит. То есть мне кажется, что результат будет такой же, как и с неподвижным.

-- 18.01.2018, 19:34 --

Хотя возможно удвоение длины можно объяснить тем, что веревка имеет некоторую скорость относительно блока, а он, в свою очередь, имеет такую же скорость относительно внешней системы отсчета(например Земли). Тогда веревка имеет двойную скорость относительно Земли.

Но как интерпретировать эту же идею, только не на подвижный блок, а на подвижную веревку? Тогда пришлось бы рассматривать относительную скорость подвижной веревки относительно неподвижной, но тут нет неподвижных веревок, и поэтому интуитивно понять это не удается.

-- 18.01.2018, 19:39 --

То есть тройная скорость подвижной веревки относительно Земли получится из-за сложения скорости подвижного блока, неподвижной веревки относительно подвижного блока и подвижной веревки относительно неподвижной веревки. Это как большой эвакуатор(подвижный блок) движется относительно Земли, на нем малый эвакуатор(неподвижная веревка), а на малом эвакуаторе легковой автомобиль(подвижная веревка), и относительные скорости у этих машин одинаковы. Меня очень смущается здесь термин "неподвижная веревка", потому что в задаче нет неподвижных веревок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:41 


05/09/16
11468
Rusit8800 в сообщении #1285476 писал(а):
Тогда веревка имеет двойную скорость относительно Земли.

Так именно для этого рычаги, подвижные блоки и подобные конструкции применяют: проигрыш в расстоянии дает выигрыш в силе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 19:46 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
wrest в сообщении #1285480 писал(а):
Так именно для этого рычаги, подвижные блоки и подобные конструкции применяют: проигрыш в расстоянии дает выигрыш в силе.

А как быстро определять отношение скоростей блоков и веревки, например, здесь?

-- 18.01.2018, 19:53 --

Есть ли алгоритм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение18.01.2018, 20:21 


05/09/16
11468
Rusit8800 в сообщении #1285484 писал(а):
А как быстро определять отношение скоростей блоков и веревки,

Ну вот так и определять -- по соотношению перемещений.

Rusit8800 в сообщении #1285484 писал(а):
Есть ли алгоритм?

Думаю что должен быть, но точно не знаю.
Типа, посчитать количество подвижных веревок, количество неподвижных (закрепленных к стене) и из этого быстро получить кратность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение19.01.2018, 18:04 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
wrest в сообщении #1285490 писал(а):
Ну вот так и определять -- по соотношению перемещений.

wrest в сообщении #1285490 писал(а):
Думаю что должен быть, но точно не знаю.
Типа, посчитать количество подвижных веревок, количество неподвижных (закрепленных к стене) и из этого быстро получить кратность.

Это в общем то и есть мой алгоритм. Правда он не очень быстрый, и самое главное - не очевиден. По идее, такие умозрительные вещи должны сразу отчетливо представляться в голове.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение21.01.2018, 14:50 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Вот опять возникли проблемы с решением подобных задач. Во варианте олимпиады Савельева в задаче 3 мне кажется есть ошибка. Вот мое решение: перейдем в систему отсчета, связанную с левым блоком. В этой системе отсчета скорость левого блока равна $0$, а правого - $v$. Ясно, что скорость груза в этой веревки равна $2v$ в данной СО, поскольку веревка укорачивается со скоростью $v$ и передвигается вверх с правым блоком со скоростью $v$. Значит в канонической СО скорость груза равна $2v+v=3v$, а не $2v$, как в решении жюри. Мне кажется, что ошибка жюри заключается в словах "Тогда длина веревки слева от левого блока уменьшится", ведь там длина веревки не изменяется.
Все ли я верно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение21.01.2018, 15:03 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Rusit8800 в сообщении #1286111 писал(а):
Вот опять возникли проблемы с решением подобных задач. Во варианте олимпиады Савельева в задаче 3 мне кажется есть ошибка.
Ох... Rusit8800, извините, но Вам настолько часто это кажется (и настолько же часто выясняется, что кажется напрасно), что пора бы уже привыкнуть в подобных случаях искать ошибки у себя. :-)
Rusit8800 в сообщении #1286111 писал(а):
Ясно, что скорость груза в этой веревки равна $2v$ в данной СО, поскольку веревка укорачивается со скоростью $v$ и передвигается вверх с правым блоком со скоростью $v$.
Только Вы забыли учесть, что в такой СО есть дополнительное удлинение веревки со скоростью $v$ - за счет ее крайнего левого куска. В Вашем варианте решения левый блок превратился в место закрепления веревки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение21.01.2018, 15:05 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Pphantom в сообщении #1286114 писал(а):
В Вашем варианте решения левый блок превратился в место закрепления веревки.

А почему бы и нет? Почему веревка удлиняется слева от левого блока? Правый движется вверх быстрее левого, а левый препятствует изменению длины веревки, поскольку он движется медленене правого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с пружинами
Сообщение21.01.2018, 15:07 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
P.S. Хотя, честно говоря, авторское решение мне тоже не кажется эффективным (хотя оно, естественно, правильное). Куда проще сказать, что груз будет подниматься со скоростью, с которой увеличивается длина куска веревки между левым блоком и точкой, находящейся на той же высоте, что и левый блок (поскольку на этом участке веревка тройная, то два куска из трех "лишние"). Ну а эта длина увеличивается, очевидно, с удвоенной скоростью движения правого блока относительно левого.

-- 21.01.2018, 15:08 --

Rusit8800 в сообщении #1286115 писал(а):
А почему бы и нет?
Потому что это не соответствует условию задачи. Блок, через который перекинута веревка, и место, где веревка прибита гвоздиком - несколько разные вещи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group