Задача с пружинами

[Rusit8800]

Задача:
Внутри черного ящика находятся две легкие пружины с жесткостями $k$ и $2k$,связанные легкой нерастяжимой нитью, и легкий подвижный блок (рис. 4). В начальном состоянии, внешняя сила $F=6$ Н, приложенная к свободному концу нити, обеспечивает $x=1$ см деформацию нижней пружины. Какую минимальную работу должна совершить внешняя сила, чтобы сместить вниз свободный конец нити ещё на $x=1$см?

В решении сказано, что если $y$ - смещение нижней или верхней пружины(можно доказать, что они деформируются одинаково), то нижний конец сместится на $3y$. Не понимаю, почему не на $2y$. Ведь если нижняя пружина растягивается на $y$, то веревка уходит вниз тоже на $y$ + блок спускается на $y$, итого $2y$. Откуда берется еще один $y$? Это первый вопрос. Второй вопрос касается вычисления работы силы. Почему нельзя вычислить работу силы через сумму изменений потенциальной энергии пружинок:

$$\[A = \frac{{k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{3}} \right)}^2}}}{2} + \frac{{2k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{k\Delta {x^2}}}{6}\]$$

?
Ответ выходит в $7$ раз меньше, чем в решении.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1285418 писал(а):

веревка уходит вниз тоже на $y$ + блок спускается на $y$, итого $2y$. Откуда берется еще один $y$?

А вот, допустим, нижняя пружинка не растягивается, а верхняя растягивается на $y$. Насколько опустится конец веревки, не на $2y$ ли?

Rusit8800 в сообщении #1285418 писал(а):

Почему нельзя вычислить работу силы через сумму изменений потенциальной энергии пружинок

Можно, только нужно помнить, что изменение потенциальной энергии это $\dfrac{k(x_2^2-x_1^2)}{2}$, а не $\dfrac{k(x_2-x_1)^2}{2}$.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1285467 писал(а):

Можно, только нужно помнить, что изменение потенциальной энергии это $\dfrac{k(x_2^2-x_1^2)}{2}$, а не $\dfrac{k(x_2-x_1)^2}{2}$.

Так у меня же

$$\[\frac{{k\Delta {x^2}}}{2} = \frac{{k{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{2}\]$$

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1285472 писал(а):

Так у меня же

Так я как раз об этом.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1285467 писал(а):

Насколько опустится конец веревки, не на $2y$ ли?

По моему вообще на $y$.

-- 18.01.2018, 19:27 --

DimaM в сообщении #1285473 писал(а):

Так я как раз об этом.

Тогда так

$$\[A = \frac{{k{{\left( {x + \frac{x}{3}} \right)}^2}}}{2} + \frac{{2k{{\left( {x + \frac{x}{3}} \right)}^2}}}{2} - \frac{{k{x^2}}}{2} - \frac{{2k{x^2}}}{2}\]$$

?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1285474 писал(а):

По моему вообще на $y$.

Подвижный блок же.
Блок опустился => левый кусок веревки в ящике укоротился, и правый тоже укоротился. Сколько наружу вылезет?

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1285475 писал(а):

Блок опустился => левый кусок веревки в ящике укоротился, и правый тоже укоротился. Сколько наружу вылезет?

По идее $2y$, но все равно не понятно, так как подвижность мне ни о чем не говорит. То есть мне кажется, что результат будет такой же, как и с неподвижным.

-- 18.01.2018, 19:34 --

Хотя возможно удвоение длины можно объяснить тем, что веревка имеет некоторую скорость относительно блока, а он, в свою очередь, имеет такую же скорость относительно внешней системы отсчета(например Земли). Тогда веревка имеет двойную скорость относительно Земли.

Но как интерпретировать эту же идею, только не на подвижный блок, а на подвижную веревку? Тогда пришлось бы рассматривать относительную скорость подвижной веревки относительно неподвижной, но тут нет неподвижных веревок, и поэтому интуитивно понять это не удается.

-- 18.01.2018, 19:39 --

То есть тройная скорость подвижной веревки относительно Земли получится из-за сложения скорости подвижного блока, неподвижной веревки относительно подвижного блока и подвижной веревки относительно неподвижной веревки. Это как большой эвакуатор(подвижный блок) движется относительно Земли, на нем малый эвакуатор(неподвижная веревка), а на малом эвакуаторе легковой автомобиль(подвижная веревка), и относительные скорости у этих машин одинаковы. Меня очень смущается здесь термин "неподвижная веревка", потому что в задаче нет неподвижных веревок.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1285476 писал(а):

Тогда веревка имеет двойную скорость относительно Земли.

Так именно для этого рычаги, подвижные блоки и подобные конструкции применяют: проигрыш в расстоянии дает выигрыш в силе.

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1285480 писал(а):

Так именно для этого рычаги, подвижные блоки и подобные конструкции применяют: проигрыш в расстоянии дает выигрыш в силе.

А как быстро определять отношение скоростей блоков и веревки, например, здесь?

-- 18.01.2018, 19:53 --

Есть ли алгоритм?

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1285484 писал(а):

А как быстро определять отношение скоростей блоков и веревки,

Ну вот так и определять -- по соотношению перемещений.

Rusit8800 в сообщении #1285484 писал(а):

Есть ли алгоритм?

Думаю что должен быть, но точно не знаю.
Типа, посчитать количество подвижных веревок, количество неподвижных (закрепленных к стене) и из этого быстро получить кратность.

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1285490 писал(а):

Ну вот так и определять -- по соотношению перемещений.

wrest в сообщении #1285490 писал(а):

Думаю что должен быть, но точно не знаю.
Типа, посчитать количество подвижных веревок, количество неподвижных (закрепленных к стене) и из этого быстро получить кратность.

Это в общем то и есть мой алгоритм. Правда он не очень быстрый, и самое главное - не очевиден. По идее, такие умозрительные вещи должны сразу отчетливо представляться в голове.

[Rusit8800]

Вот опять возникли проблемы с решением подобных задач. Во варианте олимпиады Савельева в задаче 3 мне кажется есть ошибка. Вот мое решение: перейдем в систему отсчета, связанную с левым блоком. В этой системе отсчета скорость левого блока равна $0$, а правого - $v$. Ясно, что скорость груза в этой веревки равна $2v$ в данной СО, поскольку веревка укорачивается со скоростью $v$ и передвигается вверх с правым блоком со скоростью $v$. Значит в канонической СО скорость груза равна $2v+v=3v$, а не $2v$, как в решении жюри. Мне кажется, что ошибка жюри заключается в словах "Тогда длина веревки слева от левого блока уменьшится", ведь там длина веревки не изменяется.
Все ли я верно понял?

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1286111 писал(а):

Вот опять возникли проблемы с решением подобных задач. Во варианте олимпиады Савельева в задаче 3 мне кажется есть ошибка.

Ох... Rusit8800, извините, но Вам настолько часто это кажется (и настолько же часто выясняется, что кажется напрасно), что пора бы уже привыкнуть в подобных случаях искать ошибки у себя.

Rusit8800 в сообщении #1286111 писал(а):

Ясно, что скорость груза в этой веревки равна $2v$ в данной СО, поскольку веревка укорачивается со скоростью $v$ и передвигается вверх с правым блоком со скоростью $v$.

Только Вы забыли учесть, что в такой СО есть дополнительное удлинение веревки со скоростью $v$ - за счет ее крайнего левого куска. В Вашем варианте решения левый блок превратился в место закрепления веревки.

[Rusit8800]

Pphantom в сообщении #1286114 писал(а):

В Вашем варианте решения левый блок превратился в место закрепления веревки.

А почему бы и нет? Почему веревка удлиняется слева от левого блока? Правый движется вверх быстрее левого, а левый препятствует изменению длины веревки, поскольку он движется медленене правого.

[Pphantom]

P.S. Хотя, честно говоря, авторское решение мне тоже не кажется эффективным (хотя оно, естественно, правильное). Куда проще сказать, что груз будет подниматься со скоростью, с которой увеличивается длина куска веревки между левым блоком и точкой, находящейся на той же высоте, что и левый блок (поскольку на этом участке веревка тройная, то два куска из трех "лишние"). Ну а эта длина увеличивается, очевидно, с удвоенной скоростью движения правого блока относительно левого.

-- 21.01.2018, 15:08 --

Rusit8800 в сообщении #1286115 писал(а):

А почему бы и нет?

Потому что это не соответствует условию задачи. Блок, через который перекинута веревка, и место, где веревка прибита гвоздиком - несколько разные вещи.