2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.12.2017, 17:39 


21/02/16
483
deep down в сообщении #1272210 писал(а):
Пара дополнительных вопросов.
Если функция периодична, то верно ли, что у неё есть наименьший период?

Приведу еще раз определения.
Число $c$ называется периодом функции $f:M\to\mathbb{R}$, если выполнены следующие условия:
1) $\forall x\in M\ x+c\in M,x-c\in M$; 2) $\forall x\in M\ f(x+c)=f(x)$.
Функция называется периодической, если у нее есть положительный период.

Из определения периода следует, что если $c$ -- период функции $f$, то для любых $x\in M,n\in\mathbb{N}$ выполнено $x+nc\in M,x-nc\in M,f(x+nc)=f(x)$ (можно доказать по индукции), т.е. каждое $nc$ также будет являться периодом $f$. Среди всех таких чисел число $c$ будет наименьшим периодом. Но пока не буду спешить отвечать на Ваш вопрос о существовании наименьшего периода утвердительно.
Рассмотрим константную функцию $f(x)=a$ для любого $x\in\mathbb{R}$. Она является периодической, и любой положительный $c\in\mathbb{R}$ будет ее периодом. Наименьшего такого $c$ не существует.
Так что нет, у периодической функции не обязательно есть наименьший период.

-- 18.12.2017, 18:01 --

deep down в сообщении #1272210 писал(а):
У дробно-линейной функции $\frac{ax+b}{cx+d}$ есть $4$ параметра. Когда Вы строили график $\alpha+\frac{k}{x-\beta}$, их осталось только три - координаты "центра" и коэффициент "прижимаемости к осям" гиперболы. Где мы потеряли ещё один?

Не понял вопрос. После преобразований дробно-линейная функция у меня стала выглядеть так: $\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}$, тут по-прежнему 4 параметра (кажется, Вы пропустили умножение икса на $c$). Даже если я сейчас что-то недопонимаю и параметров все же 3, то в любом случае каждый из новых параметров является формулой, в которую входят старые параметры $a,b,c,d$, т.е. никто из них никуда не пропал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение21.12.2017, 13:48 


21/02/16
483
teleglaz в сообщении #1270936 писал(а):
Надо полагать, что от вас хотят определения, что $[\cdot] -$ это округление вниз. Но это не точно. Дело в том, что обозначение $[\cdot]$ вносит некоторую неопределённость. Ну то, что $[1{,}8]=1$ и ежу понятно. А вот чему равно $[-1{,}8]? $ Тут возможны разногласия. По определению "целая часть числа" хочется сказать $-1$, по определению "округление вниз" - $-2$. Вот чтобы с этим не связываться, ввели другие обозначения: $\lceil\cdot\rceil$ - округление вверх и $\lfloor\cdot\rfloor$ - округление вниз (в простонародье "пол" и "потолок"). И обычно полагают $[x]=\lfloor x\rfloor$. Попробуйте теперь получить определение для $\{x\}$.

Ок, значит я будут использовать такие определения:
$[x]=\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\leqslant x\}$;
$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 17:33 


21/02/16
483
Следующий пункт я пока не доделал, по нему есть вопросы.

7.ж) $x^2-\frac{1}{x}$

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Пересечение с $Ox$: $x^2-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^3=1$, откуда $x=1$.
Пересечение с $Oy$: не пересекается, т.к. $0$ не принадлежит области определения.
Найдем множество значений.
С ростом или убыванием $x$ слагаемое $x^2$ неограниченно растет, а слагаемое $-\frac{1}{x}$ становится сколь угодно близким к нулю, следовательно значения функции неограниченно растут. Значит, область определения включает $[0,+\infty[$.
Для положительных (отрицательных) значений $x$, сколь угодно близких к нулю, слагаемое $x^2$ также сколь угодно близко к нулю, а слагаемое $-\frac{1}{x}$ неограниченно убывает (возрастает). Значит, область определения включает $]-\infty,0]$.
Таким образом, множество значений функции есть $\mathbb{R}$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
Найдем промежутки монотонности.
Рассмотрим разность
$$
f(x_2)-f(x_1)=
x_2^2-x_1^2+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=
x_2^2-x_1^2+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=
$$ $$
=(x_2-x_1)\left(x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}\right).
$$
Пусть $0<x_1<x_2$. Тогда $f(x_2)-f(x_1)>0$, т.е. на $]0,+\infty[$ функция возрастает.
Пусть теперь $x_1<x_2<0$.
Тогда $x_2-x_1<0,x_2+x_1<0,\frac{1}{x_1x_2}>0$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ полностью определяется знаком $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$.
Собственно на этом моменте я застопорился. У меня чувство что я что-то делаю не так, направьте меня пожалуйста.
Полного понимания как должен выглядеть график этой функции пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 21:03 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
irod в сообщении #1276041 писал(а):
Рассмотрим константную функцию $f(x)=a$ для любого $x\in\mathbb{R}$. Она является периодической, и любой положительный $c\in\mathbb{R}$ будет ее периодом. Наименьшего такого $c$ не существует.

А для неконстантной?

-- 15.01.2018, 23:42 --

irod в сообщении #1276041 писал(а):
тут по-прежнему 4 параметра

На самом деле, 3 (после переобозначений). Но не парьтесь: в исходном их, фактически, тоже 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1284326 писал(а):
Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ полностью определяется знаком $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$.
Собственно на этом моменте я застопорился.
Вот здесь рано ещё стопориться. При положительных $x$ уже можно сказать, что будет [Вы сказали]; при отрицательных вблизи 0 тоже можно, и дальше $-1$ можно. Значит, где-то на отрезке $[-1;0]$ будет переход. И в точке этого перехода выражение $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$ поменяет знак. Это подсказка.

Общий вид функции можно представить себе так: изобразите отдельно параболу и гиперболу на одном чертеже. Затем отнимайте последовательно от точек параболы соответствующие точки гиперболы пока не станет понятно, что происходит. Тогда уже воспользуйтесь для определённости промежутками монотонности и что будет, то и выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение15.01.2018, 21:57 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
irod в сообщении #1284326 писал(а):
я что-то делаю не так,

Да нет, все так. Просто задача така - поганая. И нет там - слева от нуля - монотонности.
Углядеть это можно, типа, так: возьмем какое-нибудь $a\ne 0$, и попробуем найти все $x$, для которых $f(x)=f(a)$. Это, вообще то, кубическое уравнение. Но один корень ($x=a$) нам известен. Так что решится оно. Я, правда, дискриминант не считал, и не знаю, что там получится. После чего остается понять: а что же это мы такое сделали? Но в ответе (монотонность слева-справа от точки $-\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$) числа нехорошие, так что просто все не будет....

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 08:05 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1284422 писал(а):
Общий вид функции можно представить себе так: изобразите отдельно параболу и гиперболу на одном чертеже. Затем отнимайте последовательно от точек параболы соответствующие точки гиперболы пока не станет понятно, что происходит. Тогда уже воспользуйтесь для определённости промежутками монотонности и что будет, то и выйдет.
С этим советом у меня какой-то график наконец-то получился:
Изображение
Возьму такой подход на вооружение.
grizzly в сообщении #1284422 писал(а):
При положительных $x$ уже можно сказать, что будет [Вы сказали]; при отрицательных вблизи 0 тоже можно, и дальше $-1$ можно. Значит, где-то на отрезке $[-1;0]$ будет переход. И в точке этого перехода выражение $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$ поменяет знак. Это подсказка.
Ну до того что на $[-1;0]$ будет переход я и сам догадался :-)
DeBill в сообщении #1284423 писал(а):
Просто задача така - поганая. И нет там - слева от нуля - монотонности.
...
Я понимаю, как получилось число $-\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$: надо взять производную и приравнять ее к нулю. Но мы этого как бы еще не проходили. Как сделать по-другому я не знаю. Честно говоря, я уже намаялся с этой задачей, и у меня большое желание написать так:
Ввиду сложности анализа и недостаточности технических средств для этого на данном этапе, будем считать, что слева от нуля монотонности нет.
Никто не против?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 09:27 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
irod в сообщении #1284892 писал(а):
Никто не против?
Ну, где остановиться — исключительно ваша воля :wink:
irod в сообщении #1284892 писал(а):
надо взять производную и приравнять ее к нулю. Но мы этого как бы еще не проходили
Почему-то многие даже слово это произносят с придыханием. А штука-то весьма простая: $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$. Сокращает работу, но нисколько не упрощает. Если нечто просто решить через производные — значит, это самое нечто решается и безо всяких производных. Самую малость помуторнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1284892 писал(а):
Ну до того что на $[-1;0]$ будет переход я и сам догадался :-)
Хорошо, давайте я свой "трюк" покажу и остановимся на этом (догадаться до этого трюка без проделанного Вами пути я бы тоже вряд ли смог).
irod в сообщении #1284326 писал(а):
знак $f(x_2)-f(x_1)$ полностью определяется знаком $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$.
Пусть $x_1$ -- искомая точка смены монотонности (одна из, вообще говоря). Тогда при $x_2<x_1$ выражение $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$ имеет один знак, а при $x_2>x_1$ -- другой. В силу непрерывности при $x_2=x_1$ выражение равно нулю. Единственный корень этого выражения (тот самый -- $-\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$) находится устно.

-- 17.01.2018, 10:52 --

irod в сообщении #1284892 писал(а):
Никто не против?
Тайм-менеджмент тоже ведь никто не отменял. В хороших учебниках задачи подбираются так, чтобы каждый мог нащупать свой потолок. Так что не стоит стопориться на отдельно взятых задачах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.01.2018, 15:48 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
grizzly's trick, конечно, много лучше методы, что я предлагал.
Забавно, что это и есть реализация предложения iifat
(сосчитать производную, не произнося этого - запрещенного пока - слова): ТС выполнил нужное преобразование (сократил дробь из определения производной), а grizzly сделал предельный переход, и обосновал принцип Ферма :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.01.2018, 11:46 


21/02/16
483
DeBill в сообщении #1284410 писал(а):
А для неконстантной?

Вопрос вижу, подумаю и отвечу чуть позже.

Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?

-- 18.01.2018, 11:50 --

iifat в сообщении #1284904 писал(а):
Ну, где остановиться — исключительно ваша воля :wink:
Я понимаю что моя, но вдруг я пропускаю что-то важное, не зная об этом. Но конкретно про это место я понял - ничего супер-важного.

-- 18.01.2018, 12:13 --

7.и) $-x^3-2x^2-x$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $\mathbb{R}$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=0$.
Пересечение с $Ox$: $0=-x^3-2x^2-x=-x(x^2+2x+1)$, откуда $x_1=0,x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=-1$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
Функция является многочленом, значит ее график -- это "непрерывная" плавная кривая (в кавычках, потому что строгое определение непрерывности будет дано в следующих листках).
Найдем промежутки, на которых функция положительна или отрицательна (это ведь называется промежутками знакопостоянства функции?).
Очевидно, при положительных $x$ функция отрицательна, т.е. ее график проходит ниже $Ox$.
$f(-1/2)=1/8>0$, значит на $]-1,0[$ график выше $Ox$.
$f(-2)>0$, значит на $]-\infty,-1[$ график также выше $Ox$, а точка $(-1,0)$ является точкой касания $Ox$.
Сначала построим график функции, а потом, руководствуясь им, найдем промежутки монотонности.
График построим суммированием графиков $-x^3,-2x^2$ и $-x$.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rccccccc}
x & -2 & -1 & -1/2 & 0 & 1/2 & 1 \\
f(x) 2 & & 0 & 1/8 & 0 & -9/8 & -4 \\
\end{tabular}
Изображение
Найдем промежутки монотонности.
Воспользуемся разложением на множители $f(x)=-x(x+1)^2$ и рассмотрим разность
$$
f(x_2)-f(x_1)=x_1(x_1+1)^2-x_2(x_2+1)^2.
$$
При $0<x_1<x_2$ эта разность отрицательна, т.е. функция убывает.
На $[-1,0]$ будем считать, что монотонности нет (я пока не успел разобраться с трюком grizzly; возможно, здесь он тоже применим).
Пусть теперь $x_1<x_2\leq -1$. Тогда $(x_1+1)^2>(x_2+1)^2$, и следовательно $f(x_2)-f(x_1)>0$, т.е. функция возрастает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.01.2018, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1285320 писал(а):
Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?
Нет, здесь это Ваша задача. Нужно выделить все случаи и объяснить.

-- 18.01.2018, 14:35 --

irod в сообщении #1285320 писал(а):
я пока не успел разобраться с трюком grizzly; возможно, здесь он тоже применим
Разобраться не помешает, там он совсем простой, а всю сложную (подготовительную) работу Вы проделали сами. Злоупотреблять таким методом я бы не советовал. Если никто не предложит (методически) хорошего решения, предлагаю остановиться на этом уровне -- определять такие точки на глаз из общего вида графика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.01.2018, 07:57 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1285361 писал(а):
irod в сообщении #1285320 писал(а):
Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?
Нет, здесь это Ваша задача. Нужно выделить все случаи и объяснить.

Ок.
Пока выложу следующий готовый пункт (менее трудоемкий).

7.к) $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}$

Область определения: $x\geq -1$, т.к. подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=1$.
Пересечение с $Ox$: $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}=0$, отсюда должно быть выполнено $x+1=|x|$. Решением уравнения очевидно является $x=-\frac{1}{2}$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
Для построения графика нарисуем графики $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{|x|}$ на одном чертеже и нарисуем их разность.
Интуитивно, с ростом $x$ значения $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{|x|}$ становятся все меньше и меньше удалены друг от друга, т.е. их разность уменьшается. Следовательно, график $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}$ с ростом $x$ приближается к $Ox$ (но не пересекает и не касается ее).
Найдем точку пересечения графиков $f(x)$ и $\sqrt{|x|}$ на промежутке $[0,+\infty[$ решением уравнения
$$
\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}=\sqrt{|x|}
\Leftrightarrow 
\sqrt{x+1}=2\sqrt{|x|}
\Leftrightarrow 
x+1=4x
\Leftrightarrow 
x=\frac{1}{3}.
$$
Подставив найденное значение $x$ в функцию $\sqrt{|x|}$, получим точку пересечения: $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, или приблизительно $\left(\frac{1}{3},0.58\right)$.
Для уточнения вида графика на $[-1,0]$ вычислим значения в нескольких дополнительных промежуточных точках:
$f(-3/4)\approx -0.37,f(-1/4)\approx 0.37$.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rccccccccc}
x & -1 & -3/4 & -1/2 & -1/4 & 0 & 1/3 & 1 & 3 & 4 \\
f(x) & -1 & $\approx -0.37$ & 0 & $\approx 0.37$ & 1 & $\approx 0.58$ & $\approx 0.41$ & $\approx 0.27$ & $\approx 0.24$ \\
\end{tabular}
Изображение
Руководствуясь графиком, проведем формальное исследование функции на монотонность.
Как и ранее, исследуем разность
$$
f(x_2)-f(x_1)=\sqrt{x_2+1}-\sqrt{x_1+1}+\sqrt{|x_1|}-\sqrt{|x_2|}.
$$
Пусть $-1\leq x_1<x_2\leq 0$. Тогда $\sqrt{x_2+1}>\sqrt{x_1+1}$, $\sqrt{|x_1|}>\sqrt{|x_2|}$ и, следовательно, $f(x_2)>f(x_1)$, т.е. на $[-1,0]$ функция возрастает.
Пусть теперь $0\leq x_1<x_2$. Преобразуем разность $f(x_2)-f(x_1)$, используя формулу разности квадратов (от модуля можно сразу избавиться ввиду неотрицательности иксов):
$$
f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2+1}+\sqrt{x_1+1}}+\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}=
$$ $$
=(x_2-x_1)\left(\frac{1}{\sqrt{x_2+1}+\sqrt{x_1+1}}-\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\right).
$$
Очевидно, первое слагаемое положительно, а второе -- отрицательно. Следовательно, разность $f(x_2)-f(x_1)$ отрицательна, что означает убывание функции на $[0,+\infty[$.
Наконец, руководствуясь графиком и промежутками монотонности, обозначим множество значений функции: $[-1,1]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение30.01.2018, 08:35 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1285361 писал(а):
irod в сообщении #1285320 писал(а):
Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?
Нет, здесь это Ваша задача. Нужно выделить все случаи и объяснить.

Для начала я решил отмотать назад к задаче 2.б про график квадратичной функции, которую я так и не расписал и графики не нарисовал, нормально ее сделать, а потом использовать это в 7.з.

Итак, еще раз 2.б) $ax^2+bx+c$.
Рассмотрим основные комбинации коэффициентов $a,b,c$.

б.1) При $a=0$ имеем функцию из п.а).

б.2) Пусть теперь $a\neq 0$.

Выделим полный квадрат: $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$.
Отсюда видно, что график получается из параболы $y=ax^2$ сдвигом на $\frac{b}{2a}$ влево по $Ox$ (т.е. осью симметрии параболы $f(x)$ является прямая $x=\frac{b}{2a}$) и сдвигом на $c-\frac{b^2}{4a}$ параллельно оси $Oy$.
Ветви параболы направлены вверх при $a>0$, и направлены вниз при $a<0$.
Пересечение с осью $Oy$ происходит в точке $f(0)=c$.
Число пересечений параболы $f(x)$ с $Ox$ есть число корней квадратного уравнения $f(x)=0$, которое в свою очередь зависит от знака дискриминанта $D=b^2-4ac$:
$$
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.
$$
Для рисования графиков разделим различные случаи в зависимости от знака дискриминанта. На всех чертежах будет только одна ось -- $Ox$, чтобы не рисовать несколько похожих вариантов с различным знаком коэффициента $b$: при фиксированном $a$ в зависимости от знака $b$ прямая $x=-\frac{b}{2a}$ с вершиной параболы будет расположена либо слева, либо справа от оси $Oy$; при $b=0$ вершина параболы лежит на $Oy$.

б.2.1) $D=0\Leftrightarrow c-\frac{b^2}{4a}=0$.
В этом случае уравнение $f(x)=0$ имеет всего один корень $x=-\frac{b}{2a}$; парабола касается $Ox$ в точке $\left(-\frac{b}{2a},0\right)$.
Изображение

б.2.2) $D>0\Leftrightarrow \begin{cases} 
c-\frac{b^2}{4a}<0 & \mbox{при } a>0, \\
c-\frac{b^2}{4a}>0 & \mbox{при } a<0.
\end{cases}$
В этом случае уравнение $f(x)=0$ имеет 2 различных действительных корня, т.е. парабола $f(x)$ пересекает $Ox$ в двух точках.
Изображение

б.2.3) $D<0\Leftrightarrow \begin{cases} 
c-\frac{b^2}{4a}>0 & \mbox{при } a>0, \\
c-\frac{b^2}{4a}<0 & \mbox{при } a<0.
\end{cases}$
В этом случае уравнение $f(x)=0$ не имеет действительных корней, и значит парабола не имеет пересечений с $Ox$.
Изображение
Исследуем функцию на монотонность.
На всей области определения целиком монотонности нет, однако есть промежутки монотонности.
В зависимости от знака коэффициента $a$, парабола $ax^2$ монотонно убывает (возрастает) на отрицательных $x$, и монотонно возрастает (убывает) на положительных $x$. График $f(x)$ сдвинут по $Ox$ на $-\frac{b}{2a}$ относительно параболы $ax^2$. Следовательно, $f(x)$ должна быть монотонна на $\left]-\infty,-\frac{b}{2a}\right]$ и на $\left[-\frac{b}{2a},+\infty\right[$
противоположными видами монотонности). Проверим это формально.
Рассмотрим разность
$$
f(x_2)-f(x_1)=ax_2^2+bx_2-ax_1^2-bx_1=a(x_1-x_2)\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right).
$$
При любых $x_1,x_2$ таких, что $x_1<x_2$, разность $x_2-x_1$ положительна. Значит, знак $f(x_2)-f(x_1)$ определяется знаками $a$ и $\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)$.
Пусть $x_1<x_2\leq -\frac{b}{2a}$. Тогда $\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)<0$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ противоположен знаку $a$, т.е. при $a>0$ функция убывает, при $a<0$ -- возрастает.
Пусть теперь $-\frac{b}{2a}\leq x_1<x_2$. Тогда $\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)>0$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ равен знаку $a$, т.е. при $a>0$ функция возрастает, при $a<0$ -- убывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение30.01.2018, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1288436 писал(а):
Для начала я решил отмотать назад к задаче 2.б про график квадратичной функции
Правильный выбор, хорошее решение и отменная "подача".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group