Функции: свойства и графики (Давидович)

[irod]

deep down в сообщении #1272210 писал(а):

Пара дополнительных вопросов.
Если функция периодична, то верно ли, что у неё есть наименьший период?

Приведу еще раз определения.
Число $c$ называется периодом функции $f:M\to\mathbb{R}$, если выполнены следующие условия:
1) $\forall x\in M\ x+c\in M,x-c\in M$; 2) $\forall x\in M\ f(x+c)=f(x)$.
Функция называется периодической, если у нее есть положительный период.

Из определения периода следует, что если $c$ -- период функции $f$, то для любых $x\in M,n\in\mathbb{N}$ выполнено $x+nc\in M,x-nc\in M,f(x+nc)=f(x)$ (можно доказать по индукции), т.е. каждое $nc$ также будет являться периодом $f$. Среди всех таких чисел число $c$ будет наименьшим периодом. Но пока не буду спешить отвечать на Ваш вопрос о существовании наименьшего периода утвердительно.
Рассмотрим константную функцию $f(x)=a$ для любого $x\in\mathbb{R}$. Она является периодической, и любой положительный $c\in\mathbb{R}$ будет ее периодом. Наименьшего такого $c$ не существует.
Так что нет, у периодической функции не обязательно есть наименьший период.

-- 18.12.2017, 18:01 --

deep down в сообщении #1272210 писал(а):

У дробно-линейной функции $\frac{ax+b}{cx+d}$ есть $4$ параметра. Когда Вы строили график $\alpha+\frac{k}{x-\beta}$, их осталось только три - координаты "центра" и коэффициент "прижимаемости к осям" гиперболы. Где мы потеряли ещё один?

Не понял вопрос. После преобразований дробно-линейная функция у меня стала выглядеть так: $\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}$, тут по-прежнему 4 параметра (кажется, Вы пропустили умножение икса на $c$). Даже если я сейчас что-то недопонимаю и параметров все же 3, то в любом случае каждый из новых параметров является формулой, в которую входят старые параметры $a,b,c,d$, т.е. никто из них никуда не пропал.

[irod]

teleglaz в сообщении #1270936 писал(а):

Надо полагать, что от вас хотят определения, что $[\cdot] -$ это округление вниз. Но это не точно. Дело в том, что обозначение $[\cdot]$ вносит некоторую неопределённость. Ну то, что $[1{,}8]=1$ и ежу понятно. А вот чему равно $[-1{,}8]? $ Тут возможны разногласия. По определению "целая часть числа" хочется сказать $-1$, по определению "округление вниз" - $-2$. Вот чтобы с этим не связываться, ввели другие обозначения: $\lceil\cdot\rceil$ - округление вверх и $\lfloor\cdot\rfloor$ - округление вниз (в простонародье "пол" и "потолок"). И обычно полагают $[x]=\lfloor x\rfloor$. Попробуйте теперь получить определение для $\{x\}$.

Ок, значит я будут использовать такие определения:
$[x]=\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\leqslant x\}$;
$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

[irod]

Следующий пункт я пока не доделал, по нему есть вопросы.

7.ж) $x^2-\frac{1}{x}$

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Пересечение с $Ox$: $x^2-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^3=1$, откуда $x=1$.
Пересечение с $Oy$: не пересекается, т.к. $0$ не принадлежит области определения.
Найдем множество значений.
С ростом или убыванием $x$ слагаемое $x^2$ неограниченно растет, а слагаемое $-\frac{1}{x}$ становится сколь угодно близким к нулю, следовательно значения функции неограниченно растут. Значит, область определения включает $[0,+\infty[$.
Для положительных (отрицательных) значений $x$, сколь угодно близких к нулю, слагаемое $x^2$ также сколь угодно близко к нулю, а слагаемое $-\frac{1}{x}$ неограниченно убывает (возрастает). Значит, область определения включает $]-\infty,0]$.
Таким образом, множество значений функции есть $\mathbb{R}$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
Найдем промежутки монотонности.
Рассмотрим разность

$$ f(x_2)-f(x_1)= x_2^2-x_1^2+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}= x_2^2-x_1^2+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}= $$

$$ =(x_2-x_1)\left(x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}\right). $$

Пусть $0<x_1<x_2$. Тогда $f(x_2)-f(x_1)>0$, т.е. на $]0,+\infty[$ функция возрастает.
Пусть теперь $x_1<x_2<0$.
Тогда $x_2-x_1<0,x_2+x_1<0,\frac{1}{x_1x_2}>0$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ полностью определяется знаком $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$.
Собственно на этом моменте я застопорился. У меня чувство что я что-то делаю не так, направьте меня пожалуйста.
Полного понимания как должен выглядеть график этой функции пока нет.

[DeBill]

irod в сообщении #1276041 писал(а):

Рассмотрим константную функцию $f(x)=a$ для любого $x\in\mathbb{R}$. Она является периодической, и любой положительный $c\in\mathbb{R}$ будет ее периодом. Наименьшего такого $c$ не существует.

А для неконстантной?

-- 15.01.2018, 23:42 --

irod в сообщении #1276041 писал(а):

тут по-прежнему 4 параметра

На самом деле, 3 (после переобозначений). Но не парьтесь: в исходном их, фактически, тоже 3.

[grizzly]

irod в сообщении #1284326 писал(а):

Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ полностью определяется знаком $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$.
Собственно на этом моменте я застопорился.

Вот здесь рано ещё стопориться. При положительных $x$ уже можно сказать, что будет [Вы сказали]; при отрицательных вблизи 0 тоже можно, и дальше $-1$ можно. Значит, где-то на отрезке $[-1;0]$ будет переход. И в точке этого перехода выражение $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$ поменяет знак. Это подсказка.

Общий вид функции можно представить себе так: изобразите отдельно параболу и гиперболу на одном чертеже. Затем отнимайте последовательно от точек параболы соответствующие точки гиперболы пока не станет понятно, что происходит. Тогда уже воспользуйтесь для определённости промежутками монотонности и что будет, то и выйдет.

[DeBill]

irod в сообщении #1284326 писал(а):

я что-то делаю не так,

Да нет, все так. Просто задача така - поганая. И нет там - слева от нуля - монотонности.
Углядеть это можно, типа, так: возьмем какое-нибудь $a\ne 0$, и попробуем найти все $x$, для которых $f(x)=f(a)$. Это, вообще то, кубическое уравнение. Но один корень ($x=a$) нам известен. Так что решится оно. Я, правда, дискриминант не считал, и не знаю, что там получится. После чего остается понять: а что же это мы такое сделали? Но в ответе (монотонность слева-справа от точки $-\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$) числа нехорошие, так что просто все не будет....

[irod]

grizzly в сообщении #1284422 писал(а):

Общий вид функции можно представить себе так: изобразите отдельно параболу и гиперболу на одном чертеже. Затем отнимайте последовательно от точек параболы соответствующие точки гиперболы пока не станет понятно, что происходит. Тогда уже воспользуйтесь для определённости промежутками монотонности и что будет, то и выйдет.

С этим советом у меня какой-то график наконец-то получился:

Возьму такой подход на вооружение.

grizzly в сообщении #1284422 писал(а):

При положительных $x$ уже можно сказать, что будет [Вы сказали]; при отрицательных вблизи 0 тоже можно, и дальше $-1$ можно. Значит, где-то на отрезке $[-1;0]$ будет переход. И в точке этого перехода выражение $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$ поменяет знак. Это подсказка.

Ну до того что на $[-1;0]$ будет переход я и сам догадался

DeBill в сообщении #1284423 писал(а):

Просто задача така - поганая. И нет там - слева от нуля - монотонности.
...

Я понимаю, как получилось число $-\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$: надо взять производную и приравнять ее к нулю. Но мы этого как бы еще не проходили. Как сделать по-другому я не знаю. Честно говоря, я уже намаялся с этой задачей, и у меня большое желание написать так:
Ввиду сложности анализа и недостаточности технических средств для этого на данном этапе, будем считать, что слева от нуля монотонности нет.
Никто не против?

[iifat]

irod в сообщении #1284892 писал(а):

Никто не против?

Ну, где остановиться — исключительно ваша воля

irod в сообщении #1284892 писал(а):

надо взять производную и приравнять ее к нулю. Но мы этого как бы еще не проходили

Почему-то многие даже слово это произносят с придыханием. А штука-то весьма простая: $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$. Сокращает работу, но нисколько не упрощает. Если нечто просто решить через производные — значит, это самое нечто решается и безо всяких производных. Самую малость помуторнее.

[grizzly]

irod в сообщении #1284892 писал(а):

Ну до того что на $[-1;0]$ будет переход я и сам догадался

Хорошо, давайте я свой "трюк" покажу и остановимся на этом (догадаться до этого трюка без проделанного Вами пути я бы тоже вряд ли смог).

irod в сообщении #1284326 писал(а):

знак $f(x_2)-f(x_1)$ полностью определяется знаком $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$.

Пусть $x_1$ -- искомая точка смены монотонности (одна из, вообще говоря). Тогда при $x_2<x_1$ выражение $x_2+x_1+\frac{1}{x_1x_2}$ имеет один знак, а при $x_2>x_1$ -- другой. В силу непрерывности при $x_2=x_1$ выражение равно нулю. Единственный корень этого выражения (тот самый -- $-\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$) находится устно.

-- 17.01.2018, 10:52 --

irod в сообщении #1284892 писал(а):

Никто не против?

Тайм-менеджмент тоже ведь никто не отменял. В хороших учебниках задачи подбираются так, чтобы каждый мог нащупать свой потолок. Так что не стоит стопориться на отдельно взятых задачах.

[DeBill]

grizzly's trick, конечно, много лучше методы, что я предлагал.
Забавно, что это и есть реализация предложения iifat
(сосчитать производную, не произнося этого - запрещенного пока - слова): ТС выполнил нужное преобразование (сократил дробь из определения производной), а grizzly сделал предельный переход, и обосновал принцип Ферма

[irod]

DeBill в сообщении #1284410 писал(а):

А для неконстантной?

Вопрос вижу, подумаю и отвечу чуть позже.

Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?

-- 18.01.2018, 11:50 --

iifat в сообщении #1284904 писал(а):

Ну, где остановиться — исключительно ваша воля

Я понимаю что моя, но вдруг я пропускаю что-то важное, не зная об этом. Но конкретно про это место я понял - ничего супер-важного.

-- 18.01.2018, 12:13 --

7.и) $-x^3-2x^2-x$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $\mathbb{R}$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=0$.
Пересечение с $Ox$: $0=-x^3-2x^2-x=-x(x^2+2x+1)$, откуда $x_1=0,x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=-1$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
Функция является многочленом, значит ее график -- это "непрерывная" плавная кривая (в кавычках, потому что строгое определение непрерывности будет дано в следующих листках).
Найдем промежутки, на которых функция положительна или отрицательна (это ведь называется промежутками знакопостоянства функции?).
Очевидно, при положительных $x$ функция отрицательна, т.е. ее график проходит ниже $Ox$.
$f(-1/2)=1/8>0$, значит на $]-1,0[$ график выше $Ox$.
$f(-2)>0$, значит на $]-\infty,-1[$ график также выше $Ox$, а точка $(-1,0)$ является точкой касания $Ox$.
Сначала построим график функции, а потом, руководствуясь им, найдем промежутки монотонности.
График построим суммированием графиков $-x^3,-2x^2$ и $-x$.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rccccccc} x & -2 & -1 & -1/2 & 0 & 1/2 & 1 \\ f(x) 2 & & 0 & 1/8 & 0 & -9/8 & -4 \\ \end{tabular}

Найдем промежутки монотонности.
Воспользуемся разложением на множители $f(x)=-x(x+1)^2$ и рассмотрим разность

$$ f(x_2)-f(x_1)=x_1(x_1+1)^2-x_2(x_2+1)^2. $$

При $0<x_1<x_2$ эта разность отрицательна, т.е. функция убывает.
На $[-1,0]$ будем считать, что монотонности нет (я пока не успел разобраться с трюком grizzly; возможно, здесь он тоже применим).
Пусть теперь $x_1<x_2\leq -1$. Тогда $(x_1+1)^2>(x_2+1)^2$, и следовательно $f(x_2)-f(x_1)>0$, т.е. функция возрастает.

[grizzly]

irod в сообщении #1285320 писал(а):

Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?

Нет, здесь это Ваша задача. Нужно выделить все случаи и объяснить.

-- 18.01.2018, 14:35 --

irod в сообщении #1285320 писал(а):

я пока не успел разобраться с трюком grizzly; возможно, здесь он тоже применим

Разобраться не помешает, там он совсем простой, а всю сложную (подготовительную) работу Вы проделали сами. Злоупотреблять таким методом я бы не советовал. Если никто не предложит (методически) хорошего решения, предлагаю остановиться на этом уровне -- определять такие точки на глаз из общего вида графика.

[irod]

grizzly в сообщении #1285361 писал(а):

irod в сообщении #1285320 писал(а):

Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?

Нет, здесь это Ваша задача. Нужно выделить все случаи и объяснить.

Ок.
Пока выложу следующий готовый пункт (менее трудоемкий).

7.к) $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}$

Область определения: $x\geq -1$, т.к. подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=1$.
Пересечение с $Ox$: $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}=0$, отсюда должно быть выполнено $x+1=|x|$. Решением уравнения очевидно является $x=-\frac{1}{2}$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
Для построения графика нарисуем графики $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{|x|}$ на одном чертеже и нарисуем их разность.
Интуитивно, с ростом $x$ значения $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{|x|}$ становятся все меньше и меньше удалены друг от друга, т.е. их разность уменьшается. Следовательно, график $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}$ с ростом $x$ приближается к $Ox$ (но не пересекает и не касается ее).
Найдем точку пересечения графиков $f(x)$ и $\sqrt{|x|}$ на промежутке $[0,+\infty[$ решением уравнения

$$ \sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}=\sqrt{|x|} \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2\sqrt{|x|} \Leftrightarrow x+1=4x \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}. $$

Подставив найденное значение $x$ в функцию $\sqrt{|x|}$, получим точку пересечения: $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, или приблизительно $\left(\frac{1}{3},0.58\right)$.
Для уточнения вида графика на $[-1,0]$ вычислим значения в нескольких дополнительных промежуточных точках:
$f(-3/4)\approx -0.37,f(-1/4)\approx 0.37$.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rccccccccc} x & -1 & -3/4 & -1/2 & -1/4 & 0 & 1/3 & 1 & 3 & 4 \\ f(x) & -1 & $\approx -0.37$ & 0 & $\approx 0.37$ & 1 & $\approx 0.58$ & $\approx 0.41$ & $\approx 0.27$ & $\approx 0.24$ \\ \end{tabular}

Руководствуясь графиком, проведем формальное исследование функции на монотонность.
Как и ранее, исследуем разность

$$ f(x_2)-f(x_1)=\sqrt{x_2+1}-\sqrt{x_1+1}+\sqrt{|x_1|}-\sqrt{|x_2|}. $$

Пусть $-1\leq x_1<x_2\leq 0$. Тогда $\sqrt{x_2+1}>\sqrt{x_1+1}$, $\sqrt{|x_1|}>\sqrt{|x_2|}$ и, следовательно, $f(x_2)>f(x_1)$, т.е. на $[-1,0]$ функция возрастает.
Пусть теперь $0\leq x_1<x_2$. Преобразуем разность $f(x_2)-f(x_1)$, используя формулу разности квадратов (от модуля можно сразу избавиться ввиду неотрицательности иксов):

$$ f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2+1}+\sqrt{x_1+1}}+\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}= $$

$$ =(x_2-x_1)\left(\frac{1}{\sqrt{x_2+1}+\sqrt{x_1+1}}-\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\right). $$

Очевидно, первое слагаемое положительно, а второе -- отрицательно. Следовательно, разность $f(x_2)-f(x_1)$ отрицательна, что означает убывание функции на $[0,+\infty[$.
Наконец, руководствуясь графиком и промежутками монотонности, обозначим множество значений функции: $[-1,1]$.

[irod]

grizzly в сообщении #1285361 писал(а):

irod в сообщении #1285320 писал(а):

Пока у меня вопрос по пункту 7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$ -- какое (или какие) $b$ тут взять?

Нет, здесь это Ваша задача. Нужно выделить все случаи и объяснить.

Для начала я решил отмотать назад к задаче 2.б про график квадратичной функции, которую я так и не расписал и графики не нарисовал, нормально ее сделать, а потом использовать это в 7.з.

Итак, еще раз 2.б) $ax^2+bx+c$.
Рассмотрим основные комбинации коэффициентов $a,b,c$.

б.1) При $a=0$ имеем функцию из п.а).

б.2) Пусть теперь $a\neq 0$.

Выделим полный квадрат: $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$.
Отсюда видно, что график получается из параболы $y=ax^2$ сдвигом на $\frac{b}{2a}$ влево по $Ox$ (т.е. осью симметрии параболы $f(x)$ является прямая $x=\frac{b}{2a}$) и сдвигом на $c-\frac{b^2}{4a}$ параллельно оси $Oy$.
Ветви параболы направлены вверх при $a>0$, и направлены вниз при $a<0$.
Пересечение с осью $Oy$ происходит в точке $f(0)=c$.
Число пересечений параболы $f(x)$ с $Ox$ есть число корней квадратного уравнения $f(x)=0$, которое в свою очередь зависит от знака дискриминанта $D=b^2-4ac$:

$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. $$

Для рисования графиков разделим различные случаи в зависимости от знака дискриминанта. На всех чертежах будет только одна ось -- $Ox$, чтобы не рисовать несколько похожих вариантов с различным знаком коэффициента $b$: при фиксированном $a$ в зависимости от знака $b$ прямая $x=-\frac{b}{2a}$ с вершиной параболы будет расположена либо слева, либо справа от оси $Oy$; при $b=0$ вершина параболы лежит на $Oy$.

б.2.1) $D=0\Leftrightarrow c-\frac{b^2}{4a}=0$.
В этом случае уравнение $f(x)=0$ имеет всего один корень $x=-\frac{b}{2a}$; парабола касается $Ox$ в точке $\left(-\frac{b}{2a},0\right)$.


б.2.2) $D>0\Leftrightarrow \begin{cases} c-\frac{b^2}{4a}<0 & \mbox{при } a>0, \\ c-\frac{b^2}{4a}>0 & \mbox{при } a<0. \end{cases}$
В этом случае уравнение $f(x)=0$ имеет 2 различных действительных корня, т.е. парабола $f(x)$ пересекает $Ox$ в двух точках.


б.2.3) $D<0\Leftrightarrow \begin{cases} c-\frac{b^2}{4a}>0 & \mbox{при } a>0, \\ c-\frac{b^2}{4a}<0 & \mbox{при } a<0. \end{cases}$
В этом случае уравнение $f(x)=0$ не имеет действительных корней, и значит парабола не имеет пересечений с $Ox$.

Исследуем функцию на монотонность.
На всей области определения целиком монотонности нет, однако есть промежутки монотонности.
В зависимости от знака коэффициента $a$, парабола $ax^2$ монотонно убывает (возрастает) на отрицательных $x$, и монотонно возрастает (убывает) на положительных $x$. График $f(x)$ сдвинут по $Ox$ на $-\frac{b}{2a}$ относительно параболы $ax^2$. Следовательно, $f(x)$ должна быть монотонна на $\left]-\infty,-\frac{b}{2a}\right]$ и на $\left[-\frac{b}{2a},+\infty\right[$ (с
противоположными видами монотонности). Проверим это формально.
Рассмотрим разность

$$ f(x_2)-f(x_1)=ax_2^2+bx_2-ax_1^2-bx_1=a(x_1-x_2)\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right). $$

При любых $x_1,x_2$ таких, что $x_1<x_2$, разность $x_2-x_1$ положительна. Значит, знак $f(x_2)-f(x_1)$ определяется знаками $a$ и $\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)$.
Пусть $x_1<x_2\leq -\frac{b}{2a}$. Тогда $\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)<0$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ противоположен знаку $a$, т.е. при $a>0$ функция убывает, при $a<0$ -- возрастает.
Пусть теперь $-\frac{b}{2a}\leq x_1<x_2$. Тогда $\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)>0$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ равен знаку $a$, т.е. при $a>0$ функция возрастает, при $a<0$ -- убывает.

[grizzly]

irod в сообщении #1288436 писал(а):

Для начала я решил отмотать назад к задаче 2.б про график квадратичной функции

Правильный выбор, хорошее решение и отменная "подача".