Трисекция угла(Не бойтесь, нового способа не предлагаю)

[g______d]

atlakatl в сообщении #1281960 писал(а):

Есть подозрение, что данное множество фишка только dxdy.ru. Google находит только мракобесные "доказательства" типа http://heller.ru/blog/2011/09/non-computable-numbers/

Плохо ищете

https://ru.wikipedia.org/wiki/Перечислимое_множество

в любом случае, процедуру перечисления предъявите или нет? Я, собственно, не сильно сомневаюсь в её существовании, но вопрос не настолько тривиален, чтобы от него отмахиваться, как вы это делаете, учитывая, что вы только сейчас узнали, что там есть ещё какие-то углы, кроме $2\pi/n$.

[atlakatl]

g______d

g______d в сообщении #1281961 писал(а):

Плохо ищете

Сколько апломба. Учитывая кривую ссылку на Википедь, слабообоснованную.
Ну и Вы читали сабжевую статью?

Цитата:

Совокупность всех перечислимых подмножеств является счётным множеством, а совокупность всех неперечислимых подмножеств — несчётным.

Уравнение Ванцеля кубическое, а значит перечислимое и счётное.

[g______d]

atlakatl в сообщении #1281964 писал(а):

Уравнение Ванцеля кубическое, а значит перечислимое и счётное.

Что именно следует из того, что оно кубическое относительно $t$, и каким образом? И какое отношение к вопросу имеет счётность множества всех перечислимых множеств, которую вы здесь цитируете? Мы обсуждаем перечислимость одного конкретного множества всех трисектируемых $\theta$.

-- Вс, 07 янв 2018 02:38:48 --

В любом случае, алгоритм приведите, пожалуйста. Если вы считаете, что он тривиален, то тем проще. Только из того, что множество счётное, существование алгоритма никак не следует (поскольку, как я уже писал выше, существуют счётные неперечислимые множества).

[Lia]

atlakatl
Давайте обойдемся без эпитетов и перехода на личности. Не стоит пользоваться тем, что Вам не хотят ответить взаимностью.

[atlakatl]

Lia в сообщении #1281973 писал(а):

Вам не хотят ответить взаимностью.

g______d в сообщении #1281961 писал(а):

Я, собственно, не сильно сомневаюсь в её существовании, но вопрос не настолько тривиален, чтобы от него отмахиваться, как вы это делаете, учитывая, что вы только сейчас узнали, что там есть ещё какие-то углы, кро

ЗУ имеет на такое право? Впрочем, я давно сказал, что дискуссия не имеет смысла. ЗУ "не сомневается", а от меня требует конструктив в построении перечисления.
Я ожидал рано или поздно такого результата. Умолкаю.
Почитаю учебники в тишине.

[Lia]

atlakatl
Я не вижу причин для такой реакции. Дискуссия имеет смысл, но не в таком тоне. Если по-другому не получается, действительно, лучше воздержаться.

И просьба не отвлекаться далее на эту тему.

[Rak so dna]

g______d в сообщении #1281969 писал(а):

В любом случае, алгоритм приведите, пожалуйста.

Алгоритм построения множества $\theta$: каждому натуральному $N>1$ сопоставляем набор $x_0,x_1,...,x_{k-1}$, где $x_i$ - $i$-й корень уравнения $a_0x^k+a_1x^{k-1}+...+a_k=0$, где $2^{a_0}3^{a_1}..{p_{k+1}}^{a_k}=N$, $p_i$ - $i$-е простое число. Если $-2\leqslant{x_i}\leqslant2$ и $x_i$ выражается в квадратных радикалах, то угол $\arccos\frac{{x_i}^3-3{x_i}}{2}$ добавляем в $\theta$

[g______d]

Rak so dna в сообщении #1282006 писал(а):

Алгоритм построения множества $\theta$: каждому натуральному $N>1$ сопоставляем набор $x_0,x_1,...,x_{k-1}$, где $x_i$ - $i$-й корень уравнения $a_0x^k+a_1x^{k-1}+...+a_k=0$, где $2^{a_0}3^{a_1}..{p_{k+1}}^{a_k}=N$, $p_i$ - $i$-е простое число.

Да, все алгебраические числа можно перечислить, согласен.

Rak so dna в сообщении #1282006 писал(а):

Если $-2\leqslant{x_i}\leqslant2$ и $x_i$ выражается в квадратных радикалах,

Вот это, по крайней мере мне, менее понятно. Дан многочлен с целыми коэффициентами. Как за конечное число операций определить, выражаются ли его корни в квадратичных радикалах?

[Rak so dna]

g______d ну, честно говоря, я был уверен что такие алгоритмы есть. Ну да ладно. Проще переделать исходный алгоритм:
Итак, определим множество $M = + - \cdot \backslash ( ) \sqrt{} 1, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3, 4, \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, 5,...$ Теперь любому натуральному $N=2^{a_0}3^{a_1}..{p_{k+1}}^{a_k}$ сопоставляем набор элементов $m_{a_0},m_{a_1},..m_{a_{k+1}}$ и трактуем как нажатие соответствующих кнопок калькулятора. Например для $N = 240756748320775046664042912425674913200297847792009703760235220767893257970802196948884688 = 2^4\cdot3^7\cdot5^0\cdot7^8\cdot11^6\cdot13^5\cdot17^6\cdot19^1\cdot23^4\cdot29^7\cdot31^1\cdot37^8\cdot41^6\cdot43^5\cdot47^6 \to ( 1 + 2 \sqrt{} ) \sqrt{} - ( 1 - 2 \sqrt{} ) \sqrt{} \to \sqrt{1+\sqrt{2}}-\sqrt{1-\sqrt{2}} $ Если полученная таким образом квадратичная иррациональность $x$ корректна (существование алгоритма проверки, я считаю, очевидно), то проверяем условие $-2\leqslant{x}\leqslant2$, после чего угол $\arccos\frac{x^3-3x}{2}$ добавляем в $\theta$

[g______d]

Rak so dna в сообщении #1282183 писал(а):

я был уверен что такие алгоритмы есть

Есть; насколько я понимаю, просто группа Галуа многочлена с целыми коэффициентами вычислима, дальше можно вычислить композиционный ряд группы и проверить, что все индексы равны двум. Или, как Вы предлагаете, перебрать все квадратичные радикалы (проверка неравенства $-2\le x\le 2$ для конечного квадратичного радикала тоже алгоритмически разрешима).

Тем не менее, тот факт, что Вы можете решить эту задачу, не делает аргументацию (не Вашу), против которой я возражал, более корректной.

[Iam]

atlakatl в сообщении #1280723 писал(а):

notabene ...чтобы разделить угол на три части, надо знать его градусную меру.

Чтобы утверждать о необходимости «знания» в каждом случае делимости угла на 3 меры подлежащего делению угла, нужно запретить на каком-то основании (?) использование алгоритмов, типа приводимого ниже тривиального алгоритма для деления углов кратных $\pi /20. $
Нарисован угол $ \omega $ (неизвестной меры), строим углы: $\alpha=\pi/256, \beta=\pi /60. $
0) (исходное состояние), $ \gamma=\alpha, \delta=0. $
1) Если $\gamma < \omega, $ то $\gamma = \gamma +3 \beta, \delta =\delta +\beta, $ перейти в начало п. 1, иначе стоп, выдать $\omega/3= \delta. $
Этот алгоритм делит какие попало углы (в большинстве случаев плохо), но углы, кратные $\pi /20 $ делит на три абсолютно точно, причем, не думая, какая у них мера.

[notabene]

Хм. Попалась мне в руки случайно книжка А. Д. Блинков, Ю.А.Блинков "Геометрические задачи на построение"
открываю и читаю.

Какие построения циркулем и линейкой считать стан­дартными?

Это вопрос предварительной договорённости. На наш взгляд,
к стандартным построениям можно отнести следующие:

1) построение прямой, проходящей через две заданные точки;
2) построение окружности с данным центром и данным радиусом;
3) построение отрезка, равного данному;
4) построение угла, равного данному;
5) построение середины отрезка (серединного перпендикуля­ра к отрезку);
6) построение биссектрисы угла;
7) построение перпендикуляра к прямой, проходящего через
заданную точку (два с.луч,а.я).

На основе стандартных построений легко осуществляется построение треугольников по трём основным элементам:
1) двум сторонам и углу;
2) стороне и двум углам;
3) трём сторонам.

При этом очень важно донести до сознания учащихся, что все линейные элементы в условиях задач заданы в виде отрезков
(а не их длин), а все угловые - в виде углов (а не чисел, выра­жающих их величину)!

-- Вс янв 14, 2018 02:52:28 --

Цитата:

Этот алгоритм делит какие попало углы (в большинстве случаев плохо), но углы, кратные $\pi /20 $ делит на три абсолютно точно, причем, не думая, какая у них мера.

А углы кратные $\pi /40 $ или $\pi /80 $?

-- Вс янв 14, 2018 03:00:15 --

upd. При этом авторы же сам делит угол в 54 градуса на три части, используя информацию о величине угла.

[warlock66613]

notabene в сообщении #1283892 писал(а):

все угловые - в виде углов (а не чисел, выра­жающих их величину

Это не имеет отношения к обсуждаемым в теме тонкостям формулировки задач о построении циркулем и линейкой, так как «иметь величину $54^{\circ}$» — это свойство именно самого угла, и к его числовой величине оно в общем-то отношения не имеет.

[snoopy]

Проходил мимо, возникли вопросы. Возможно, эквивалентные тем, что задавал топикстартер, но истину из перепалок вытащить трудно. Просьба воспринимать их независимо.
Условия - рассматриваем стандартные построения циркулем и лиейкой. Дополнительно - способ определить, совпадают ли две указанные точки.

Вопрос 1. Задан угол. Можно ли построить его трисекцию? Если да - предъявить её.
Вопрос 2 (более слабая версия). Задан угол, про который известно, что трисекцию построить можно. Требуется её предъявить.

Поскольку углов, допускающих трисекцию, счётное число, можно их строить один за другим и сравнивать с исходным. Тогда уточним.

Вопрос 1'. Можно ли ответить на вопрос 1 за конечное число шагов?
Вопрос 2'. Можно ли построить трисекцию за ограниченное число шагов не зависящее от угла.

Просьба дать ответить "да", "нет" с указанием литературы, где разобраны конкретно эти формулировки либо указать, что именно в данном посте допускает двусмысленность.

[g______d]

snoopy в сообщении #1297097 писал(а):

Поскольку углов, допускающих трисекцию, счётное число, можно их строить один за другим и сравнивать с исходным. Тогда уточним.

Вопрос 1'. Можно ли ответить на вопрос 1 за конечное число шагов?
Вопрос 2'. Можно ли построить трисекцию за ограниченное число шагов не зависящее от угла.

Просьба дать ответить "да", "нет"

Любой алгоритм в конечном итоге сводится к следующему: за конечное число шагов построить две точки и в зависимости от того, совпадают они или нет, дать ответ. При этом ветвление алгоритма тоже возможно только на основании проверки совпадения двух точек (ну или большего числа, но это можно свести к двум).

В конечном итоге, результат любой подобной проверки можно записать как равенство или не равенство нулю какой-нибудь очень сложной алгебраической функции от угла (более точно, допустим что от синуса и косинуса угла), но эта функция будет какой-то конечной степени.

Алгебраических функций, равных нулю на плотном множестве и не равных нулю тоже на плотном множестве, не бывает.

snoopy в сообщении #1297097 писал(а):

указать, что именно в данном посте допускает двусмысленность.

Я воспользовался некоторыми предположениями о том, какими свойствами может обладать построение за конечное число шагов, но если эти свойства не кажутся естественными, сформулируйте более точное определение на языке множеств, отображений, и функций, и тогда можно будет понять, переносятся ли эти рассуждения на это определение.

snoopy в сообщении #1297097 писал(а):

с указанием литературы, где разобраны конкретно эти формулировки

Не знаю.