задача на линейную зависимость(Кострикин)

[van4ugun]

Задача: доказать, что если $a_1$, $a_2$, $a_3$ линейно зависимы и $a_3$ не выражается линейно через $a_1$ и $a_2$, то $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем.
Правильно ли я понял задачу, что если $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем, то $a_1=a_2 x$, где $x $ - множитель? В таком случае, по распределительному свойству, можем записать $a_2(x + 1) + a_3 = 0$. Далее можно переписать $a_2(x + 1) = -a_3$, а это противоречит условию!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

van4ugun в сообщении #1284003 писал(а):

если $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем, то $a_1=a_2 x$, где $x $ - множитель?

Вы не можете так записать, т.к. это надо доказать, да и Вы забываете далее подставлять множители перед $a_i$

ЗапишИте, что означает линейная зависимость $a_1,a_2,a_3$, потом подумайте, при каком условии $a_3$ не выразится линейно через два остальных

[svv]

van4ugun в сообщении #1284003 писал(а):

Правильно ли я понял задачу, что если $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем, то $a_1=a_2 x$, где $x$ - множитель?

Нет. Представьте, что $a_1$ и $a_3$ линейно независимы, $a_2=0$.

-- Вс янв 14, 2018 17:50:02 --

Моё замечание нужно пояснить?

[van4ugun]

векторы $a_1, a_2, a_3$ линейно зависимы, если существуют такие $x_1, x_2, x_3$, что справедливо равенство:
$x_1a_1 + x_2a_2 + x_3a_3 = 0$. По условию, система векторов линейно зависима. Если попытаться выразить $a_3$, получим $a_3 = (x_1a_1 +x_2a_2)/x_3$. Получается, $a_3$ не выражается, если его множитель равен 0. Но в таком случае можно записать
$x_1a_1 = x_2a_2$, далее, поделив обе части на $x_1$, получим $a_1 = a_2x_2/x_1$. Поправьте если где ошибка
svv, понял свою ошибку, спасибо за замечание

[thething]

van4ugun в сообщении #1284036 писал(а):

существуют такие $x_1, x_2, x_3$, что справедливо равенство

Про них надо что-то еще сказать, плюс линейная зависимость может быть, если хотя бы один из векторов нулевой. Еще, вдруг $x_1=0$?

[svv]

van4ugun в сообщении #1284036 писал(а):

Получается, $a_3$ не выражается, если его множитель равен 0.

Вообще говоря, нет. Пусть
$a_1=(3, 12), a_2=(1, 4), a_3=(6, 24)$
Векторы $a_1,a_2,a_3$ линейно зависимы:
$1a_1-3a_2+0a_3=0$
Коэффициент при $a_3$ равен нулю. Тем не менее, $a_3$ прекрасно выражается через $a_1, a_2$:
$a_3=7a_1-15a_2$
P.S. Немного изменил пример.

-- Вс янв 14, 2018 18:40:28 --

van4ugun в сообщении #1284003 писал(а):

$a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем

По неписаному соглашению это означает: либо $a_1=xa_2$, либо $a_2=xa_1$. Эквивалентная формулировка: $x_1a_1=x_2a_2$, где множители $x_1, x_2$ не равны нулю одновременно.

[van4ugun]

Невозможность разложения $a_3$ через $a_1$ и $a_2$ означает, что система $y_1a_1 + y_2a_2 = a_3$(где $y_1, y_2$ - любые числа) не имеет решений. А это значит, что определитель матрицы коэффициентов должен быть не равным 0. В правильном направлении смотрю?

[svv]

Давайте вернёмся к этому сообщению, только будем формулировать утверждения аккуратнее.

Допустим, $x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=0$, где не все иксы нулевые, но $x_3=0$. В то же время, может существовать и другая линейная комбинация
$y_1a_1+y_2a_2+y_3a_3=0\,,\;y_3\neq 0$.
В моём примере: $1a_1-3a_2+0a_3=0$, но также $7a_1-15a_2-1a_3=0$.
Тогда, очевидно, $a_3$ выражается через $a_1,a_2$.

Вектор $a_3$ не выражается линейно через $a_1, a_2$, когда в любой линейной комбинации $a_1,a_2,a_3$, равной нулевому вектору, перед $a_3$ всегда нуль. В то же время, в нашей задаче среди них есть нетривиальная. Сделайте выводы.

[vpb]

van4ugun в сообщении #1284036 писал(а):

векторы $a_1, a_2, a_3$ линейно зависимы, если существуют такие $x_1, x_2, x_3$, что справедливо равенство:
$x_1a_1 + x_2a_2 + x_3a_3 = 0$. По условию, система векторов линейно зависима. Если попытаться выразить $a_3$, получим $a_3 = (x_1a_1 +x_2a_2)/x_3$. Получается, $a_3$ не выражается, если его множитель равен 0. Но в таком случае можно записать
$x_1a_1 = x_2a_2$, далее, поделив обе части на $x_1$, получим $a_1 = a_2x_2/x_1$. Поправьте если где ошибка

van4ugun,
всё правильно, только недостаточно аккуратно. Вы пропускаете логические связки и т.д. Сейчас я Вам, для примеру, покажу, как можно написать более аккуратно. При этом, для понятности, я буду писать с преувеличенной (и сильно!) аккуратностью, которой в реальности от Вас не требуется. Причем буду писать нарочито суконным языком.
Определение. Векторы $v_1$, $v_2$, $v_3$ линейно зависимы, если существуют $x_1,x_2,x_3\in{\mathbb R}$, не равные одновременно нулю и такие, что $x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=0$.
Определение. Векторы $u$ и $v$ отличаются множителем, если существует $x$ такое, что $u=xv$, или существует $x$ такое, что $v=xu$.
Определение. Вектор $u$ выражается через $v$ и $w$, если существуют $x$, $y$ такие, что $u=xv+yw$.
Утверждение. Если векторы $a_1$, $a_2$ и $a_3$ линейно зависимы, и $a_3$ не выражается через $a_1$ и $a_2$, то $a_1$ и $a_2$ отличаются множителем.
Доказательство. Существуют $x_1$, $x_2$, $x_3$ такие, что $x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=0$, причем не все
$x_1$, $x_2$, $x_3$ равны нулю. Допустим, что $x_3\ne0$. Перенеся $x_1a_1+x_2a_2$ в правую часть и поделив соотношение на $x_3$, получим $a_3=-(x_1/x_3)a_1-(x_2/x_3)a_2$. Значит, $a_3$ выражается через $a_1$ и $a_2$, что противоречит условию. Поэтому $x_3=0$. Следовательно, $x_1a_1+x_2a_2=0$. Кроме того, по крайней мере одно из $x_1$ и $x_2$ отлично от нуля. Допустим, что $x_1\ne0$. Тогда $a_1=(-x_2/x_1)a_2$, значит $a_1$ и $a_2$ отличаются множителем. Аналогично рассуждаем в случае, когда $x_2\ne0$.
Утверждение доказано.

Первая Ваша попытка --- это была, скажем так, чепуха, вторая --- на "4 с плюсом" по пятибалльной системе.
В общем, читайте учебники, другие книжки, журналы "Квант", смотрите как люди пишут, со временем и сами научитесь.

[van4ugun]

Всем спасибо за помощь, vpb отдельное спасибо за развернутый ответ. Уточнил доказательство, со всеми замечаниями, попутно подглядев у Кострикина. Получилось как у vpb