2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 17:19 


14/01/18
6
Задача: доказать, что если $a_1$, $a_2$, $a_3$ линейно зависимы и $a_3$ не выражается линейно через $a_1$ и $a_2$, то $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем.
Правильно ли я понял задачу, что если $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем, то $a_1=a_2 x$, где $x $ - множитель? В таком случае, по распределительному свойству, можем записать $a_2(x + 1) + a_3 = 0$. Далее можно переписать $a_2(x + 1) = -a_3$, а это противоречит условию!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.01.2018, 17:22 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.01.2018, 18:10 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
van4ugun в сообщении #1284003 писал(а):
если $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем, то $a_1=a_2 x$, где $x $ - множитель?


Вы не можете так записать, т.к. это надо доказать, да и Вы забываете далее подставлять множители перед $a_i$

ЗапишИте, что означает линейная зависимость $a_1,a_2,a_3$, потом подумайте, при каком условии $a_3$ не выразится линейно через два остальных

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 18:32 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
van4ugun в сообщении #1284003 писал(а):
Правильно ли я понял задачу, что если $a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем, то $a_1=a_2 x$, где $x$ - множитель?
Нет. Представьте, что $a_1$ и $a_3$ линейно независимы, $a_2=0$.

-- Вс янв 14, 2018 17:50:02 --

Моё замечание нужно пояснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 18:51 


14/01/18
6
векторы $a_1, a_2, a_3$ линейно зависимы, если существуют такие $x_1, x_2, x_3$, что справедливо равенство:
$x_1a_1 + x_2a_2 + x_3a_3 = 0$. По условию, система векторов линейно зависима. Если попытаться выразить $a_3$, получим $a_3 = (x_1a_1 +x_2a_2)/x_3$. Получается, $a_3$ не выражается, если его множитель равен 0. Но в таком случае можно записать
$x_1a_1 = x_2a_2$, далее, поделив обе части на $x_1$, получим $a_1 = a_2x_2/x_1$. Поправьте если где ошибка
svv, понял свою ошибку, спасибо за замечание

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
van4ugun в сообщении #1284036 писал(а):
существуют такие $x_1, x_2, x_3$, что справедливо равенство

Про них надо что-то еще сказать, плюс линейная зависимость может быть, если хотя бы один из векторов нулевой. Еще, вдруг $x_1=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 19:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
van4ugun в сообщении #1284036 писал(а):
Получается, $a_3$ не выражается, если его множитель равен 0.
Вообще говоря, нет. Пусть
$a_1=(3, 12), a_2=(1, 4), a_3=(6, 24)$
Векторы $a_1,a_2,a_3$ линейно зависимы:
$1a_1-3a_2+0a_3=0$
Коэффициент при $a_3$ равен нулю. Тем не менее, $a_3$ прекрасно выражается через $a_1, a_2$:
$a_3=7a_1-15a_2$
P.S. Немного изменил пример.

-- Вс янв 14, 2018 18:40:28 --

van4ugun в сообщении #1284003 писал(а):
$a_1$ и $a_2$ отличаются только множителем
По неписаному соглашению это означает: либо $a_1=xa_2$, либо $a_2=xa_1$. Эквивалентная формулировка: $x_1a_1=x_2a_2$, где множители $x_1, x_2$ не равны нулю одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 20:19 


14/01/18
6
Невозможность разложения $a_3$ через $a_1$ и $a_2$ означает, что система $y_1a_1 + y_2a_2  = a_3$(где $y_1, y_2$ - любые числа) не имеет решений. А это значит, что определитель матрицы коэффициентов должен быть не равным 0. В правильном направлении смотрю?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение14.01.2018, 20:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Давайте вернёмся к этому сообщению, только будем формулировать утверждения аккуратнее.

Допустим, $x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=0$, где не все иксы нулевые, но $x_3=0$. В то же время, может существовать и другая линейная комбинация
$y_1a_1+y_2a_2+y_3a_3=0\,,\;y_3\neq 0$.
В моём примере: $1a_1-3a_2+0a_3=0$, но также $7a_1-15a_2-1a_3=0$.
Тогда, очевидно, $a_3$ выражается через $a_1,a_2$.

Вектор $a_3$ не выражается линейно через $a_1, a_2$, когда в любой линейной комбинации $a_1,a_2,a_3$, равной нулевому вектору, перед $a_3$ всегда нуль. В то же время, в нашей задаче среди них есть нетривиальная. Сделайте выводы.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение15.01.2018, 14:41 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
van4ugun в сообщении #1284036 писал(а):
векторы $a_1, a_2, a_3$ линейно зависимы, если существуют такие $x_1, x_2, x_3$, что справедливо равенство:
$x_1a_1 + x_2a_2 + x_3a_3 = 0$. По условию, система векторов линейно зависима. Если попытаться выразить $a_3$, получим $a_3 = (x_1a_1 +x_2a_2)/x_3$. Получается, $a_3$ не выражается, если его множитель равен 0. Но в таком случае можно записать
$x_1a_1 = x_2a_2$, далее, поделив обе части на $x_1$, получим $a_1 = a_2x_2/x_1$. Поправьте если где ошибка


van4ugun,
всё правильно, только недостаточно аккуратно. Вы пропускаете логические связки и т.д. Сейчас я Вам, для примеру, покажу, как можно написать более аккуратно. При этом, для понятности, я буду писать с преувеличенной (и сильно!) аккуратностью, которой в реальности от Вас не требуется. Причем буду писать нарочито суконным языком.
Определение. Векторы $v_1$, $v_2$, $v_3$ линейно зависимы, если существуют $x_1,x_2,x_3\in{\mathbb R}$, не равные одновременно нулю и такие, что $x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=0$.
Определение. Векторы $u$ и $v$ отличаются множителем, если существует $x$ такое, что $u=xv$, или существует $x$ такое, что $v=xu$.
Определение. Вектор $u$ выражается через $v$ и $w$, если существуют $x$, $y$ такие, что $u=xv+yw$.
Утверждение. Если векторы $a_1$, $a_2$ и $a_3$ линейно зависимы, и $a_3$ не выражается через $a_1$ и $a_2$, то $a_1$ и $a_2$ отличаются множителем.
Доказательство. Существуют $x_1$, $x_2$, $x_3$ такие, что $x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=0$, причем не все
$x_1$, $x_2$, $x_3$ равны нулю. Допустим, что $x_3\ne0$. Перенеся $x_1a_1+x_2a_2$ в правую часть и поделив соотношение на $x_3$, получим $a_3=-(x_1/x_3)a_1-(x_2/x_3)a_2$. Значит, $a_3$ выражается через $a_1$ и $a_2$, что противоречит условию. Поэтому $x_3=0$. Следовательно, $x_1a_1+x_2a_2=0$. Кроме того, по крайней мере одно из $x_1$ и $x_2$ отлично от нуля. Допустим, что $x_1\ne0$. Тогда $a_1=(-x_2/x_1)a_2$, значит $a_1$ и $a_2$ отличаются множителем. Аналогично рассуждаем в случае, когда $x_2\ne0$.
Утверждение доказано.

Первая Ваша попытка --- это была, скажем так, чепуха, вторая --- на "4 с плюсом" по пятибалльной системе.
В общем, читайте учебники, другие книжки, журналы "Квант", смотрите как люди пишут, со временем и сами научитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на линейную зависимость(Кострикин)
Сообщение15.01.2018, 19:27 


14/01/18
6
Всем спасибо за помощь, vpb отдельное спасибо за развернутый ответ. Уточнил доказательство, со всеми замечаниями, попутно подглядев у Кострикина. Получилось как у vpb

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group