2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
pcyanide
Я написала вам решение в ЛС, раз уж вы жалуетесь на невезение! Но если хотите решить непременно сами -- не смотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 22:30 
Аватара пользователя


17/04/11
356
NNDeaz в сообщении #1281054 писал(а):
Я пытался умножать слева и справа на разные множители, чтобы получить равенство $x \cdot y = y \cdot x$, но не особо вышло. Какой здесь может быть другой подход? Сколько думал так и не удалось его найти.

Вы пишете выражения или рисуете абстрактные синтаксические деревья? Деревья легче читать, ими легче манипулировать, соответственно, быстрее перебираются цепочки алгебраических преобразований. :-)

Мне кажется, задача просто на перебор случаев, не требующая глубоких математических прозрений. Я использовал следующую технику: надо придумать выражение, в котором можно применить обе аксиомы так, чтобы места их применений пересекались.

provincialka в сообщении #1281225 писал(а):
pcyanide
Я написала вам решение в ЛС, раз уж вы жалуетесь на невезение! Но если хотите решить непременно сами -- не смотрите.

provincialka, а вы не хотите проверить моё решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
beroal
Если оно не очень длинное! И, конечно, в ЛС

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение09.01.2018, 19:42 


20/03/12
169
СПб
Что-то NNDeaz здесь не появляется. Как задачу решать я не знаю и мне интересно. Я вот смотрю на комментарии и не понимаю.

Mikhail_K в сообщении #1281058 писал(а):
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.


У нас уже дано в условии и первое и второе равенство, для любых $x$ и $y$. В чём же будет состоять содержание доказательства?

vpb в сообщении #1281163 писал(а):
Пусть $G$ --- группа, в которой $xx=e$ для любого $x$. Доказать, что тогда $xy=yx$ для любых $x$, $y$.


У нас для любых $x$ и $y$ действует $(x \cdot y ) \cdot y = x$. Возьмём и скажем, что $y=x$, получим $(x \cdot x ) \cdot x = x$ для любого $x$. Разве отсюда не следует, что $x\cdot x=e$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение09.01.2018, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2930
metelev в сообщении #1282709 писал(а):
У нас уже дано в условии и первое и второе равенство, для любых $x$ и $y$. В чём же будет состоять содержание доказательства?
Дано, что $z\cdot y=x$ $\Leftarrow$ $z=x\cdot y$, а я предлагаю доказать, что $z\cdot y=x$ $\Leftrightarrow$ $z=x\cdot y$. Видите разницу? Так же и со вторым следованием.

Впрочем, ниже я написал, что на самом деле это $\Leftrightarrow$ можно не доказывать. Можно пользоваться в точности тем, что дано (но - в той форме записи с $z$, которая у меня - и с $\Leftarrow$ вместо $\Leftrightarrow$). Также обратите внимание:
Mikhail_K в сообщении #1281212 писал(а):
Разумеется, в выписанных двух утверждениях можно вместо $x,y,z$ подставлять что-то другое. Или их же, но в другом порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение09.01.2018, 21:28 


13/06/10
133
metelev в сообщении #1282709 писал(а):
Что-то NNDeaz здесь не появляется. Как задачу решать я не знаю и мне интересно. Я вот смотрю на комментарии и не понимаю

У меня получилось с помощью подсказки от provincialka:
Цитата:
А ещё можно подставить вместо $x$ или $y$ какие-нибудь выражения. Например, произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение09.01.2018, 22:15 


20/03/12
169
СПб
Имеется $(x \cdot y ) \cdot y = x$

(а) Вводим обозначение $z=x\cdot y$ и записываем при помощи этого обозначения $z \cdot y = x$

(б) Теперь наоборот, если сказать, что $z \cdot y = x$, то умножив это равенство на $y$ получим $(z \cdot y)\cdot y = x\cdot y$. Откуда, учитывая исходное утверждение, можем записать $z=x\cdot y$.

Так?

Обратное я бы обозначил через $\omega$, чтобы не путаться: $\omega=y \cdot x$.

И дальше что куда можно подставить? При том, что я держу в уме: $x$ и $y$ здесь произвольные, а $z$ и $\omega$ от них зависят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение09.01.2018, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2930
metelev в сообщении #1282737 писал(а):
Так?
Да.
metelev в сообщении #1282737 писал(а):
При том, что я держу в уме: $x$ и $y$ здесь произвольные, а $z$ и $\omega$ от них зависят.
Вы зря это держите в уме. Акцент нужно сделать на другом.
Идея тут вот в чём.
Вы только что доказали утверждение $z\cdot y=x$ $\Leftrightarrow$ $z=x\cdot y$.
Или лучше в такой единообразной форме: $x=z\cdot y$ $\Leftrightarrow$ $z=x\cdot y$
Воспринимайте его как способ перейти от одного равенства к другому, эквивалентному.
Скажите, чем отличаются равенства слева и справа? В чём состоит этот переход от равенства слева к равенству справа? Этот переход можно делать со всеми подобными равенствами, потому что вместо $x$, $y$, $z$ сюда можно подставлять что угодно. Неважно, зависимые они или независимые.
Тот же вопрос про второе утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение09.01.2018, 23:02 


20/03/12
169
СПб
Mikhail_K
Понял, спасибо. В равенстве $z=x\cdot y$ можно переставить $z$ как с $x$, так и с $y$, что позволяет за три хода получить равенство $z=y\cdot x$ из тех же букв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение10.01.2018, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2930
metelev в сообщении #1282746 писал(а):
Mikhail_K
Понял, спасибо. В равенстве $z=x\cdot y$ можно переставить $z$ как с $x$, так и с $y$, что позволяет за три хода получить равенство $z=y\cdot x$ из тех же букв.
Да, именно это я и имел в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение14.01.2018, 02:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
metelev в сообщении #1282709 писал(а):
У нас для любых $x$ и $y$ действует $(x \cdot y ) \cdot y = x$. Возьмём и скажем, что $y=x$, получим $(x \cdot x ) \cdot x = x$ для любого $x$. Разве отсюда не следует, что $x\cdot x=e$?

А что такое $e$ и есть ли она? На множестве из трёх букв определим умножение: произведение любых двух разных есть оставшаяся, произведение буквы на себя есть эта же буква.
Тождества $yx\cdot x=y=x\cdot xy$ есть, а никаких единиц нету.
В группе с тождеством $xx=e$ коммутативность есть, но эти требования сильнее указанных тождеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение14.01.2018, 16:49 


20/03/12
169
СПб
bot
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение20.01.2018, 21:52 
Аватара пользователя


17/04/11
356
metelev в сообщении #1282746 писал(а):
В равенстве $z=x\cdot y$ можно переставить $z$ как с $x$, так и с $y$, что позволяет за три хода получить равенство $z=y\cdot x$ из тех же букв.

Теперь я не понял. Получится $x=z\cdot y$ и $y=x\cdot z$. Что дальше?

(spoiler)

Скажите, вы получаете на каком-то этапе $x=z\cdot (x\cdot z)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение20.01.2018, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2930
beroal в сообщении #1286002 писал(а):
Теперь я не понял. Получится $x=z\cdot y$ и $y=x\cdot z$. Что дальше?
Ну так в получившихся равенствах тоже можно делать такие перестановки.

Потому что вот в этих полученных нами эквивалентностях
Mikhail_K в сообщении #1281139 писал(а):
$$
x=z\cdot y\,\Leftrightarrow\,z=x\cdot y;
$$$$
x=y\cdot z\,\Leftrightarrow\,z=y\cdot x.
$$
вместо $x,y,z$ может стоять что угодно, в том числе те же самые $x,y,z$ в другом порядке.

-- 20.01.2018, 22:34 --

beroal в сообщении #1286002 писал(а):
Скажите, вы получаете на каком-то этапе $x=z\cdot (x\cdot z)$?
В моём решении на каждом этапе есть только равенства вида "одна буква умножить на другую букву равно третьей букве". Только эти буквы переставляются.

В решении provincialka такой этап есть, с точностью до обозначений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение21.01.2018, 18:32 


20/03/12
169
СПб
Поскольку вопрос beroal обращён ко мне, я тоже отвечу. Просто переставляем те пары, которые можем переставить. Непосредственно в произведении мы пока не имеем права множители переставлять, поэтому переставляем один из множителей с результатом умножения (а мы можем менять результат как с первым множителем так и со вторым, получая равносильное равенство) и таким образом добиваемся, чтобы поменялись буквы в произведении. Например, можно действовать так:

$z=x \cdot y \quad\Leftrightarrow\quad x=z \cdot y \quad\Leftrightarrow\quad y=z \cdot x \quad\Leftrightarrow\quad z=y \cdot x $

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group