Доказать коммутативность

[provincialka]

pcyanide
Я написала вам решение в ЛС, раз уж вы жалуетесь на невезение! Но если хотите решить непременно сами -- не смотрите.

[beroal]

NNDeaz в сообщении #1281054 писал(а):

Я пытался умножать слева и справа на разные множители, чтобы получить равенство $x \cdot y = y \cdot x$, но не особо вышло. Какой здесь может быть другой подход? Сколько думал так и не удалось его найти.

Вы пишете выражения или рисуете абстрактные синтаксические деревья? Деревья легче читать, ими легче манипулировать, соответственно, быстрее перебираются цепочки алгебраических преобразований.

Мне кажется, задача просто на перебор случаев, не требующая глубоких математических прозрений. Я использовал следующую технику: надо придумать выражение, в котором можно применить обе аксиомы так, чтобы места их применений пересекались.

provincialka в сообщении #1281225 писал(а):

pcyanide
Я написала вам решение в ЛС, раз уж вы жалуетесь на невезение! Но если хотите решить непременно сами -- не смотрите.

provincialka, а вы не хотите проверить моё решение?

[provincialka]

beroal
Если оно не очень длинное! И, конечно, в ЛС

[metelev]

Что-то NNDeaz здесь не появляется. Как задачу решать я не знаю и мне интересно. Я вот смотрю на комментарии и не понимаю.

Mikhail_K в сообщении #1281058 писал(а):

1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.

У нас уже дано в условии и первое и второе равенство, для любых $x$ и $y$. В чём же будет состоять содержание доказательства?

vpb в сообщении #1281163 писал(а):

Пусть $G$ --- группа, в которой $xx=e$ для любого $x$. Доказать, что тогда $xy=yx$ для любых $x$, $y$.

У нас для любых $x$ и $y$ действует $(x \cdot y ) \cdot y = x$. Возьмём и скажем, что $y=x$, получим $(x \cdot x ) \cdot x = x$ для любого $x$. Разве отсюда не следует, что $x\cdot x=e$?

[Mikhail_K]

metelev в сообщении #1282709 писал(а):

У нас уже дано в условии и первое и второе равенство, для любых $x$ и $y$. В чём же будет состоять содержание доказательства?

Дано, что $z\cdot y=x$ $\Leftarrow$ $z=x\cdot y$, а я предлагаю доказать, что $z\cdot y=x$ $\Leftrightarrow$ $z=x\cdot y$. Видите разницу? Так же и со вторым следованием.

Впрочем, ниже я написал, что на самом деле это $\Leftrightarrow$ можно не доказывать. Можно пользоваться в точности тем, что дано (но - в той форме записи с $z$, которая у меня - и с $\Leftarrow$ вместо $\Leftrightarrow$). Также обратите внимание:

Mikhail_K в сообщении #1281212 писал(а):

Разумеется, в выписанных двух утверждениях можно вместо $x,y,z$ подставлять что-то другое. Или их же, но в другом порядке.

[NNDeaz]

metelev в сообщении #1282709 писал(а):

Что-то NNDeaz здесь не появляется. Как задачу решать я не знаю и мне интересно. Я вот смотрю на комментарии и не понимаю

У меня получилось с помощью подсказки от provincialka:

Цитата:

А ещё можно подставить вместо $x$ или $y$ какие-нибудь выражения. Например, произведения.

[metelev]

Имеется $(x \cdot y ) \cdot y = x$

(а) Вводим обозначение $z=x\cdot y$ и записываем при помощи этого обозначения $z \cdot y = x$

(б) Теперь наоборот, если сказать, что $z \cdot y = x$, то умножив это равенство на $y$ получим $(z \cdot y)\cdot y = x\cdot y$. Откуда, учитывая исходное утверждение, можем записать $z=x\cdot y$.

Так?

Обратное я бы обозначил через $\omega$, чтобы не путаться: $\omega=y \cdot x$.

И дальше что куда можно подставить? При том, что я держу в уме: $x$ и $y$ здесь произвольные, а $z$ и $\omega$ от них зависят.

[Mikhail_K]

metelev в сообщении #1282737 писал(а):

Так?

Да.

metelev в сообщении #1282737 писал(а):

При том, что я держу в уме: $x$ и $y$ здесь произвольные, а $z$ и $\omega$ от них зависят.

Вы зря это держите в уме. Акцент нужно сделать на другом.
Идея тут вот в чём.
Вы только что доказали утверждение $z\cdot y=x$ $\Leftrightarrow$ $z=x\cdot y$.
Или лучше в такой единообразной форме: $x=z\cdot y$ $\Leftrightarrow$ $z=x\cdot y$
Воспринимайте его как способ перейти от одного равенства к другому, эквивалентному.
Скажите, чем отличаются равенства слева и справа? В чём состоит этот переход от равенства слева к равенству справа? Этот переход можно делать со всеми подобными равенствами, потому что вместо $x$, $y$, $z$ сюда можно подставлять что угодно. Неважно, зависимые они или независимые.
Тот же вопрос про второе утверждение.

[metelev]

Mikhail_K
Понял, спасибо. В равенстве $z=x\cdot y$ можно переставить $z$ как с $x$, так и с $y$, что позволяет за три хода получить равенство $z=y\cdot x$ из тех же букв.

[Mikhail_K]

metelev в сообщении #1282746 писал(а):

Mikhail_K
Понял, спасибо. В равенстве $z=x\cdot y$ можно переставить $z$ как с $x$, так и с $y$, что позволяет за три хода получить равенство $z=y\cdot x$ из тех же букв.

Да, именно это я и имел в виду.

[bot]

metelev в сообщении #1282709 писал(а):

У нас для любых $x$ и $y$ действует $(x \cdot y ) \cdot y = x$. Возьмём и скажем, что $y=x$, получим $(x \cdot x ) \cdot x = x$ для любого $x$. Разве отсюда не следует, что $x\cdot x=e$?

А что такое $e$ и есть ли она? На множестве из трёх букв определим умножение: произведение любых двух разных есть оставшаяся, произведение буквы на себя есть эта же буква.
Тождества $yx\cdot x=y=x\cdot xy$ есть, а никаких единиц нету.
В группе с тождеством $xx=e$ коммутативность есть, но эти требования сильнее указанных тождеств.

[metelev]

bot
Спасибо.

[beroal]

metelev в сообщении #1282746 писал(а):

В равенстве $z=x\cdot y$ можно переставить $z$ как с $x$, так и с $y$, что позволяет за три хода получить равенство $z=y\cdot x$ из тех же букв.

Теперь я не понял. Получится $x=z\cdot y$ и $y=x\cdot z$. Что дальше?

(spoiler)

Скажите, вы получаете на каком-то этапе $x=z\cdot (x\cdot z)$?

[Mikhail_K]

beroal в сообщении #1286002 писал(а):

Теперь я не понял. Получится $x=z\cdot y$ и $y=x\cdot z$. Что дальше?

Ну так в получившихся равенствах тоже можно делать такие перестановки.

Потому что вот в этих полученных нами эквивалентностях

Mikhail_K в сообщении #1281139 писал(а):

$$ x=z\cdot y\,\Leftrightarrow\,z=x\cdot y; $$

$$ x=y\cdot z\,\Leftrightarrow\,z=y\cdot x. $$

вместо $x,y,z$ может стоять что угодно, в том числе те же самые $x,y,z$ в другом порядке.

-- 20.01.2018, 22:34 --

beroal в сообщении #1286002 писал(а):

Скажите, вы получаете на каком-то этапе $x=z\cdot (x\cdot z)$?

В моём решении на каждом этапе есть только равенства вида "одна буква умножить на другую букву равно третьей букве". Только эти буквы переставляются.

В решении provincialka такой этап есть, с точностью до обозначений.

[metelev]

Поскольку вопрос beroal обращён ко мне, я тоже отвечу. Просто переставляем те пары, которые можем переставить. Непосредственно в произведении мы пока не имеем права множители переставлять, поэтому переставляем один из множителей с результатом умножения (а мы можем менять результат как с первым множителем так и со вторым, получая равносильное равенство) и таким образом добиваемся, чтобы поменялись буквы в произведении. Например, можно действовать так:

$z=x \cdot y \quad\Leftrightarrow\quad x=z \cdot y \quad\Leftrightarrow\quad y=z \cdot x \quad\Leftrightarrow\quad z=y \cdot x $