2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказать коммутативность
Сообщение03.01.2018, 22:40 


13/06/10
144
Здравствуйте, вопрос по задаче из учебника Кострикина:
Дана алгебраическая структура $(X,\cdot)$, в которой $(x \cdot y ) \cdot y = x$, $y \cdot (y \cdot x) = x $ для любых $x,y$ из $X$. Доказать, что $x \cdot y = y \cdot x$ для всех $x,y$ из $X$.

Я пытался умножать слева и справа на разные множители, чтобы получить равенство $x \cdot y = y \cdot x$, но не особо вышло. Какой здесь может быть другой подход? Сколько думал так и не удалось его найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение03.01.2018, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4609
Задача решается в два этапа.
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.
2) А уже с помощью этих утверждений доказывайте требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 03:57 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Какой-то софизм получается. Дано:
$$(x \cdot y ) \cdot y = x  \qquad (1)
$$
$$
y \cdot (y \cdot x) = x  \qquad (2)$$

Заменяя в (1) $x$ на $y$ и $y$ на $x$, приходим к:

$$(y \cdot x ) \cdot x = y  \qquad (1')$$

Умножим (1') слева на $y$, а (2) справа на $x$. Получим:

$$
y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = y \cdot y  \qquad(1'')
$$
$$
y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = x \cdot x    \qquad(2')
$$

Таким образом $y \cdot y = x \cdot x$!

Найдите ошибку. Объяснение ниже.

(Оффтоп)

Ошибки нет. В структуре может присутствовать нейтральный элемент (единица), причем каждое число обратно самому себе.
Даже если нет единицы, факт $xx=\operatorname{const}$ может быть ключом к решению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 04:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Единица равна единице. Что тут такого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 04:21 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Mikhail_K в сообщении #1281058 писал(а):
Задача решается в два этапа.
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.
2) А уже с помощью этих утверждений доказывайте требуемое.


1) действительно доказать несложно. Но следует ли отсюда требуемое ? Ведь $z$ не обязательно одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 04:46 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
pcyanide в сообщении #1281105 писал(а):
Умножим (1') слева на $y$, а (2) справа на $x$. Получим:

$$
y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = y \cdot y  \qquad(1'')
$$
$$
y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = x \cdot x    \qquad(2')
$$

Это некорректная запись. Мы не предполагаем заранее, что умножение ассоциативно. Нельзя писать $y\cdot(y\cdot x)\cdot x$, надо указывать расстановку скобок явно, например $(y\cdot(y\cdot x))\cdot x$ или $y\cdot((y\cdot x)\cdot x)$.

Dan B-Yallay в сообщении #1281106 писал(а):
Единица равна единице. Что тут такого?

Наша алгебраическая система не обязана быть группой, поэтому так понимать вопрос неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 05:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
vpb в сообщении #1281109 писал(а):
Наша алгебраическая система не обязана быть группой, поэтому так понимать вопрос неправильно.

Вы правы. Я по умолчанию предположил ассоциативность умножения, а это влечёт наличие единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 05:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Меня смущает, что это раздел ПРР, а обсуждение ведется без ТС... Так и до полного решения докатиться легко!

Задача, впрочем, олимпиадная, хотя и известная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 05:38 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
provincialka в сообщении #1281116 писал(а):
Задача, впрочем, олимпиадная, хотя и известная

Ну, она одновременно и слегка олимпиадная, а по большей части все таки учебная, имхо.
provincialka в сообщении #1281116 писал(а):
Меня смущает, что это раздел ПРР, а обсуждение ведется без ТС... Так и до полного решения докатиться легко!

Это pcyanide начал, а я его просто поправил, чтобы ТС не смущать лажею...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 05:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
NNDeaz в сообщении #1281054 писал(а):
Я пытался умножать слева и справа на разные множители, чтобы получить
А ещё можно подставить вместо $x$ или $y$ какие-нибудь выражения. Например, произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 07:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4609
Mikhail_K в сообщении #1281058 писал(а):
Задача решается в два этапа.
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.
2) А уже с помощью этих утверждений доказывайте требуемое.
pcyanide в сообщении #1281107 писал(а):
1) действительно доказать несложно. Но следует ли отсюда требуемое ? Ведь $z$ не обязательно одно и то же.
Разумеется, не обязательно (во всяком случае, априори этого предполагать нельзя).
Следует, только не в один шаг.

-- 04.01.2018, 08:06 --

Возможно, будет удобнее, если эти утверждения (доказанные в п.1) переписать единообразно:
$$
x=z\cdot y\,\Leftrightarrow\,z=x\cdot y;
$$$$
x=y\cdot z\,\Leftrightarrow\,z=y\cdot x.
$$

-- 04.01.2018, 08:25 --

Ого! А тут даже первый пункт не нужен оказывается.
В двух утверждениях выше достаточно использовать $\Leftarrow$, и не доказывая $\Leftrightarrow$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 10:23 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
NNDeaz
если Вам трудно решить эту задачу, попробуйте сначала более простую, примерно на ту же тему (как из одних тождеств выводить другие). Задача такая. Пусть $G$ --- группа, в которой $xx=e$ для любого $x$. Доказать, что тогда $xy=yx$ для любых $x$, $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
vpb в сообщении #1281120 писал(а):
она одновременно и слегка олимпиадная, а по большей части все таки учебная

Это зависит от факультета. Для мехмата, да ещё какого-нибудь "продвинутого" -- может и учебная. Но мы давали ее на олимпиаде, не скажу, что многие решали...

А если учебная -- давайте все-таки не решать её за ТС!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 15:03 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Mikhail_K в сообщении #1281139 писал(а):
В двух утверждениях выше достаточно использовать $\Leftarrow$, и не доказывая $\Leftrightarrow$.


Так $\Leftarrow$ ведь вытекает прямо из условия, не так ли. Именно в обратную сторону не вполне очевидно.

-- 04.01.2018, 22:07 --

provincialka в сообщении #1281122 писал(а):
А ещё можно подставить вместо $x$ или $y$ какие-нибудь выражения. Например, произведения.

Уже пробовал — без результата. Выхожу на тривиальнoе: $x \cdot y = x \cdot y$. Может кому-то повезет больше :-)

-- 04.01.2018, 22:19 --

vpb в сообщении #1281163 писал(а):
Пусть $G$ --- группа, в которой $xx=e$ для любого $x$. Доказать, что тогда $xy=yx$ для любых $x$, $y$.


Проблема именно в том, что у нас не группа, то есть нет ассоциативности. Если допустить ассоциативность, то $xx=e$ вытекает сразу из условия.

Кстати, есть такое понятие, как инволютивная матрица, т.е. матрица, обратная себе. Если рассмотреть подгруппу инволютивных матриц, будет она коммутативна? Признаться, верится с трудом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать коммутативность
Сообщение04.01.2018, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4609
pcyanide в сообщении #1281206 писал(а):
Так $\Leftarrow$ ведь вытекает прямо из условия, не так ли. Именно в обратную сторону не вполне очевидно.
Вот я и говорю, что можно обойтись без доказательства этого самого "не вполне очевидного".

Разумеется, в выписанных двух утверждениях можно вместо $x,y,z$ подставлять что-то другое. Или их же, но в другом порядке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group