Доказать коммутативность

[NNDeaz]

Здравствуйте, вопрос по задаче из учебника Кострикина:
Дана алгебраическая структура $(X,\cdot)$, в которой $(x \cdot y ) \cdot y = x$, $y \cdot (y \cdot x) = x $ для любых $x,y$ из $X$. Доказать, что $x \cdot y = y \cdot x$ для всех $x,y$ из $X$.

Я пытался умножать слева и справа на разные множители, чтобы получить равенство $x \cdot y = y \cdot x$, но не особо вышло. Какой здесь может быть другой подход? Сколько думал так и не удалось его найти.

[Mikhail_K]

Задача решается в два этапа.
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.
2) А уже с помощью этих утверждений доказывайте требуемое.

[pcyanide]

Какой-то софизм получается. Дано:

$$(x \cdot y ) \cdot y = x \qquad (1) $$ $$ y \cdot (y \cdot x) = x \qquad (2)$$

Заменяя в (1) $x$ на $y$ и $y$ на $x$, приходим к:

$$(y \cdot x ) \cdot x = y \qquad (1')$$

Умножим (1') слева на $y$, а (2) справа на $x$. Получим:

$$ y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = y \cdot y \qquad(1'') $$ $$ y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = x \cdot x \qquad(2') $$

Таким образом $y \cdot y = x \cdot x$!

Найдите ошибку. Объяснение ниже.

(Оффтоп)

Ошибки нет. В структуре может присутствовать нейтральный элемент (единица), причем каждое число обратно самому себе.
Даже если нет единицы, факт $xx=\operatorname{const}$ может быть ключом к решению.

[Dan B-Yallay]

Единица равна единице. Что тут такого?

[pcyanide]

Mikhail_K в сообщении #1281058 писал(а):

Задача решается в два этапа.
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.
2) А уже с помощью этих утверждений доказывайте требуемое.

1) действительно доказать несложно. Но следует ли отсюда требуемое ? Ведь $z$ не обязательно одно и то же.

[vpb]

pcyanide в сообщении #1281105 писал(а):

Умножим (1') слева на $y$, а (2) справа на $x$. Получим:

$$ y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = y \cdot y \qquad(1'') $$

$$ y \cdot (y \cdot x ) \cdot x = x \cdot x \qquad(2') $$

Это некорректная запись. Мы не предполагаем заранее, что умножение ассоциативно. Нельзя писать $y\cdot(y\cdot x)\cdot x$, надо указывать расстановку скобок явно, например $(y\cdot(y\cdot x))\cdot x$ или $y\cdot((y\cdot x)\cdot x)$.

Dan B-Yallay в сообщении #1281106 писал(а):

Единица равна единице. Что тут такого?

Наша алгебраическая система не обязана быть группой, поэтому так понимать вопрос неправильно.

[Dan B-Yallay]

vpb в сообщении #1281109 писал(а):

Наша алгебраическая система не обязана быть группой, поэтому так понимать вопрос неправильно.

Вы правы. Я по умолчанию предположил ассоциативность умножения, а это влечёт наличие единицы.

[provincialka]

Меня смущает, что это раздел ПРР, а обсуждение ведется без ТС... Так и до полного решения докатиться легко!

Задача, впрочем, олимпиадная, хотя и известная.

[vpb]

provincialka в сообщении #1281116 писал(а):

Задача, впрочем, олимпиадная, хотя и известная

Ну, она одновременно и слегка олимпиадная, а по большей части все таки учебная, имхо.

provincialka в сообщении #1281116 писал(а):

Меня смущает, что это раздел ПРР, а обсуждение ведется без ТС... Так и до полного решения докатиться легко!

Это pcyanide начал, а я его просто поправил, чтобы ТС не смущать лажею...

[provincialka]

NNDeaz в сообщении #1281054 писал(а):

Я пытался умножать слева и справа на разные множители, чтобы получить

А ещё можно подставить вместо $x$ или $y$ какие-нибудь выражения. Например, произведения.

[Mikhail_K]

Mikhail_K в сообщении #1281058 писал(а):

Задача решается в два этапа.
1) Докажите, что $z\cdot y=x$ тогда и только тогда, когда $z=x\cdot y$.
Докажите, что $y\cdot z=x$ тогда и только тогда, когда $z=y\cdot x$.
2) А уже с помощью этих утверждений доказывайте требуемое.

pcyanide в сообщении #1281107 писал(а):

1) действительно доказать несложно. Но следует ли отсюда требуемое ? Ведь $z$ не обязательно одно и то же.

Разумеется, не обязательно (во всяком случае, априори этого предполагать нельзя).
Следует, только не в один шаг.

-- 04.01.2018, 08:06 --

Возможно, будет удобнее, если эти утверждения (доказанные в п.1) переписать единообразно:

$$ x=z\cdot y\,\Leftrightarrow\,z=x\cdot y; $$

$$ x=y\cdot z\,\Leftrightarrow\,z=y\cdot x. $$

-- 04.01.2018, 08:25 --

Ого! А тут даже первый пункт не нужен оказывается.
В двух утверждениях выше достаточно использовать $\Leftarrow$, и не доказывая $\Leftrightarrow$.

[vpb]

NNDeaz
если Вам трудно решить эту задачу, попробуйте сначала более простую, примерно на ту же тему (как из одних тождеств выводить другие). Задача такая. Пусть $G$ --- группа, в которой $xx=e$ для любого $x$. Доказать, что тогда $xy=yx$ для любых $x$, $y$.

[provincialka]

vpb в сообщении #1281120 писал(а):

она одновременно и слегка олимпиадная, а по большей части все таки учебная

Это зависит от факультета. Для мехмата, да ещё какого-нибудь "продвинутого" -- может и учебная. Но мы давали ее на олимпиаде, не скажу, что многие решали...

А если учебная -- давайте все-таки не решать её за ТС!

[pcyanide]

Mikhail_K в сообщении #1281139 писал(а):

В двух утверждениях выше достаточно использовать $\Leftarrow$, и не доказывая $\Leftrightarrow$.

Так $\Leftarrow$ ведь вытекает прямо из условия, не так ли. Именно в обратную сторону не вполне очевидно.

-- 04.01.2018, 22:07 --

provincialka в сообщении #1281122 писал(а):

А ещё можно подставить вместо $x$ или $y$ какие-нибудь выражения. Например, произведения.

Уже пробовал — без результата. Выхожу на тривиальнoе: $x \cdot y = x \cdot y$. Может кому-то повезет больше

-- 04.01.2018, 22:19 --

vpb в сообщении #1281163 писал(а):

Пусть $G$ --- группа, в которой $xx=e$ для любого $x$. Доказать, что тогда $xy=yx$ для любых $x$, $y$.

Проблема именно в том, что у нас не группа, то есть нет ассоциативности. Если допустить ассоциативность, то $xx=e$ вытекает сразу из условия.

Кстати, есть такое понятие, как инволютивная матрица, т.е. матрица, обратная себе. Если рассмотреть подгруппу инволютивных матриц, будет она коммутативна? Признаться, верится с трудом.

[Mikhail_K]

pcyanide в сообщении #1281206 писал(а):

Так $\Leftarrow$ ведь вытекает прямо из условия, не так ли. Именно в обратную сторону не вполне очевидно.

Вот я и говорю, что можно обойтись без доказательства этого самого "не вполне очевидного".

Разумеется, в выписанных двух утверждениях можно вместо $x,y,z$ подставлять что-то другое. Или их же, но в другом порядке.