Ладненько. Рассмотрим что где и как работает при синхронизации часов. А то я чувствую, что скоро появится тезис о том, что под горизонтом часы зависнуть в точке с постоянным

физически не могут.
Итак, задача - синхронизировать часы при построении координат Шварцшильда. Её можно сформулировать и по другому. Пространство-время надо соответствующим образом разметить.
Для простоты ограничимся одним радиусом.
Пусть возле горизонта, над ним, и где-то далеко, далеко, в районе бесконечности находятся часы. И эти часы посылают навстречу друг другу световые сигналы через равные промежутки времени. В результате получим следующую картинку (в черепашьих координатах)

Наклонные линии это мировые линии световых сигналов. Как видим, разметка получилась. Можно проверить правильная ли она. Сигнал

приходит в точку

на радиусе (на рисунке вертикальная линия). Его можно считать посланным от часов

(физически эти часы могут находиться в этой точке, а могут и не находится). Это момент времени

. Затем из точки

он двигается к точке

и достигает её в момент времени

. Одновременно с ним в эту точку приходи сигнал

. Его можно считать отраженным сигналом. Дальше этот сигнал движется к точке

и достигает её в момент времени

. Теперь только остается проверить, выполняются ли условия синхронизации. Если да, то разметка правильная. Вполне очевидно, что сигнал

в точку

приходит позже, чем в точку

, а сигнал

приходит в точку

позже, чем в точку

.
Гипотетически мы можем продолжить мировые линии световых сигналов под горизонт. Ведь говорят, что сингулярность на горизонте координатная, а не физическая. В результате для области под горизонтом получаем аналогичную картинку (тоже в черепашьих координатах, в них рисовать проще):

Жирная вертикальная линия это центральная сингулярность.
Проверяем правильно ли здесь размечено. Сигнал

приходит в точку

на радиусе. Его можно считать посланным от часов

. Это момент времени

. Затем из точки

он двигается к точке

и достигает её в момент времени

. Одновременно с ним в эту точку приходи сигнал

. Его можно считать отраженным сигналом. Дальше этот сигнал движется к точке

и достигает её в момент времени

. Теперь только остается проверить, выполняются ли условия синхронизации. Если да, то разметка правильная. Опять же, сигнал

в точку

приходит позже, чем в точку

, а сигнал

приходит в точку

позже, чем в точку

.
Как видите, всё работает и над горизонтом, и под горизонтом. И данная разметка позволяет в принципе определить координату любого события и там, и там.
А теперь по поводу смены знака скорости падающих и вылетающих фотонов на горизонте.
Ну не может она меняться. Тогда окажется что

, хотя при помощи тех же самых фотонов мы разметили пространство-время так, что

.
Почему же решили, что знак скорости меняется?
Пошло это вот откуда.
Решили задачу о координатной скорости фотона над горизонтом. Получили

для вылетающего фотона (

увеличивается с течением времени) и

для падающего фотона (

уменьшается с течение времени). А после этого предположили, что

для одного и того же фотона описывается одной и той же функцией как над горизонтом, так и под ним.
И я не встречал обоснования этого предположения.