Некоторые странности ОТО

[Erleker]

Все утверждения именно для радиального движения фотонов.

[realeugene]

Один луч в координатах Леметра выходит во внешность Шваршильда. Второй бесконечно приближается изнутри к горизонту, не пересекая его. А какая часть конуса прошлого для рассматриваемого события под горизонтом никогда не пересекает горизонт в координатах Леметра?

[epros]

monky99 в сообщении #1282908 писал(а):

Если я правильно Вас понял, вы считаете, что над горизонтом скорость падающего фотона отрицательна, а под горизонтом она становится положительной. Тогда следующий вопрос. А почему Вы решили, что над горизонтом она отрицательна?

Чтобы такие вопросы не сбивали с толку, величину $\frac{dr}{dt}$ лучше не называть "скоростью фотона". В крайнем случае можно - как в постановке задачи - назвать её "координатной скоростью", однако твёрдо держа в голове, что на самом деле никакой скоростью движения чего бы то ни было относительно какой бы то ни было системы отсчёта сия величина не является.

Поэтому тот факт, что для "падающего" фотона $\frac{dr}{dt}$ отрицательна над горизонтом и положительна под горизонтом никого не должен удивлять. "Падающим" этот фотон можно считать в силу того факта, что его мировая линия пересекает горизонт в направлении снаружи внутрь.

[monky99]

Erleker в сообщении #1282909 писал(а):

Над горизонтом $r$ уменьшается с течением $t$.
Под горизонтом есть, в силу разрывности (это уже другая карта), произвол в выборе знака у $t$ (уже пространственной координаты). Я ответил по тому, как выбран знак у МТУ на рисунке.

А давайте не вдаваться в высокие материи и просто вспомним каким образом построены координаты Шварцшильда. А именно, каким образом синхронизируются часы. Мы посылаем световой сигнал от часов $A$ к часам $B$, там он отражается и возвращается к часам $A$. Часы считаются синхронизированными, если $(t_A_2-t_A_1)/2=t_B$. Это можно назвать первым координатным условием. Но есть еще второе условие, которое настолько привычно для нас, что его обычно никто не озвучивает. Исходя из принципа причинности (следствие происходит позже причины) возвращение светового сигнала к часам $A$ происходит позже, чем посылка светового сигнала. Этот факт математически выражается $t_A_2>t_A_1$, т.е. часы запущенны соответствующим образом. Мы так привыкли. Хотя ничто не мешает запустить часы в обратном направлении и временную координату при их помощи можно определять не хуже, чем обычными. Но это будет уже другая система координат. Это условие можно назвать вторым координатным условие. Из него следует, что $t_B>t_A_1$

Таким образом, ответ на поставленную в первом сообщении задачу должен быть: $dr/dt=-1$

Это мой вариант решения данной задачи. Какие будут возражения?

[monky99]

epros в сообщении #1283355 писал(а):

Чтобы такие вопросы не сбивали с толку, величину $\frac{dr}{dt}$ лучше не называть "скоростью фотона". В крайнем случае можно - как в постановке задачи - назвать её "координатной скоростью", однако твёрдо держа в голове, что на самом деле никакой скоростью движения чего бы то ни было относительно какой бы то ни было системы отсчёта сия величина не является.

Эк, как Вы загнули, однако. Я прошу прощения, но после прочтения этого отрывка вспомнилась фраза: "В действительности всё не так, как на самом деле."
По крайней мере над горизотом $\frac{dr}{dt}$ это именно координатная скорость. Показывает насколько сильно изменяется координата, в данном случае фотона, $r$ с течением времени.
Если вы с этим не согласны, то приведите определение скорости и покажите почему данная величина под это определение не подпадает.
А может не будем вдаваться в терминологические тонкости и поговорим по существу?

[Geen]

monky99 в сообщении #1283396 писал(а):

А именно, каким образом синхронизируются часы. Мы посылаем световой сигнал от часов $A$ к часам $B$, там он отражается и возвращается к часам $A$. Часы считаются синхронизированными, если $(t_A_2-t_A_1)/2=t_B$.

Это может работать только над горизонтом.

[monky99]

Geen в сообщении #1283417 писал(а):

Это может работать только над горизонтом.

А можно подробнее?

[Geen]

monky99 в сообщении #1283419 писал(а):

Geen в сообщении #1283417 писал(а):

Это может работать только над горизонтом.

А можно подробнее?

Уже ж писали выше - под горизонтом координата $t$ не является временем.
Не говоря уж о том, что Система Координат, сама по себе, вовсе не требует никакой синхронизации... (см. учебники по дифференциальной геометрии)

[monky99]

Geen в сообщении #1283428 писал(а):

Не говоря уж о том, что Система Координат, сама по себе, вовсе не требует никакой синхронизации... (см. учебники по дифференциальной геометрии)

Наверное Система Координат (любопытно, почему с большой буквы?), сама по себе, вовсе не требует и измерения площади сферы для определения $r$. Неужто Система Координат это нечто данное нам свыше, так сказать, от Бога? Почему же в учебниках тратят время на описание того, как построить координаты Шварцшильда? Может быть потому, что математика это математика, а физика это физика? И в физике необходима процедура соотнесения математических моделей с наблюдаемой реальностью, без которой физика перестанет быть физикой?

Geen в сообщении #1283428 писал(а):

Уже ж писали выше - под горизонтом координата $t$ не является временем.

Является временем, не является временем... Какая разница? Если мы работаем в некоторой системе координат, то должны иметь процедуру, которая позволяет присвоить каждому событию эти самые координаты. Если этой процедуры нет, то всё остальное становится не более чем бла-бла-бла.

[monky99]

Ладненько. Рассмотрим что где и как работает при синхронизации часов. А то я чувствую, что скоро появится тезис о том, что под горизонтом часы зависнуть в точке с постоянным $r$ физически не могут.
Итак, задача - синхронизировать часы при построении координат Шварцшильда. Её можно сформулировать и по другому. Пространство-время надо соответствующим образом разметить.
Для простоты ограничимся одним радиусом.
Пусть возле горизонта, над ним, и где-то далеко, далеко, в районе бесконечности находятся часы. И эти часы посылают навстречу друг другу световые сигналы через равные промежутки времени. В результате получим следующую картинку (в черепашьих координатах)

Наклонные линии это мировые линии световых сигналов. Как видим, разметка получилась. Можно проверить правильная ли она. Сигнал $1$ приходит в точку $A$ на радиусе (на рисунке вертикальная линия). Его можно считать посланным от часов $A$ (физически эти часы могут находиться в этой точке, а могут и не находится). Это момент времени $t_A_1$. Затем из точки $A$ он двигается к точке $B$ и достигает её в момент времени $t_B$. Одновременно с ним в эту точку приходи сигнал $2$. Его можно считать отраженным сигналом. Дальше этот сигнал движется к точке $A$ и достигает её в момент времени $t_A_2$. Теперь только остается проверить, выполняются ли условия синхронизации. Если да, то разметка правильная. Вполне очевидно, что сигнал $1$ в точку $B$ приходит позже, чем в точку $A$, а сигнал $2$ приходит в точку $A$ позже, чем в точку $B$.

Гипотетически мы можем продолжить мировые линии световых сигналов под горизонт. Ведь говорят, что сингулярность на горизонте координатная, а не физическая. В результате для области под горизонтом получаем аналогичную картинку (тоже в черепашьих координатах, в них рисовать проще):


Жирная вертикальная линия это центральная сингулярность.
Проверяем правильно ли здесь размечено. Сигнал $3$ приходит в точку $C$ на радиусе. Его можно считать посланным от часов $C$. Это момент времени $t_C_1$. Затем из точки $C$ он двигается к точке $D$ и достигает её в момент времени $t_D$. Одновременно с ним в эту точку приходи сигнал $4$. Его можно считать отраженным сигналом. Дальше этот сигнал движется к точке $C$ и достигает её в момент времени $t_C_2$. Теперь только остается проверить, выполняются ли условия синхронизации. Если да, то разметка правильная. Опять же, сигнал $3$ в точку $D$ приходит позже, чем в точку $C$, а сигнал $4$ приходит в точку $C$ позже, чем в точку $D$.

Как видите, всё работает и над горизонтом, и под горизонтом. И данная разметка позволяет в принципе определить координату любого события и там, и там.

А теперь по поводу смены знака скорости падающих и вылетающих фотонов на горизонте.
Ну не может она меняться. Тогда окажется что $t_C_1>t_C_2$, хотя при помощи тех же самых фотонов мы разметили пространство-время так, что $t_C_1<t_C_2$.

Почему же решили, что знак скорости меняется?
Пошло это вот откуда.
Решили задачу о координатной скорости фотона над горизонтом. Получили $dr/dt=1-2M/r$ для вылетающего фотона ($r$ увеличивается с течением времени) и $dr/dt=2M/r-1$ для падающего фотона ($r$ уменьшается с течение времени). А после этого предположили, что $dr/dt$ для одного и того же фотона описывается одной и той же функцией как над горизонтом, так и под ним.
И я не встречал обоснования этого предположения.

[epros]

monky99 в сообщении #1283442 писал(а):

Неужто Система Координат это нечто данное нам свыше, так сказать, от Бога?

Нет, система координат - это нечто, заданное нами от балды.

monky99 в сообщении #1283442 писал(а):

Является временем, не является временем... Какая разница?

Замечание Geen о том, что "это может работать только над горизонтом" главным образом относится к:

monky99 в сообщении #1283396 писал(а):

Мы посылаем световой сигнал от часов $A$ к часам $B$, там он отражается и возвращается к часам $A$.

Дело в том, что на линии $r=\operatorname{const}$ под горизонтом не могут находиться никакие часы. Соответственно, правильно было замечено, что "под горизонтом координата $t$ не является временем".

monky99 в сообщении #1283555 писал(а):

А то я чувствую, что скоро появится тезис о том, что под горизонтом часы зависнуть в точке с постоянным $r$ физически не могут.

Обязательно.

monky99 в сообщении #1283555 писал(а):

Гипотетически мы можем продолжить мировые линии световых сигналов под горизонт.

Можем, только надо понимать какое продолжение правильное.

monky99 в сообщении #1283555 писал(а):

Как видите, всё работает и над горизонтом, и под горизонтом.

Нет, не работает. Именно потому, что на линии $r=\operatorname{const}$ под горизонтом не может находиться тот наблюдатель, который зафиксирует моменты испускания сигнала и приёма отражённого и убедится, что $(t_{C 2}+t_{C 1})/2=t_D$.

monky99 в сообщении #1283555 писал(а):

Почему же решили, что знак скорости меняется?
Пошло это вот откуда.

Нет, не оттуда. Существуют преобразования координат, которые позволяют увидеть, что мировая линия падающего фотона в Шварцшильдовских координатах имеет отрицательный наклон над горизонтом и положительный - под горизонтом.

[schekn]

monky99 в сообщении #1283396 писал(а):

Таким образом, ответ на поставленную в первом сообщении задачу должен быть: $dr/dt=-1$

Это мой вариант решения данной задачи. Какие будут возражения?

Геодезические имеют 2 корня. Для радиального случая их часто называют "падающая" и "улетающая".
Они обе вполне себе реальные . Метрику вы изначально выписали в стандартных координатах Шваршильда,
она описывает пространство-время при $r>r_g$ .
Вторая геодезическая с другим знаком "улетающая", соответствует фотону, который образовался над горизонтом и
улетел на бесконечность. Например в результате распада частицы около горизонта.
Если хотите рассмотреть геодезические , которые пересекают горизонт, лучше взять другую координатную систему (Леметра, Крускала..).

[monky99]

schekn в сообщении #1283597 писал(а):

Метрику вы изначально выписали в стандартных координатах Шваршильда,
она описывает пространство-время при $r>r_g$ .

Любопытно. В координатах Шварцшильда метрика не определена только при $r=r_g$. Ниже горизонта она определена. Но, судя по Вашим словам, пространство-время там не описывает. Почему так?

-- 13.01.2018, 04:07 --

epros в сообщении #1283595 писал(а):

Нет, не работает. Именно потому, что на линии $r=\operatorname{const}$ под горизонтом не может находиться тот наблюдатель, который зафиксирует моменты испускания сигнала и приёма отражённого и убедится, что $(t_{C 2}+t_{C 1})/2=t_D$.

Я еще раз перечитал параграф 1.2. Пространство-время с координатами и без них. Который в главе 1.Геометродинамика в кратком изложении, из первого тома МТУ.
Странно, но упоминаний о каких либо наблюдателях, которые что-то фиксируют, я не нашел.
В любом случае, в координатах Шварцшильда координата $t$ присваивается событиям таким образом, что $(t_{C 2}+t_{C 1})/2=t_D$ и $t_C_2>t_C_1$. Иначе это будут не координаты Шварцшильда.

epros в сообщении #1283595 писал(а):

Нет, не оттуда. Существуют преобразования координат, которые позволяют увидеть, что мировая линия падающего фотона в Шварцшильдовских координатах имеет отрицательный наклон над горизонтом и положительный - под горизонтом.

Угу. Например падающая и расширяющаяся системы координат Эддингтона-Финкельштейна.

Как видите, построены исходя из предположения, что на горизонте $dr/dt$ для фотона меняет знак.

Система координат Крускала-Шекереса.

Дальше они просто перенумеровывают выбранные поверхности.
Как видите, те же нулевые поверхности, что и у Эддингтона. Так что тоже построены исходя из предположения, что на горизонте $dr/dt$ для фотона меняет знак.

Так что, делаем предположение, на его основе получаем результат, а после этого этот результат используем для обоснования сделанного подтверждения?

[epros]

monky99 в сообщении #1283702 писал(а):

В любом случае, в координатах Шварцшильда координата $t$ присваивается событиям таким образом, что $(t_{C 2}+t_{C 1})/2=t_D$ и $t_C_2>t_C_1$. Иначе это будут не координаты Шварцшильда.

Ну и что? Ведь:

epros в сообщении #1283595 писал(а):

система координат - это нечто, заданное нами от балды

Когда строили координаты Шварцшильда, выбрали такое условие. Но никто не выбирал в качестве условия, что координата $t$ должна быть времени-подобной. В конце концов, систему координат можно выбрать так, что времени-подобных координат не будет вообще. Или наоборот - все четыре координаты будут времени-подобными.

Вы же хотели не просто удовлетворить условию $(t_{C 2}+t_{C 1})/2=t_D$, а проверить это условие с помощью неких световых сигналов.

monky99 в сообщении #1283702 писал(а):

Как видите, построены исходя из предположения, что на горизонте $dr/dt$ для фотона меняет знак.

Я не знаю из какого предположения построены координаты Эддингтона-Финкельштейна, но соображение о том, что падающий фотон в координатах Шварцшильда имеет мировую линию с отрицательным наклоном над горизонтом и положительным - под горизонтом, следует именно из сопоставления одних координат с другими. Если предлОжите другое преобразование координат - будет Вам и другой ответ на вопрос о том, какой наклон имеет мировая линия падающего фотона в координатах Шварцшильда. Не предложите никакого - не будет и ответа на Ваш вопрос.

А Ваша картинка:

monky99 в сообщении #1283555 писал(а):

неправильная, потому что если между линиями C и D находится горизонт, то там будет разрыв метрики, т.е. такой обмен сигналами невозможен.

[monky99]

epros в сообщении #1283744 писал(а):

А Ваша картинка:
неправильная, потому что если между линиями C и D находится горизонт, то там будет разрыв метрики, т.е. такой обмен сигналами невозможен.

Ну, во-первых, я писал, что на картинке диаграмма под горизонтом. А во-вторых, в черепашьих координатах горизонта вообще нет.

epros в сообщении #1283744 писал(а):

Ну и что?
Когда строили координаты Шварцшильда, выбрали такое условие.

Положительный наклон мировой линии падающего фотона под горизонтом, и отрицательный наклон мировой линии вылетающего фотона под горизонтом противоречат этому условию. В координатах Шварцшильда такого быть не может, так сказать, по определению.

epros в сообщении #1283744 писал(а):

Я не знаю из какого предположения построены координаты Эддингтона-Финкельштейна, но соображение о том, что падающий фотон в координатах Шварцшильда имеет мировую линию с отрицательным наклоном над горизонтом и положительным - под горизонтом, следует именно из сопоставления одних координат с другими.

Не следует.
Давайте проведем мысленный эксперимент.
Над горизонтом построим координаты Шварцшильда, но в области $2M<r<30M$ я координатные часы синхронизирую исходя из условия $t_A_2<t_A_1$ (другое условие остается таким же), другими словами, я запущу их в обратном направлении.
Можете представить, какая странная будет мировая линия того же падающего фотона в таких координатах.
Что там у нас будет с метрикой?
$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}+r^2(\sin^2\theta d\varphi ^2+d\theta^2)$ везде.
А если теперь перейдем скажем в систему Крускала?
У нас опять будет одна и та же метрика во всей области над горизонтом. Ни намека на какой-нибудь разрыв. Нулевые геодезические все прямые под 45 градусов.... всё как полагается. Вот только если мы возьмем одну из них, то ниже $30M$ это будет геодезическая падающего фотона, а выше вылетающего. Или наоборот, смотря какую возьмём.
Так что мировые линии падающего и вылетающего фотона сшиваются на раз.

Что Эддингтон, Крускал, да и, похоже, все остальные и проделали.