Определение предела: множество определения функции

[AlexeyM]

Помогите, пожалуйста, прояснить один момент в понятии предела функции одной переменной. В учебнике Зорича даётся такое определение:



При этом не говорится, что множество E - есть всё множество определения функции, т.е. E - просто некое множество, на котором функция определена. Например, для функции $f(x)=x^2$ при нахождении предела $\lim\limits_{x\to{4}}f(x)$, получается, мы не обязаны рассматривать $E=R$, а можем рассмотреть, например, просто $E=(2;5)$. Однако тогда, если мы рассмотрим $E=(2;5)$ и докажем, что предел равен 16, то не придется ли доказывать, что если взять, например, $E=(-10;9)$, то предел останется тем же?

Кудрявцев, например, говорит просто об определенности функции в некоей окрестности:



Т.е. тут тоже нет речи про область определения функции - просто про некое подмножество этой области определения. Однако предыдущий вопрос остаётся в силе: если мы найдём предел при условии, что переменная принадлежит именно рассматриваемой проколотой окрестности $\dot{U}\limits_{\delta_0}(x_0)$, то при изменении окрестности, получается, предел нужно перенаходить заново?

Помогите, пожалуйста, разобраться с этим вопросом, что-то я совсем запутался :)

[thething]

AlexeyM в сообщении #1282300 писал(а):

о рассматриваемой проколотой окрестности $\dot{U}\limits_{\delta_0}(x_0)$, то при изменении окрестности, получается, предел нужно перенаходить заново?

Почему? Предел - это локальное понятие, грубо говоря, нам не важно, откуда все началось, а важно - где все закончится

[AlexeyM]

thething, спасибо за ответ :)
Неформальное определение предела мне ясно, но хотелось бы уточнить именно формальный подход. О каком именно множестве $E$ говорится у Зорича? Об области определения или, возможно, лишь о её части? И если мы изменим проколотую окрестность в определении Кудрявцева, не придется ли нам - с точки зрения формального определения - передоказывать предел заново?

[thething]

Насколько я помню, Зорич в таком обозначении $f(x):E\to\mathbb{R}$ пишет именно об области определения функции.
Может, Вам стОит тогда посмотреть на определение предела в терминах окрестностей (оно эквивалентно определению на языке $\varepsilon-\delta$)

Если Вы нашли хоть одну проколотую окрестность точки $x_0$, то при уменьшении $E$, в нужное число раз сузьте и окрестность и вуаля - все автоматически доказано. При увеличении $E$ с проколотой окрестностью делать вообще ничего не нужно

P.S. Если Вы имели ввиду решение какой-то конкретной задачи "по определению", то да, надо будет по-честному пересчитать $\delta$ при изменении исходного множества

[Otta]

В Зориче - определение предела $\lim\limits_{E\ni x\to a}f(x)=A$.
В Кудрявцеве просто $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, то есть в качестве $E$ можно рассматривать некоторую проколотую окрестность точки $x_0$.

AlexeyM в сообщении #1282303 писал(а):

О каком именно множестве $E$ говорится у Зорича? Об области определения или, возможно, лишь о её части?

Вопрос звучит несколько некорректно, поскольку чтобы определить функцию, необходимо задать, в частности, ее область определения. То есть множество $E$ разрешенного изменения аргумента. Поэтому, если это множество брать разным, то и пределы могут оказаться разными.
Частный случай: предел слева и предел справа, они могут быть определены и с помощью такой конструкции.

[grizzly]

AlexeyM в сообщении #1282300 писал(а):

При этом не говорится, что множество E - есть всё множество определения функции, т.е. E - просто некое множество, на котором функция определена.

Здесь Вы ошибаетесь -- как раз в приведенной цитате говорится, что $E$ -- всё множество определения функции. Посмотрите определение функции в этом учебнике. Сначала задаётся область определения, а потом "закон отображения" на этой области. Обратите внимание на пример, что $f|_A$ (сужение) это другая функция, которая отличается от $f$ (она даже обозначается там другой буквой -- $\varphi $, во избежание путаницы).

[AlexeyM]

grizzly в сообщении #1282315 писал(а):

AlexeyM в сообщении #1282300 писал(а):

При этом не говорится, что множество E - есть всё множество определения функции, т.е. E - просто некое множество, на котором функция определена.

Здесь Вы ошибаетесь -- как раз в приведенной цитате говорится, что $E$ -- всё множество определения функции. Посмотрите определение функции в этом учебнике. Сначала задаётся область определения, а потом "закон отображения" на этой области. Обратите внимание на пример, что $f|_A$ (сужение) это другая функция, которая отличается от $f$ (она даже обозначается там другой буквой -- $\varphi $, во избежание путаницы).

Вот определение функции в учебнике:



Там говорится лишь о некоем множестве X. В принципе, для функции $y=x^2$ я могу задать $X=(0;5)$, $Y=(0;25)$, или же $X=(1;3)$, $Y=(1;9)$. И это никоим образом не нарушит определение. При этом, разумеется, можно говорить о второй области как о сужении первой.

-- Пн янв 08, 2018 13:52:53 --

thething в сообщении #1282307 писал(а):

Насколько я помню, Зорич в таком обозначении $f(x):E\to\mathbb{R}$ пишет именно об области определения функции.

Да, но Зорич не указывает, какой эта область должна быть. Что я имею в виду: я могу определить $f(x)=x^2$ на интервале $E_1=(2;5)$, а могу и на интервале $E_2=(-9;10)$. Это уже будут разные функции, так как их области определения различны. Таким образом, если строго следовать определению предела, запись $\lim\limits_{x\to{4}}f(x)$, применённая к функции $f(x)$, заданной на множестве $E_1$ и запись $\lim\limits_{x\to{4}}f(x)$, применённая к функции $f(x)$, заданной на множестве $E_2$, будет означать пределы двух совершенно разных функций. А если взять множество $E_3=(-100;99)$, то предел, строго следуя формальному определению, придётся опять находить заново? Ведь функции-то каждый раз различны.

thething в сообщении #1282307 писал(а):

Может, Вам стОит тогда посмотреть на определение предела в терминах окрестностей (оно эквивалентно определению на языке $\varepsilon-\delta$)

Хотелось бы разобраться сначала с этим определением :)

thething в сообщении #1282307 писал(а):

Если Вы нашли хоть одну проколотую окрестность точки $x_0$, то при уменьшении $E$, в нужное число раз сузьте и окрестность и вуаля - все автоматически доказано. При увеличении $E$ с проколотой окрестностью делать вообще ничего не нужно.

Да, вы правы - при решении конкретных задач так зачастую и делают: ограничивают переменную неким интервалом, и выполняют преобразования при условии ограничения $x$. Однако всё-таки хотелось бы понять общее определение, так как частных случаев может быть много, и функции тоже могут быть разными. Я просто хочу выбрать для себя то определение, которое будет наиболее точным.

[Otta]

AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):

Однако всё-таки хотелось бы понять общее определение, так как частных случаев может быть много, и функции тоже могут быть разными. Я просто хочу выбрать для себя то определение, которое будет наиболее точным.

Это как раз общее определение. Для второго достаточно взять $E$, накрывающее хотя бы одну проколотую окрестность точки полностью.

AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):

Да, но Зорич не указывает, какой эта область должна быть.

А что там написано под процитированным Вами из учебника определением функции, как это все обозначается?

[grizzly]

AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):

В принципе, для функции $y=x^2$ я могу задать $X=(0;5)$, $Y=(0;25)$, или же $X=(1;3)$, $Y=(1;9)$.

Конечно Вы можете так задать. Главное, чтобы Вы понимали, что это будут разные функции. Несмотря на то, что "закон отображения" у них будет похож.

[AlexeyM]

Otta в сообщении #1282308 писал(а):

В Зориче - определение предела $\lim\limits_{E\ni x\to a}f(x)=A$.
В Кудрявцеве просто $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, то есть в качестве $E$ можно рассматривать некоторую проколотую окрестность точки $x_0$.

AlexeyM в сообщении #1282303 писал(а):

О каком именно множестве $E$ говорится у Зорича? Об области определения или, возможно, лишь о её части?

Вопрос звучит несколько некорректно, поскольку чтобы определить функцию, необходимо задать, в частности, ее область определения. То есть множество $E$ разрешенного изменения аргумента. Поэтому, если это множество брать разным, то и пределы могут оказаться разными.
Частный случай: предел слева и предел справа, они могут быть определены и с помощью такой конструкции.

Да, надо было корректно определить термин, который я имею в виду, дабы избежать неточностей. Когда я писал про "всю область определения", то имел в виду множество $X\subseteq{R}$, для каждого элемента которого значение $f(x)$ определено. При этом любое множество $E\subseteq{R}$, для каждого элемента $x$ которого определено значение $f(x)$, является подмножеством множества $X$.

Т.е., мы можем определить функцию $y=x^2$ на разных интервалах. Но вот что именно имеется в виду у Зорича: указанное выше множество $X$ или же произвольное его подмножество $E$, включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

[Otta]

AlexeyM
Нет. То, что Вы имеете в виду, когда пишете про всю область определения, и то, что написано в учебнике - это разные вещи. И коли уж мы взялись разбирать учебник, надо смотреть, что Зорич называет областью определения.

А это Вы сами процитировали. Вот только обозначение не привели к этой цитате. А очень надо.

[AlexeyM]

grizzly в сообщении #1282326 писал(а):

AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):

В принципе, для функции $y=x^2$ я могу задать $X=(0;5)$, $Y=(0;25)$, или же $X=(1;3)$, $Y=(1;9)$.

Конечно Вы можете так задать. Главное, чтобы Вы понимали, что это будут разные функции. Несмотря на то, что "закон отображения" у них будет похож.

Вот об этом я и пишу :) Функции разные. И получается, доказывать, что $\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=A$ нужно будет заново: для каждого множества $E_i$, на котором определена функция $f(x)$ и которое включается в себя точку $x_0$.

[grizzly]

AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):

Но вот что именно имеется в виду у Зорича: указанное выше множество $X$ или же произвольное его подмножество $E$, включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

Ни то, ни другое. Там имеется в виду конкретное (не произвольное), заранее заданное подмножество $\mathbb R$, содержащее точку, в которой мы ищем предел. Точнее даже не обязательно содержащее, а для которого данная точка является предельной.

[thething]

AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):

включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

Вот это неправильно, точка - она предельная, но не обязана лежать в области определения

[AlexeyM]

Otta в сообщении #1282328 писал(а):

AlexeyM
Нет. То, что Вы имеете в виду, когда пишете про всю область определения, и то, что написано в учебнике - это разные вещи. И коли уж мы взялись разбирать учебник, надо смотреть, что Зорич называет областью определения.

А это Вы сами процитировали. Вот только обозначение не привели к этой цитате. А очень надо.

Вот что Зорич называет областью определения:



Я же имел в виду, что область X может быть совершенно различной, - а значит будут различаться и функции, путь даже они задаются одинаковым выражением. Такого понятия как "вся область определения" у Зорича, разумеется, нет. Но я написал выше, что имел в виду под этим термином.